2011年版和2022年版《義務教育數學課程標準》中“數與代數”領域的比較研究

彭國慶

［摘 要］“數與代數”是《義務教育數學課程標準》課程內容的主要領域之一。比較2011年版和2022年版《義務教育數學課程標準》中的“數與代數”領域，發現兩者傳統核心內容基本一致，學科內容要求相對均衡，但也存在五個不同點及轉變：數量關系的學科內容呈現不同，實現學科主要內容向核心內容轉變；數的運算聯系性程度不同，實現學科內容由多樣性向一致性轉變；數的認識概念一致性程度不同，實現學科概念由分散性向整體性轉變；代數內容容量不同，實現育人觀念由教材立場向兒童立場轉變；學科內容指導程度不同，實現學科指導由粗獷向精細轉變。這些變化帶來了三點啟示：教材相關內容的編寫要體現新課程標準的修訂理念，加強數的認識和數的運算的一致性和關系研究，加強數量關系的教學研究。

［關鍵詞］小學數學課程標準；數與代數；不同版本；比較

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）20-0013-05

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022版課標”）和《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標”）都把課程內容分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個領域。其中，“數與代數”是兩個版本《義務教育數學課程標準》的重要領域之一，無論是對課程內容系統性、結構性的搭建，還是對數學文化和思想的承載，抑或是對學生數學核心素養培養的具體實施，都起到非常重要的作用。例如，馬云鵬指出，數的認識、數的運算和數量關系學科內容的育人價值在培養學生數學理性思維等方面有特殊作用，強調課程內容結構化，體現了核心素養的整體性、一致性和階段性。趙莉等強調，數的認識與運算的一致性有利于學生經歷數學化過程，形成核心素養。孔凡哲等指出，課程內容如“數與代數”等領域凸顯數學學科本質、體現整體結構。王光明等指出，“數與代數”領域的主要變化是強調代數推理。對相關文獻進行查詢和整理后發現，單獨研究2022版課標中“數與代數”領域課程內容的不多，“數與代數”領域的課程內容研究多是滲透在2022版課標結構特點以及目標解讀等研究中。因此，在已有文獻研究的基礎上就兩個版本《義務教育數學課程標準》中的“數與代數”領域之小學部分（下文“數與代數”領域均指“數與代數”領域之小學部分）的具體內容進行比較研究，助力小學數學一線教師深刻理解“數與代數”領域的學科內容本質，努力實現其核心內容的育人價值。

一、兩個版本《義務教育數學課程標準》中“數與代數”領域的基本情況

整理2022版課標和2011版課標中“數與代數”領域的相關內容，歸納如下（見表1、表2、表3）。

從表中可以發現，兩個版本《義務教育數學課程標準》中“數與代數”領域的內容既有變化又有傳承。例如，主題內容情況及分學段內容情況中的數的認識與數的運算部分的傳承；有明顯變化的是內容呈現從一個方面的單一呈現到三個方面的具體呈現，充分體現出《義務教育數學課程標準》的指導性、可操作性和時代性等特點。具體分析將在下文進行。

二、兩個版本《義務教育數學課程標準》中“數與代數”領域的相同點

1.傳統核心內容基本一致

數的認識和數的運算是傳統數學課程的重要內容之一，數的運算更是傳統數學課程中最為重要的內容。為了突出該內容的重要性，之前的小學數學教材就取名為《算術》。隨著數學的進一步發展，數學教育不斷拓展新的數學課程內容，并劃分出新的義務教育數學課程內容領域。但是，無論是哪一版本的教學大綱或課程標準，數的認識和數的運算都是主要內容或核心內容。從表1和表2中也能看出，2011版課標中“數與代數”領域的主要內容，尤其是數的運算，得以有效保留并進一步優化成為2022版課標中的核心內容。

2.學科內容要求相對均衡

《義務教育數學課程標準》的指導性是課程標準應該突出的特點之一。兩個版本《義務教育數學課程標準》中都有“數與代數”領域的內容要求，2011版課標和2022版課標在其課程內容中均用了非常詳盡的內容進行闡述，具體內容條數見表4和表5。

由表4可知，2011版課標中的內容要求包含了常見的量、探索規律等49條具體指導意見，比2022版課標中的內容要求多得多，其中關于“數與代數”的內容要求共有16條，關于數的運算的內容要求共有18條，這兩個方面的內容要求一共有34條，這樣就和2022版課標中數與運算、數量關系等內容要求總數28條相差不多。可見兩個版本《義務教育數學課程標準》中“數與代數”領域的具體內容要求與主要內容或核心內容是相對均衡的，也充分體現了課程標準的指導性。

三、兩個版本《義務教育數學課程標準》中“數與代數”領域的不同點和變化

1.數量關系的學科內容呈現不同，實現學科主要內容向核心內容轉變

2011版課標和2022版課標分別在其前言部分和課程性質中明確指出“數學是研究數量關系和空間形式的科學”。從給出的數學學科定義中應該能夠看出數量關系是數學學科的重要組成部分，在數學課程與教學中占重要位置。但2022版課標更加突出數量關系這一學科內容的重要性，重視程度明顯強于2011版課標。從表1可以看出2011版課標并沒有把數量關系編排到“數與代數”領域的主要內容中，數量關系在2011版課標中僅被提及兩次，是在有關數感的培養中“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系”。有關數感培養的部分兩次提到數量關系既是學生建立數感的內容載體，又是學生數感的反饋載體。2022版課標在“數與代數”領域中明確指出學習主題包含“數與運算”和“數量關系”，并明確指出數量關系主要是指用符號（包括數）或含有符號的式子表達數量之間的關系或規律，關于數量關系這一學科內容的育人價值為“學生經歷在具體情境中運用數量關系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識和初步的應用意識” 。2022版課標中給出了數量關系的具體描述，準確回應了數學的課程性質，瞄準了數學學科科學定義中的內涵，同時詳細描述了學科內容的育人價值。同時，2022版課標把數量關系作為課程內容的核心內容，在每個學段都明確提出內容要求，讓數量關系有據而來、尋法而去。從表5中可以看到，關于數量關系的學科內容要求也是逐漸遞增的，從數量上看是從2條上升到了6條。數量關系的具體內容及其育人價值見表6。

從表6中可以看出，三個學段關于數量關系的育人價值基本是一致的，且能體現螺旋上升的課程設計理念，凸顯2022版課標用數學核心內容發展學生數學核心素養的設計理念。

2.數的運算聯系性程度不同，實現學科內容由多樣性向一致性轉變

數的運算一直是小學數學傳統核心內容，其重要性毋庸贅述。2011版課標對數的運算的算法提出了一般性的內容要求。教材圍繞這些一般性的內容要求，就整數、小數和分數給出了一般性的算法。例如，整數加減法的計算方法是把數位對齊，從個位算起；小數加減法的計算方法是把小數點對齊，然后按照整數加減法的計算方法進行計算；同分母分數加減法的計算方法是分母不變，分子相加減。從上述內容可以看出，整數和小數的加減法的計算方法相對一致。因為小數加減法突出了小數點對齊，也就是相同數位上的數對齊。但是整數、小數和分數的計算方法還是不完全一樣的，尤其是分數的形式與整數、小數的不同，就給人感覺它們在加減法計算方法上的差異性是很明顯的，而且課程內容中并沒有明確指出運算之間的關系，如加法和減法之間的關系等。

2022版課標不僅強調了算法的一致性，還特別突出運算之間的關系。其在“數與代數”的前言部分指出“感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性”。那么，如何體現算法本質上的一致性呢？如上述整數、小數和分數的加減法，首先把數的本質搞清楚——所有數都是由計數單位累加而成的，這是數概念本質上的一致性。這種一致性遷移到加減法運算中就是計數單位個數相加減。這樣整數、小數和分數都是把相同計數單位個數相加減，整個運算本質上就是計數單位的運算，也就是計數單位累加或累減過程。這就凸顯了算法本質上的一致性。

因此，算法本質上的一致性有利于學生用整體觀點認識、學習數學，同時便于學生建立整體認知結構。對于運算之間的關系， 2022版課標在新增“學業要求”中明確指出“在第一學段知道減法是加法逆運算、乘法是加法簡便運算、除法是乘法逆運算”，“在第二學段能描述減法與加法的關系、除法與乘法的關系” 。通過兩個學段的學習，學生從初步認識到掌握運算之間的關系，為學習四則混合運算以及驗算做好鋪墊。這體現出對運算關系層層遞進、螺旋上升的設計理念，同時凸顯學習的整體性。

3.數的認識概念一致性程度不同，實現學科概念由分散性向整體性轉變

數的認識是“數與代數”領域中的基礎性內容。同時，數的認識與數的運算之間又有著緊密的聯系。2011版課標分學段遞進式強調在現實情境中理解萬以內、萬以上數的意義，并能夠認、讀、寫數，了解十進制計數法；能結合具體情境初步認識小數、分數；能夠讀、寫小數和分數；能結合具體情境，理解小數、分數、百分數的意義。在這個過程中，整數、小數、分數的認識有一定程度上的關聯：一是整數、小數的關聯，在認識小數的意義時，完善了小數和整數數位順序表，溝通了小數、整數之間的聯系，厘清了十進制是其概念本質；二是小數和分數之間的關聯，如教材編排小數和分數的內容時，采取先認識分數，而后在分數的基礎上認識小數，通過借助十分之幾的分數可以寫成一位小數等方式來讓學生初步認識小數，繼而進一步學習小數的意義。分數與小數之間的聯系是緊密的，但是它們和整數之間的聯系卻不夠緊密。2022版課標在數的認識內容上做了進一步的優化改進，指出“逐步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性”。這句話包含兩層意思，一是“數是對數量的抽象”，可以理解為用對應的數學思想把生活中事物的量進行抽象。因此，數的認識是培養學生數字感覺、符號意識、抽象能力等核心素養的重要載體。二是“計數單位累加”，計數單位是核心大概念。所有對數量的抽象都建立在對計數單位建立和累加的基礎上。也正因為計數單位這一核心概念，不同的數的運算方法的聯系才更加緊密。

因此， 數運算的一致性建立在認識一致性的基礎上，同時又保持著核心內容本質上的一致性。基于此， 2022版課標在百分比中更加突出兩個數量倍率關系表達：既可以表達確定數據，也可以表達隨機數據；更加突出百分比統計意義，把百分比的意義等相關內容移至“統計與概率”領域，實現學科概念由分散性向整體性轉變。

4.代數內容容量不同，實現育人觀念由教材立場向兒童立場轉變

“數與代數”領域從字面上可以分拆成兩個部分：一部分是關于數的，也就是數的認識和數的運算等；另一部分是關于代數的，也就是用字母表示數、方程等。從表1和表2中可以看出，2011版課標“數與代數”的主要內容包含了用字母表示數、代數式及其運算、方程，代數部分的學習主題則圍繞“式與方程”展開。2022版課標則在數量關系中指出：“能在具體情境中，用字母或含有字母的式子表示數量之間的關系、性質和規律。感悟用字母表示具有一般性。”這完全把式與方程的內容后置到初中部分。這樣，小學部分“數與代數”內容的容量就明顯減少了。

這里簡析兩個版本《義務教育數學課程標準》中對于小學增添和刪除式與方程的緣由，以幫助教師理解數學課程標準的修訂方向。2011版課標設置方程、式與方程等內容，是基于在小學階段進行代數知識早期滲透和學生代數思維的早期培養，同時在一些解題方法上與初中數學取得一致。以蘇教版教材六年級分數除法問題（如圖1）為例，之前解決此類分數除法問題時，是根據分數乘法問題進行逆推，對于分數乘法問題就是求單位“1”的幾分之幾是多少，而分數除法就是“單位‘1’的幾分之幾已知，求單位‘1’。后來，為了加強中小學數學知識的銜接，此部分內容就引入了方程解法（如圖2）。但是，學生學習分數除法這部分內容時并沒有感覺到方程解法的便捷性，反而因為感覺書寫煩瑣避而不用。同時，小學階段問題多是簡單的實際問題，用算術解答無論是書寫還是思維難度上都是學生樂于、善于接受的。因此，為了進一步增強學生對初中代數部分方程感悟、應用等，2022版課標就把式與方程等代數部分內容后置到初中部分，以增強初中代數部分內容一致性和完整性，由此實現學科育人理念由教材立場向兒童立場轉變。

5.學科內容指導程度不同，實現學科指導由粗獷向精細轉變

上述有談到兩個版本《義務教育數學課程標準》的指導性，但是指導內容不同，程度也不同。從表3中可見，2011版課標在課程內容中僅呈現了內容要求，而2022版課標既有前言或總論，又有內容要求，還新增了學業要求和教學提示，使得課程標準的指導性更強。細讀2011版課標“數與代數”的內容要求，不難發現其中一些內容要求在2022版課標中變為了學業要求，如2011版課標中數的認識的第一條內容要求“在現實情境中理解萬以內數的意義，能認、讀、寫萬以內的數，能用數表示物體的個數或事物的順序和位置 ”的后半句就呈現在了2022版課標的學業要求中——“能認、讀、寫萬以內的數；能說出不同數位上的數表示的數值”。由此可見， 2022版課標更加具體、明晰。除此之外，2022版課標新增加了“教學提示”，更具有指導性：它既分析了學生的年齡特點，又提供了具體教法指導，對學科內容的育人價值進行了分析并給出指導策略，以幫助一線教師通過科學實施課程內容來落實課程目標。2022版課標實現了內容標準與評價標準、教學提示并列，并明確了“學什么、學到什么程度、怎么教”，形成了“教—學—評”一體化新格局。

四、兩個版本《義務教育數學課程標準》中“數與代數”領域比較研究的啟示

1.加強情境系統的設計研究，幫助學生形成結構化認知體系

2022版課標在數與運算課程內容的內容要求、學業要求以及教學提示中強調教師要提供實際情境、學生熟悉的生活情境等，可見情境對學生學習數與運算的重要性。上述談到數與運算的課程內容具有整體性的新特點，那么教師提供的、創設的情境系統也應該保持整體性，以相對完整的情境系統進一步幫助學生在理解課程內容的整體性的基礎上形成結構化認知。情境系統包含諸如生活場景圖片或實際活動場景、文字信息，以及問題創設等諸多內容情境創設的時機、方法等，通過系統的情境創設，不斷給學生制造認知沖突，使學生理解不同的數產生的必要性，并能夠結合具體情境理解計數單位這一核心概念，感悟數是對數量的抽象，從而在情境系統中不斷認識新的數，逐漸完成對數概念的擴充；在數的運算情境系統中引導學生通過具體操作活動理解算理、掌握算法、厘清關系。同樣，對于數量關系，也需要一個相對完整的情境系統，以幫助學生理解數量關系中的專業術語，理解并建立數學模型。而涉及數的認識、數的運算以及數量關系的情境系統，又要組建一個大情境系統，以幫助學生完整理解知識的同時形成結構化認知體系。

2.加強數量關系的教學研究，幫助學生提高解題能力

數量關系的學習最終目的是運用數與運算來解決實際問題。教師應引導學生通過探究、發現、應用符號（包括數）或含有字母的式子表達數量之間的關系與規律，發展學生的模型意識、推理意識、應用意識、創新意識，進而提高學生的問題解決能力。加強數量關系的教學研究，首先要加強數學模型的教學研究。通過數學模型幫助學生理解數學模型中的數學專業術語及它們之間的變換關系，幫助學生學會解決原本用方程解決的稍復雜的分數除法等實際問題。其次，數量關系中新增加了基本事實“等量的等量相等”。教師要幫助學生基于事實理解“等量的等量相等”，讓學生感悟代數推理，以及能夠進行更多的實際應用。最后，研究如何借助畫圖、實物操作等方法幫助學生構建直觀數學模型，理解數量關系，探索解決問題的有效思路，使學生在發展幾何直觀的同時清楚解題的路徑，提高解題能力。

3.加強主題內容組教學研究，幫助學生理解學科內容的一致性

2022版課標根據學生的年齡特點把“數與代數”領域的內容劃分為四個學段，且這四個學段的主題是一致的。為了進一步凸顯學科內容的一致性，教師要把靜態的文本素材進行有機處理，以利于學生深刻理解學科內容的一致性。比如數的認識中，整數、小數、分數的認識這些內容并不是高度集中的，而是根據學生的年齡特點和知識本身的特點進行螺旋上升遞進式編排的。面對這些分散的學習內容，不妨以主題內容組的方式開展集中教學，如對于數的認識這一主題，可以把整數、小數以及分數的認識這些內容組合在一起形成主題內容組開展集中研究，這樣就可以處理好學科內容的整體性和階段性的問題。把主題內容組的教學研究和單元整體教學研究組合起來，可以幫助教師從橫向和縱向多維度、全方位研究教學，也可以幫助學生理解學科內容的一致性。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 馬云鵬. 《義務教育數學課程標準（2022年版）》的理念與目標解讀[J]. 天津師范大學學報（基礎教育版），2022，23（5）：1-6.

[2] 馬云鵬，王珍. 對話馬云鵬：《義務教育數學課程標準（2022年版）》學習要點解惑[J]. 福建教育，2022（27）：52-56.

[3] 趙莉，吳正憲，史寧中. 小學數學教學數的認識與運算一致性的研究與實踐：以“數與運算”總復習為例[J]. 課程.教材.教法，2022，42（8）：122-129.

[4] 孔凡哲，趙欣怡. 義務教育數學課程標準（2022年版）的結構特點[J]. 福建基礎教育研究，2022（7）：4-8.

[5] 馬云鵬. 怎樣理解“數量關系”學習主題[J]. 小學數學教育，2022（11）：11-13.

[6] 孫興華，馬云鵬. 為什么將“數與運算”整合為一個主題[J]. 小學數學教育，2022（11）：14-16.