高中數學不等式解題技巧思考

摘 要：不等式知識應用范圍廣，涉及到的題型更是復雜多變，文章通過舉例詳細剖析了不等式的反證解題技巧、不等式的換元解題技巧、不等式的性質解題技巧和線性規劃題的解題技巧等.

關鍵詞：高中數學;不等式;解題技巧

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）22-0046-03

不等式是用符號大于、小于、大于等于、小于等于等表示大小關系的一類式子.在高中數學中，涉及題型比較廣泛，包括選擇題、填空題與計算題等，假如學生沒有透徹理解不等式知識，難以熟練掌握解題技巧，他們就無法很好地解題.高中數學教師應高度重視不等式解題技巧的思考，利用各種常見的題型組織學生進行集中訓練，使其結合具體題目使用相應的技巧分析和解答，不斷提高他們的解題水平，反過來輔助對理論知識的深化理解.

1 不等式的反證解題技巧

不等式作為高中數學教學中比較重要的一部分內容，通常以各種題型出現在平常練習與考試當中.解答有關不等式的題目時往往要用到各種技巧，其中反證方式應用的較為廣泛，這是以正難則反為基礎形成的，在證明類的問題中使用有著不錯的效果.對此，高中數學教師可指導學生在處理不等式證明類題目時采用反證法，使其將整個證明過程變得更為便捷與簡單，將不等式證明問題的解答變得更為高效，幫助他們掌握不等式證明題的解題技巧[1].

例1 已知a＋b＋c＞0，ab+bc+ac>0，abc>0，請結合以上條件證明a＞0，b＞0，c＞0.

解析 根據題干中提供的條件abc＞0，能夠得出a，b，c均不可能是0，這里要用到反證的方式.

假設a＜0，則bc＜0，又因為a＋b＋c＞0，所以b＋c＞-a，由此可以得到a（b＋c）＜0.

所以a（b＋c）＋bc＜0.

不過這一式子明顯同題干中提供的信息相沖突，所以說這個假設是無法成立的，也就是表明a＞0，b＞0，c＞0.

2 不等式的換元解題技巧

處理部分數學問題時，把其中一個式子當作一個整體來看待，且運用一個變量進行替換，從而將問題變得更為簡單，這就是常用的換元法，廣泛適用于方程、函數、不等式等解題實踐中，根本思想是轉化，關鍵在于構建“元”與設置“元”.在高中數學不等式解題訓練中，教師可以引導學生采用換元解題技巧，把研究對象進行變換，問題轉移至新對象上面，目的是讓非標準的問題變得標準化，復雜問題變得簡單化，最終讓他們輕松解答不等式問題[2].

例2 已知a，b，c∈R+，請證明abc≥（b＋c-a）（c＋a-b）（a＋b-c）.

解析

使用換元法假設x＝b＋c-a，y＝c＋a-b，z＝a＋b-c，這時可以轉變為證明

（x＋y）（y＋z）（x＋z）≥8xyz.

由于x＝b＋c-a，y＝c＋a-b，z＝a＋b-c，

則a＝12（y＋z），b＝12（x＋z），c＝12（x＋y）.

因為a，b，c∈R+，所以當xyz＜0時，可以得到（x＋y）（y＋z）（x＋z）≥8xyz.

當xyz＞0時，有x，y，z∈R+，假如x，y，z三者當中有任意兩個比0小，那么c≤0與c＞0是相矛盾的，由此得到

x＋y≥2xy＞0，

y＋z≥2yz＞0，

x＋z≥2xz＞0.

則（x＋y）（y＋z）（x＋z）≥8xyz.

然后把x，y，z代入到原式中可以得到

abc≥（b＋c-a）（c＋a-b）（a＋b-c）.

3 用不等式性質解題技巧

在高中數學不等式解題教學中，教師應關注學生對不等式基本性質的合理運用，這是一項最基礎的解題方式與技巧，可以應用至各種類型的不等式試題中，不少題目都要用到不等式的基本性質.如：不等式具有傳遞性，也就是如果a＞b，b＞c，則a＞c；不等式還有可加性特點，假如a＞b，就表明a＋c＞b＋c，c＞0時，ac＞bc.所以，學生可以利用不等式的基本性質進行解題，能夠快速找到解題的切入口，繼而提高他們解題的準確率[3].

例3 平面上有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，每三個圓都不相交于同一個點，請證明n個圓將平面分成f（n）＝n2-n＋2個部分.

解析

（1）歸納法，當n＝1時，一個圓可以把平面分成兩個部分，即f（1）=12-1＋2＝2，故命題成立.

（2）假設n＝k，該命題成立，也就是說k個圓將平面分成f（k）＝k2-k＋2個部分，則設第k＋1個圓的圓心為O，根據題意可知它與k個圓中每個圓相交于兩個點，又無三個圓相交于同一點，那么與其它k個圓相交于2k個點，以此結合題目中提供的條件有效證明出命題的結論，這是對不等式基本性質的充分運用.

4 線性規劃題的解題技巧

不等式與線性規劃結合到一起也是高中數學中一類比較常見的題目，與其它題型相比解題難度稍大，主要求解的是目標最大值與最小值，但是學生在處理這類試題時十分容易出現錯誤，教師需給予格外關注，幫助他們掃除解題障礙，使其掌握相應的解題技巧.具體來說，處理不等式與線性規劃結合類的題目時，學生應當精準掌握求解面積與定義域的相關知識，了解不等式性質與線性規劃兩者之間的內在聯系，從而幫助他們學會準確解答此類試題[4-5].

例4 已知a＞0，參數x，y會滿足以下三個條件，x＋y≤3，x≥1，y≥a（x-3），如果z＝2x＋y的最小值為1，那么a的值是什么？

解析

可以根據題意畫出圖1所示的坐標軸示意區，當所求的目標函數經過A區域時，點A坐標是（1，-2a），然后把函數的目標值代入就能求出

a＝12.

5 用數形結合解不等式題

數形結合指的是“數”與“形”之間的有機結合，這是數學思想方法中最為常用的一種，不僅可以用來解答不等式相關的試題，還能夠運用至其它數學試題的解答中，與其它解題技巧相比，數形結合能夠將題目變得更為形象與直觀，有助于學生快速找到解題思路，讓他們高效解題.當運用數形結合思想解決不等式類題目時，高中生要注重“以形助數”的應用，將“數”由“形”的形式呈現出來，使其找到更簡便的解題方法，鍛煉他們的解題技巧[6].

例5 已知關于x的不等式x2≤4-|2x＋m|，如果至少存在一個x≥0使得該不等式成立，那么m的取值范圍是什么？

解析 對原不等式進行整理后得到|2x+m|≤-x2+4，將不等式的左右兩邊均看作成函數，即為y＝|2x+m|與y＝-x2+4，這里要從反面思考問題，即：如果對于任意的x≥0，均有|2x+m|＞-x2+4，在同一個平面直角坐標系中畫出兩個函數圖象，如圖2所示，根據圖片信息能發現當m的值發生變化時，函數y＝|2x+m|的圖象將會沿著x軸進行運動，圖2中兩個臨界條件，分別對應于m＞4，或者m＜-5，由此表明要想滿足題意m的取值范圍應該是[-5，4].

6 不等式高次題解題技巧

在高中數學不等式相關內容教學中，高次不等式問題不僅屬于一項重要教學內容，還是一大難點，處理此類不等式問題時，最經常出現錯誤的地方就是劃分區域時容易混亂，無法準確判斷出特殊的區域或者特殊點.對此，高中數學教師可以結合高次不等式開展專題訓練，指引學生采用因式分解的方法進行解題，借此把高次不等式轉變為低次不等式，復雜問題作簡化處理，將問題變得更為清晰明了，使其極易找到解題的切入點，繼而掌握解題技巧[7].

例6 求解不等式（x-1）（x-2）（x-3）＞0.

解析 結合題目中給出的三次不等式方式能夠畫出如圖3所示的圖象，第一步，畫出一個坐標軸，在坐標軸上面標出1，2，3三個點的位置，由此將坐標軸劃分為4個區間；第二步，把靠近右邊區間看作為正，其它的看作為正負相間，在各個區間內標出正負號；第三步，用“+”表示不等式大于0，用“-”表示不等式小于0，這樣能更為形象地觀察到不等式的區域，可明顯得出x的取值范圍是1＜x＜2或者x＞3.

圖3 不等式曲線圖使用“穿根法”進行解題時，應先畫出一個坐標軸，再在坐標軸上面繪制出不等式的情況，結合所畫坐標軸及穿線順序判斷不等式的大小情況，這一解題技巧顯得簡單、直觀，解題難度有所降低.

總而言之，在高中數學教學活動中，解題訓練是相當關鍵的構成部分，是學生運用所學知識處理問題的主要途徑與渠道，尤其是在不等式教學實踐中，教師要充分考慮到不等式知識的廣泛運用，精心設計多種多樣的題型展開不等式解題訓練，使其通過親身實踐掌握大量的不等式解題技巧，逐漸樹立起學習數學的自信心，全面提升他們的數學解題水平.

參考文獻：

［1］ 魯亞萍.核心素養下高中數學不等式的解題思路研究[J].中學課程輔導，2022（17）：9-11.

[2] 李光星.基于高中數學基本不等式解題技巧分析[J].數理化解題研究，2021（19）：16-17.

[3] 古智良.高中數學不等式易錯題型及解題技巧分析[J].考試周刊，2021（52）：75-76.

[4] 陳大祥.淺析新課改下高中數學基本不等式解題技巧[J].數理化解題研究，2021（12）：48-49.

[5] 黃細盈.高中數學不等式難點有效解題方法分析[J].數學大世界（上旬），2021（02）：81.

[6] 祝永華.高中數學不等式易錯題型解題技巧分析[J].中學教學參考，2020（35）：29-30.

[7] 丁曉軍.數學思想在高中不等式解題教學中的應用[J].數理化解題研究，2020（30）：12-13.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：沈子儒（1987.9-），男，安徽省亳州人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.