以形助數(shù)　以數(shù)解形

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)為以形助數(shù)，以數(shù)解形。對(duì)此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)以形助數(shù)，以數(shù)解形為重點(diǎn)，多樣策略地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，助力學(xué)生“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)換，建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知，掌握數(shù)形結(jié)合思想方法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。基于此，文章從以形助數(shù)和以數(shù)解形入手，重點(diǎn)闡述數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用策略。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；以形助數(shù)；以數(shù)解形；應(yīng)用策略

中圖分類(lèi)號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2097-1737（2023）25-0008-03

眾所周知，數(shù)學(xué)是數(shù)量關(guān)系與空間形式緊密結(jié)合的一門(mén)學(xué)科，是以研究“數(shù)”與“形”為主的學(xué)科。小學(xué)數(shù)學(xué)的四大領(lǐng)域均以“數(shù)”與“形”為基礎(chǔ)。同時(shí)，數(shù)學(xué)是由抽象、概括客觀現(xiàn)象而形成的一種語(yǔ)言和工具。數(shù)學(xué)學(xué)科的如此特點(diǎn)，證明了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，驅(qū)動(dòng)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是依據(jù)“數(shù)”（抽象的數(shù)量關(guān)系）“形”（直觀的空間形式）的對(duì)應(yīng)關(guān)系與互補(bǔ)優(yōu)勢(shì)，通過(guò)相互轉(zhuǎn)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法，具體表現(xiàn)為以形助數(shù)和以數(shù)解形[1]。實(shí)踐證明，“數(shù)”與“形”的結(jié)合，可以化抽象為具體，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度；使學(xué)生透過(guò)問(wèn)題表述和形式，感知問(wèn)題內(nèi)在含義，增強(qiáng)數(shù)學(xué)認(rèn)知；可以使學(xué)生在互換“數(shù)”“形”的過(guò)程中，發(fā)展觀察能力、思維能力等。基于此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)從以形助數(shù)和以數(shù)解形入手，通過(guò)多樣策略應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，助力學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知，掌握數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

一、以形助數(shù)

以形助數(shù)是指用“形”解決“數(shù)”的問(wèn)題，促使學(xué)生直觀地認(rèn)知“數(shù)”[2]。“形”的形式多種多樣，如生活實(shí)物、線段圖、數(shù)學(xué)模型等。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，教師要依據(jù)課堂教學(xué)需要，選用不同的“形”，助力學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)”。

（一）用“形”，認(rèn)識(shí)“數(shù)”

數(shù)的概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容，具有抽象性。學(xué)生借助各種“形”，如生活實(shí)物，可以直觀地認(rèn)知數(shù)字，理解數(shù)字的含義，學(xué)會(huì)用數(shù)字表示事物的數(shù)量。如利用數(shù)學(xué)小棒或計(jì)算器，直觀地了解不同數(shù)位上的數(shù)字所表示的意義；借助正方形、圓形等，直觀地感受小數(shù)、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)。因此，在數(shù)學(xué)課堂上，教師要聯(lián)系教學(xué)需要，用“形”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“數(shù)”。

例如，在“時(shí)、分、秒”的課堂教學(xué)中，為使學(xué)生認(rèn)知“1秒”，教師呈現(xiàn)時(shí)鐘，引導(dǎo)學(xué)生閉上眼睛，靜靜地聽(tīng)。當(dāng)聽(tīng)到“滴嗒”一聲時(shí)，學(xué)生感受到了“1秒”。為了使學(xué)生增強(qiáng)感受，教師提出要求：“在聽(tīng)的過(guò)程中，一聽(tīng)到‘滴答聲就拍一下手。”于是，學(xué)生邊傾聽(tīng)邊拍手，由此直觀地感受到1秒有多長(zhǎng)。接著，教師按照如此方式，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，用其他方式表示1秒。在已有數(shù)學(xué)認(rèn)知和生活經(jīng)驗(yàn)的作用下，學(xué)生聯(lián)想到了多樣的表示方法，如眨眼睛、踏腳等。在應(yīng)用這些方法的過(guò)程中，學(xué)生繼續(xù)直觀地感知1秒。然后，教師沿用此方式，使用不同的“形”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“1分鐘”和“1小時(shí)”。

實(shí)踐證明，在直觀的“形”的作用下，學(xué)生輕松地學(xué)習(xí)和掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)。同時(shí)，一些學(xué)生因此感受到“數(shù)”與“形”的關(guān)系，便于自主地借助“形”認(rèn)識(shí)“數(shù)”，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

（二）用“形”，運(yùn)算“數(shù)”

運(yùn)算是以“數(shù)”的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)的活動(dòng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一部分。算理是學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算的“工具”。學(xué)生借助各種“形”可以理解運(yùn)算背后的算理[3]。如借助小棒、紙片等進(jìn)行整數(shù)運(yùn)算，理解運(yùn)算定律；借助正方形、圓形等進(jìn)行平均分割，理解分?jǐn)?shù)背后的運(yùn)算法則。由此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可用“形”引導(dǎo)學(xué)生探究算理。

例如，在“同分母分?jǐn)?shù)加減法”的課堂教學(xué)中，教師向?qū)W生提出如此問(wèn)題：“有一塊月餅，媽媽把它平均分為八份。爸爸吃了三份，媽媽吃了一份。請(qǐng)問(wèn)，爸爸和媽媽一共吃了多少塊月餅？”借助此問(wèn)題，學(xué)生遷移已有認(rèn)知，列出算式“+”。對(duì)此，教師追問(wèn)：“如何計(jì)算出結(jié)果呢？”同時(shí)，為了使學(xué)生順利地解決問(wèn)題，教師引導(dǎo)學(xué)生在紙張上畫(huà)圖，表示出和。在畫(huà)圖的過(guò)程中，大部分學(xué)生將一個(gè)圓平均分為8份，為其中的4份涂色。此時(shí)，學(xué)生直觀地得出結(jié)果：。教師就此進(jìn)行贊賞，并提問(wèn)：“+=。為什么分母沒(méi)變？分子是如何得到的？”在問(wèn)題的作用下，學(xué)生審視畫(huà)圖內(nèi)容，積極思維，有所發(fā)現(xiàn)，和分母相同，可以直接用分子相加。立足于此，教師在交互式電子白板上演示計(jì)算過(guò)程，并結(jié)合此過(guò)程，歸納算理：計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)可以直接相加。

由此可見(jiàn)，在“形”的助力下，學(xué)生一步步地探究到算理，便于做到知其然，知其所以然，提高運(yùn)算水平。

（三）用“形”，整理“數(shù)”

整理數(shù)據(jù)是以數(shù)字為基礎(chǔ)的活動(dòng)。在整理數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)有規(guī)律地呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，為分析數(shù)據(jù)做好準(zhǔn)備；還會(huì)梳理、發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的邏輯關(guān)系，為認(rèn)識(shí)數(shù)、運(yùn)用數(shù)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。“形”是學(xué)生整理“數(shù)”的助力。如學(xué)生可以利用條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖等，清晰地展現(xiàn)雜亂的數(shù)據(jù)，由此輕松地發(fā)現(xiàn)數(shù)量多少或數(shù)量所占的比重等。因此，在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)依據(jù)教學(xué)需要，借助“形”引導(dǎo)學(xué)生整理“數(shù)”。

例如，在“條形統(tǒng)計(jì)圖”這節(jié)課上，教師向?qū)W生呈現(xiàn)了本地上月的天氣情況。在學(xué)生觀察時(shí)，教師提出問(wèn)題：“上個(gè)月有多少種天氣？每種天氣有多少天？”在問(wèn)題的作用下，學(xué)生數(shù)出天氣的種類(lèi)及其對(duì)應(yīng)天數(shù)，并積極思維，聯(lián)想到不同的表示方法，有的學(xué)生繪制統(tǒng)計(jì)表，有的學(xué)生繪制條形統(tǒng)計(jì)圖。然后，教師挑選統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖，并提問(wèn)：“請(qǐng)對(duì)比這兩種統(tǒng)計(jì)方式，判斷哪一種可以更加直觀地展現(xiàn)信息？”受到任務(wù)的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生認(rèn)真對(duì)比，直觀地發(fā)現(xiàn)條形統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)勢(shì)，并主動(dòng)進(jìn)行描述。立足學(xué)生的描述情況，教師做出總結(jié)：“條形統(tǒng)計(jì)圖用一個(gè)單位長(zhǎng)度直觀地展現(xiàn)了一定的數(shù)量，并按照一定的順序排列不同長(zhǎng)短的條形，借此表示出數(shù)量的多少。”由此，學(xué)生增強(qiáng)了認(rèn)知，增強(qiáng)了課堂學(xué)習(xí)效果。

實(shí)踐表明，學(xué)生通過(guò)“數(shù)據(jù)—表格—條形統(tǒng)計(jì)圖”直觀地了解了條形統(tǒng)計(jì)圖，扎實(shí)掌握了課堂所學(xué)。

（四）用“形”，解決“數(shù)”

解決“數(shù)”是指解決數(shù)的問(wèn)題。數(shù)的問(wèn)題具有抽象性。小學(xué)生的形象思維較為發(fā)達(dá)，但抽象思維能力不強(qiáng)。“形”可以直觀展現(xiàn)“數(shù)”，助力學(xué)生獲取解決問(wèn)題的思路和方法。例如，學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)問(wèn)題后，將問(wèn)題中的條件呈現(xiàn)在線段圖上，可以直觀地厘清條件關(guān)系，由此解決問(wèn)題。對(duì)此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可借助“形”，引導(dǎo)學(xué)生解決“數(shù)”。

例如，在課堂上，教師向?qū)W生呈現(xiàn)以下應(yīng)用題：“早上，明明和紅紅同時(shí)從家里出發(fā)上學(xué)。他們相向而行。已知，明明每分鐘走70米，紅紅每分鐘走60米。兩人走在3分鐘后相遇。請(qǐng)問(wèn)，他們兩家相距多少米？”讀題后，大部分學(xué)生陷入迷茫。于是，教師把握時(shí)機(jī)，向?qū)W生提出畫(huà)圖要求：“請(qǐng)根據(jù)問(wèn)題條件，畫(huà)出線段圖。”在此要求的驅(qū)使下，學(xué)生積極思維，分析問(wèn)題條件，精心繪制線段圖（如圖1）。

這樣的線段圖直觀地展現(xiàn)了已知條件、未知問(wèn)題以及二者間的關(guān)系。在線段圖的助力下，學(xué)生歸納出其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系：紅紅家和明明家的距離=紅紅走的路程+明明走的路程。根據(jù)如此數(shù)量關(guān)系，學(xué)生輕松地列出算式，計(jì)算出結(jié)果。

由此可見(jiàn)，借助“形”引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)的問(wèn)題，不但可以使學(xué)生直觀地理解題意，明確解題思路，獲得解題方法，還可以使學(xué)生建構(gòu)形象思維與抽象思維之間的聯(lián)系，便于向抽象思維過(guò)渡，提高抽象思維能力。

二、以數(shù)解形

以數(shù)解形是指用“數(shù)”來(lái)解釋圖形的性質(zhì)，促使學(xué)生精準(zhǔn)地認(rèn)知圖形。“數(shù)”的形式多種多樣，如數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言等。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，選擇適宜的“數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知圖形。

（一）用“數(shù)”認(rèn)識(shí)“形”

盡管圖形本身具有直觀性，但表達(dá)過(guò)于直白，學(xué)生難以了解特征與性質(zhì)。如學(xué)生無(wú)法直接借由長(zhǎng)方形、正方形等，認(rèn)知到圖形的共同特征。又如，學(xué)生無(wú)法借助直角三角形、銳角三角形等，了解底、高、角等特征，尤其難以用這些特征描述不同三角形之間的關(guān)系。“數(shù)”具有精準(zhǔn)性，可以輔助學(xué)生準(zhǔn)確認(rèn)知“形”的特征。所以，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)立足“數(shù)”的優(yōu)勢(shì)，結(jié)合教學(xué)需要，引導(dǎo)學(xué)生利用“數(shù)”認(rèn)識(shí)圖形。

例如，在“長(zhǎng)方形的初步認(rèn)識(shí)”的課堂教學(xué)中，教師為學(xué)生發(fā)放大小不同的長(zhǎng)方形模具。接著，教師提出觀察任務(wù)：“觀察這些長(zhǎng)方形模具，你能發(fā)現(xiàn)它是由什么構(gòu)成的？”帶著任務(wù)，學(xué)生認(rèn)真觀察，積極思考，直觀地發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形由面、頂點(diǎn)和邊構(gòu)成。據(jù)此，教師追問(wèn)：“數(shù)一數(shù)，長(zhǎng)方形有多少個(gè)面？多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？”通過(guò)數(shù)數(shù)，學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)知長(zhǎng)方形的特征：“長(zhǎng)方形有1個(gè)面，4個(gè)頂點(diǎn)，4條邊。”在這樣的特征的支撐下，學(xué)生很容易在腦海中浮現(xiàn)出一個(gè)長(zhǎng)方形，加深記憶。為了使學(xué)生探究長(zhǎng)方形的更多特征，教師繼續(xù)提出任務(wù)，如“量一量長(zhǎng)方形模具，你能發(fā)現(xiàn)邊、角有什么關(guān)系？”在測(cè)量的過(guò)程中，學(xué)生獲取數(shù)據(jù)，由此精準(zhǔn)地認(rèn)知長(zhǎng)方形的特征，如長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角。由此可見(jiàn)，學(xué)生通過(guò)觀察、測(cè)量，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)個(gè)“數(shù)”，由此精準(zhǔn)地認(rèn)知了長(zhǎng)方形的特征，便于形成長(zhǎng)方形表象，為學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的表面積奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）用“數(shù)”描述“形”

圖形的位置和運(yùn)動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容。應(yīng)用“數(shù)”描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)，可以使學(xué)生對(duì)圖形做出精準(zhǔn)“定位”，由此建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知。如學(xué)生用前、后、左、右、上、下，東、西、南、北等方向進(jìn)行描述，可以精準(zhǔn)定位事物的位置。又如，學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述圖形的平移、旋轉(zhuǎn)軌跡，可以對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)建構(gòu)認(rèn)知。因此，在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)聯(lián)系課堂教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)。

例如，在“位置與方向（二）”的課堂教學(xué)中，學(xué)生要依據(jù)參照點(diǎn)建立坐標(biāo)系，了解事物所在角度；還要根據(jù)圖中的比例尺判斷事物的距離。了解事物角度、判斷事物距離的過(guò)程，正是學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述事物位置與方向的過(guò)程。在描述的過(guò)程中，“數(shù)”是不可或缺的，否則所描述的內(nèi)容毫無(wú)意義。所以，教師以教材中的插圖為“工具”，直觀地向?qū)W生展示平面圖，呈現(xiàn)具體數(shù)據(jù)，借此引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言進(jìn)行描述。如教師引導(dǎo)學(xué)生觀察“做一做3”中的平面圖，用“臺(tái)風(fēng)沿著 方向移動(dòng)了 米”的句式進(jìn)行描述。在描述之際，學(xué)生將視線集中在數(shù)據(jù)上，發(fā)揮思維作用，判斷臺(tái)風(fēng)的移動(dòng)方向和距離。如此做法，不僅使學(xué)生借助“數(shù)”，精準(zhǔn)地了解了物體的位置和方向，認(rèn)知了所學(xué)內(nèi)容，還使學(xué)生順其自然地鍛煉了數(shù)學(xué)表達(dá)能力，有利于學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

（三）用“數(shù)”遷移“形”

遷移“形”是學(xué)生用“數(shù)”的具體表現(xiàn)。例如，學(xué)生可以在把握數(shù)量關(guān)系的同時(shí)，遷移對(duì)“形”的認(rèn)知，精準(zhǔn)認(rèn)知圖形的周長(zhǎng)、面積，尤其是掌握具體方法。又如，學(xué)生可以應(yīng)用數(shù)量，探究立體圖形的特點(diǎn)、概念等，由此遷移“形”，發(fā)現(xiàn)相同或不同之處，進(jìn)而增強(qiáng)認(rèn)知。由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)課堂上，教師應(yīng)立足學(xué)生“形”的學(xué)習(xí)情況，引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”，遷移已有認(rèn)知，積極探究“形”。

例如，在“三角形的面積”的課堂教學(xué)中，教師將探究三角形面積計(jì)算公式的權(quán)利還給學(xué)生。學(xué)生在此之前，早已學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的面積計(jì)算公式，積累了“形”與“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)，所以，在探究三角形面積計(jì)算公式的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)遷移已有經(jīng)驗(yàn)，動(dòng)手操作，使用不同的方法，如數(shù)格子法、轉(zhuǎn)化法等，得出“數(shù)”，由此推導(dǎo)出面積計(jì)算公式。這樣不僅使學(xué)生成為數(shù)學(xué)課堂的“主人”，還使學(xué)生實(shí)現(xiàn)了正遷移，便于掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)形結(jié)合思想方法。

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，教師可以從以形助數(shù)，以數(shù)解形入手，聯(lián)系數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際需要，運(yùn)用多樣的策略，如用“形”認(rèn)識(shí)“數(shù)”、用“形”運(yùn)算“數(shù)”、用“形”整理“數(shù)”、用“數(shù)”認(rèn)識(shí)“形”、用“數(shù)”描述“形”等，引導(dǎo)學(xué)生互換“數(shù)”與“形”，以此掌握數(shù)形結(jié)合的思想和方法，發(fā)展多樣能力，進(jìn)而增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：孔秀云（1973.8-），女，甘肅永靖人，任教于甘肅省武威市涼州區(qū)黃羊?qū)嶒?yàn)小學(xué)，一級(jí)教師，專(zhuān)科學(xué)歷。