初三數學“圓的綜合應用”復習作業設計策略

吳丹媚

摘 要：縱觀近幾年的廣東省中考題，運用全等三角形的判定和性質、勾股定理、相似三角形等知識解決有關圓的綜合問題是廣東中考數學考查的熱點題型。這類題型集初中幾何知識于一題，綜合性強、靈活度高，所以在初三數學復習階段顯得尤為重要。作業作為課堂教學內容的外延和補充，如何進行初三復習作業的設計，才能助力學生中考、培養學生數學思維能力、發展學生數學核心素養，對初中數學教師也提出了挑戰。筆者這次參與了中考數學第22題改卷任務，下面針對這一題的解法和學生的答題情況，提出幾點初三數學關于圓的綜合應用復習作業的設計策略。

關鍵詞：中考數學；圓的綜合應用；作業設計

一、再現中考真題，體味數學魅力

22.（12分）綜合探究

如題22-1圖，在矩形ABCD中（AB＞AD），對角線AC，BD相交于點O，點A關于BD的對稱點為A'。連接AA'交BD于點E，連接CA'。

（1）求證：AA'⊥CA'；

（2）以點O為圓心，OE為半徑作圓。

①如圖2，⊙O與CD相切，求證：AA'＝[3]A'C；

②如圖3，⊙O與CA'相切，AD＝1，求⊙O的面積。

二、探尋試題關聯，感悟知識本源

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在教學建議中明確指出“在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系”等，這要求教師要注重整體把握教學內容，把握內容的本質內涵，促進學生實現知識、方法、思維的整體系統的結構化學習，從而培養學生的核心素養。因此，面對數學問題時，我們要充分挖掘問題中考查的內容和知識，清晰認識知識之間的邏輯關系，深刻領悟問題蘊含的思想方法。

本題主要考查軸對稱的性質、矩形的性質、圓的切線性質、三角形中位線的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定、解直角三角形、正方形的判定和性質等基礎知識，考查了化歸與轉化、特殊與一般等數學思想方法，考查了推理能力、空間觀念與幾何直觀等數學素養。整體上題目模型比較常規，有一定的綜合度和區分度，設問螺旋上升，方法靈活多樣，符合《義務教育數學課程標準（2022年版）》關于學業水平考試的要求，問題設置既考查了對數學概念、性質、規律的理解，又能堅持素養立意，注重啟發學生深度思維。

三、注重發散思維，探究一題多解

一題多解是利用不同的思維方法分析同一個問題，靈活運用定義、定理、性質等基本原理，激發學生發散性思維，引導學生建立起思考體系，從而促進學生創新思維的養成。

本次中考卷第22題具備代表性、綜合性、靈活性等特點，既包含基本知識點，又有一定的知識廣度和難度，因此學生通過融會貫通新舊知識點之間的關系，多層次分析問題，突破思維定式，從而呈現出多樣化的解題思路。

（一）第（1）題解題思路

解法一：利用三角形中位線解答。

證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AO＝CO。

由對稱性質得EA＝EA'，AA'⊥BD，∴OE為△AA'C的中位線，∠AEO＝90°。

∴OE∥AC'，∴∠AA'C＝∠AEO＝90°，

∴AA'⊥A'C。

解法二：利用等邊對等角解答。

連接OA'，由對稱性質得OE垂直平分AA'，∴OA＝OA'。

∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OC。

∴OA＝OC＝OA'，∴∠OAA'＝∠OA'A＝α，∠OCA'＝∠OA'C＝β。

在△AA'C中，∵2α＋2β＝180°，∴α＋β＝90°，∴∠AA'C＝90°即AA'⊥A'C。

解法三：利用四點共圓解答。

連接OA'，由對稱性質得OE垂直平分AA'，∴OA＝OA'。

∵四邊形ABCD為矩形，∴OA＝OC＝[12]AC＝[12]BD＝OB，∠ABC＝90°。

∴OA＝OC＝OA'＝OB，

∴點A、B、C、A'四點共圓。

∴∠ABC＋∠AA'C＝180°，

∴∠AA'C＝90°即AA'⊥A'C。

解法四：利用三角形相似解答。

∵四邊形ABCD為矩形，∴AO＝CO。

由對稱性質得EA＝EA'，AA'⊥BD，

∴[AOAC]＝[AEAA']＝[12]，∠AEO＝90°。

又∵∠EAO＝∠A'AC，∴△EAO∽△A'AC。

∴∠AA'C＝∠AEO＝90°即AA'⊥A'C。

解法五：利用三角形斜邊中線逆定理解答。

連接OA'，由對稱性質得OE垂直平分AA'，∴OA＝OA'。

∵四邊形ABCD為矩形，

∴OA＝OC，∴OA＝OC＝OA'。

∴△A'AC為直角三角形，AC邊所對的角∠A'＝90°即AA'⊥A'C。

（二）第（2）題第①問解題思路

解法一：利用三角形全等推出角相等。

過點O作OF⊥CD，垂足為點F，∵⊙O與CD相切，∴OF＝OE。

∵∠OEA＝∠OFC＝90°，在矩形ABCD中，OA＝OC。

∴Rt△OEA≌Rt△OFC，∴∠OAE＝∠OCF。

∵AB∥CD，OA＝OB，

∴∠OCF＝∠OAB＝∠OBA，

∴∠OAE＝∠OAB＝∠OBA。

又∵∠OAE＋∠OAB＋∠OBA＝90°，

∴∠OAE＝30°。

由（1）可知△AA'C是直角三角形，

∴[A'CAA']＝tan∠OAE＝tan30°，

∴AA'＝[3]A'C。

解法二：利用△OEA和△OFD全等推出角相等，后面證明思路類似于解法一。

解法三：利用△OEA和△OFC全等推出∠EOA＝∠FOC，接著由矩形中OC＝OD且OF⊥CD推出∠FOD＝∠FOC，于是得到∠FOD＝∠FOC＝∠EOA，易得∠EOA＝60°，從而得到驗證。

解法四：過點O作OF⊥CD，垂足為點F，并延長交AB于點G，推出△DOF和△BOG全等，得到OG＝OF，所以OG＝OE，再由角平分線逆定理推出∠OAE＝∠OAB，后面證明思路類似于解法一。

解法五：利用三角形中位線和角平分線逆定理推出角相等。

過點O作OF⊥CD，垂足為點F，

∵⊙O與CD相切，∴OF＝OE。

由（1）可知OE為△AA'C中位線，

∴A'C＝2OE。

∵在矩形ABCD中，OC＝[12]AC＝[12]BD＝OD，OF⊥CD，∴DF＝FC。

又∵OB＝OD，∴OF為△BCD中位線。∴BC＝2OF，∴A'C＝BC。

又∵A'C⊥AA'，CB⊥AB，∴∠OAE＝∠OAB。

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA。

∴∠OAE＝∠OAB＝∠OBA。

又∵∠OAE＋∠OAB＋∠OBA＝90°，

∴∠OAE＝30°。

由（1）可知△AA'C是直角三角形，

∴[A'CAA']＝tan∠OAE＝tan30°。

∴AA'＝[3]A'C。

（三）第（2）題第②問解題思路

解法一：利用三角形全等推導出△AOE是等腰直角三角形。

過點O作OH⊥CA'，垂足為點H，∵⊙O與CA'相切，∴OH＝OE。

∵∠OEA＝∠OHC＝90°，在矩形ABCD中，OA＝OC，∴Rt△OEA≌Rt△OHC。

∴∠OAE＝∠OCH。

由（1）可知∠AA'C＝90°，∴∠CAA'＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形。

設OE＝x，則AE＝OE＝x，在矩形ABCD中，OD＝AO＝[2]x，

∴DE＝OD－OE＝[2]x－x。在Rt△DAE中，AD＝1，由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2。

即x2＋（[2]x－x）2＝12，解得x2＝[2+24]。∴⊙O的面積為[2+24]π。

解法二：利用△AA'C∽△OHC得到AA'＝2OH，又因為A'C＝2OE，所以AA'＝CA'，從而推導出△AOE是等腰直角三角形，后面證明思路類似于解法一。

解法三：利用正方形的判定定理可以推導出四邊形A'EOH是正方形，所以A'E＝OE，又由AE＝A'E可得AE＝OE，同樣可推出△AOE是等腰直角三角形，后面推導過程類似于解法一。

四、挖掘試題本質，剖析典型錯誤

（一）試題評價

第（1）問證明垂直成為較多學生的“攔路虎”，因為利用全等三角形解決問題的套路不再適用。第（2）題第①問有多種證法，比較靈活，關鍵點在于從[3]這個特殊值得到啟發，聯想到30°或60°特殊角度，利用三角形全等知識推導出角度。第②問的關鍵點在于求證出等腰直角三角形。總體來看，這題對學生的綜合分析和計算能力有較高的要求。

（二）常見錯誤

對于第（1）題，部分學生沒有分析題意或者受到之前折疊類型題目的影響，弄錯對稱軸，導致推理錯誤。對于第（2）題，由于有圓和矩形的存在，分析題意容易受到干擾的因素較多，導致部分學生連接OA'，直接默認切點、圓心和點A'共線證明導致錯誤，還有少部分學生作太多輔助線導致問題無法解決。

五、精研作業設計，助推科學備考

新課標在圖形與幾何部分的教學提示中提到“到了初中階段，主要側重學生對圖形概念的理解，以及對基于概念的圖形性質、關系、變化規律的理解，要培養學生初步的抽象能力、更加理性的幾何直觀和空間想象力”。因此我們在圓的綜合應用復習中要按照教學主線和核心概念進行統籌重組，優化作業設置，提高作業效益。

（一）歸納類比，擺脫題海

幾何類型的題目種類復雜繁多，圓的綜合應用題更是變幻莫測，盲目刷題幾乎很難取得高分。理想的情況是教師深入題海研究，挑選經典題型，歸納類比進行分類，讓學生走出題海戰術。對于圓的綜合應用題，一是可以根據圓的圖形與定理關系進行分類，比如相交弦定理、割線定理、切割線定理等；二是可以拆分圖形提煉出基本圖形，按照基本圖形涉及的知識點進行分類，比如相似三角形、全等三角形、圓的內接四邊形等。

中考試題的特點是穩中求變，教師研究試題特點，分類歸納題型，有針對性地布置作業，不僅滿足了減負的要求，而且能有效鞏固和掌握基礎知識，同時培養了學生的遷移能力。

（二）反向推導，技巧取勝

數學思想是數學的精髓，其本質是各種思維的綜合，逆向思維是解題的一種重要思維策略。在解答圓的綜合題時，學生很難把條件和結論關聯起來，逆向思考會讓一切豁然開朗。比如這次中考的第22題第（2）題第①問，先由結論反向推導出特殊角度30°，再去考慮如何得到特殊角度，最后就容易想到利用全等證明角相等。

教師在布置作業時應當增強逆向思維能力的訓練，設置相應題目讓學生說出或寫出自己的推導過程，自主運用逆向思維能力解決問題。在作業設計中針對不同類型的題目使用不同的對策，注重雙向思維的訓練。

（三）關注差異，減負增效

作業分層設計體現了優化的彈性作業結構，充分體現新課標理念“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”。初三復習階段，圓的綜合應用板塊作業涉及知識點多，綜合性強，難度區分明顯，教師應該根據內容特點和作業類型與功能，設計出多樣化、個性化作業幫助學生形成系統的數學整體知識系列結構。

圓的綜合應用題型對學生解題思維有較高的要求，其求解的關鍵在于學生熟悉基礎知識及逆運用數學概念。因此教師在布置作業時要做到減量精練，注重反向思考，關注學生差異，設置出科學高效的作業助力中考。

［*本文系廣東省教學科學“十四五”規劃2022年度項目“‘雙減’背景下的初中數學高效課后作業探索研究”（編號：2022YQJK304）的研究成果］