依據新課標內容要求　探索初中數學概念教學路徑

毛麗麗

摘要：數學概念是構建數學理論大廈的基石，是導出數學定理和法則的邏輯基礎，是師生課堂溝通交流的語言，是“四基”中“基礎知識”的核心。教師要結合新課標內容要求，探索初中數學概念教學路徑。

關鍵詞：新課標；初中數學；概念教學路徑

“因式分解”這一內容屬于“數與代數”中的“整式與分式”模塊，是承啟整式乘法與分式的關鍵一環。雖然本課是一節概念課，但教師除了培養學生對概念本身的理解之外，更重要的是促進理解因式分解所蘊含的互逆思想和以退為進解決問題的最優化思想。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）對本節教學內容沒有做具體要求，但本節課卻是后續“能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超過二次）進行因式分解（指數是正整數）”的基礎和數學意義上的邏輯起點。

一、課前研討

基于新課標的要求，教師要能引導學生從應用數學概念中領悟數學思想并提高發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，培養數學思維和創新意識，提升數學核心素養。

（一）在強化情境設計與問題提出中引入概念

新課標指出，注重發揮情境設計與問題提出對學生主動參與教學活動的促進作用，使學生在活動中逐步發展核心素養。教學中，教師一是要注重創設真實情境。真實情境的創設可從社會生活、科學和學生已有數學經驗等方面入手，圍繞教學任務，選擇貼近學生生活經驗、符合學生年齡特點和認知加工特點的素材。二是要重視設計合理的問題。教師要在真實情境中提出能引發學生思考的數學問題，也可以引導學生提出合理的問題。提出的問題應引發學生的認知沖突， 激發學生的學習動機，促進學生積極探究，讓學生經歷數學觀察、數學思考、數學表達、概括歸納、遷移運用等學習過程，體會數學是認識、理解、表達真實世界的工具、方法和語言，增強學生認識真實世界、解決真實問題的能力，樹立學好數學的自信心，養成良好的學習習慣。

新概念的引入是概念課的首要環節。由于概念的產生和形成過程都不相同，引入方法也就不同。教師要緊扣教學內容核心和學情，根據學生的真實能力，創設不同的情境和問題來引入概念。

（二）在挖掘概念本質的基礎上理解概念

1.內涵與外延

新概念的引入是對已有概念的繼承、發展和完善。有些概念由于內涵豐富、外延廣泛等原因，學生的認知很難一步到位，需要較長周期的反復認知、實踐、理解。教師重視概念教學，挖掘概念的內涵與外延，使學生理解概念的本質，是學生能正確使用概念的前提。

2.區別與聯系

數學概念是數學教學內容的知識單元，概念之間的聯系則形成了教學內容體系的框架結構。它們之間有著密切的聯系，教師把個別概念放在概念的相互聯系中教學，有助于揭示概念的本質。教學時，學生要清楚新概念是建立在哪些已學的數學概念基礎上的，明確新舊概念之間的區別與聯系，為準確理解新概念打下堅實的基礎。

（三）在自編題目的過程中鞏固概念

教師引導學生利用概念提出數學問題是數學概念教學的一個重要環節，此環節操作的成功與否，將直接影響學生對數學概念的鞏固，以及解題能力的形成。除了常規習題外，教師引導學生自編題目也是一種非常有效的方式。學生自行編題能激發學習興趣。此時，他們往往比較興奮，因為自行編題是一種創造，會有一種成就感。不僅如此，學生在呈現自己的作品時，都希望得到他人的好評，因此比較用心。此外，學生要自行編題，就要弄清楚已知什么，要求什么，就必須要對數學知識有深刻的理解，而這些都需要全身心地投入學習。同時，在這個過程中，學生的核心素養也會逐步提升。

（四）基于對數學概念的理解整體把握教學重點并進行教學設計

1.整體把握教學

對于因式分解的概念，常規教學一般都是先類比因數分解的教學，再引入因式分解的教學，是從概念名稱表面做文章。而在初中階段，因式分解最主要的作用是為分式、方程等相關內容的學習提供基礎，利用因式分解進行簡便運算屬于解題技巧，居于

2.進行教學設計

【教學目標】感悟因式分解的必要性，形成運用因式分解的意識；通過拼圖恒等式，對比整式乘法與因式分解的區別與聯系，形成因式分解的概念；通過編題，掌握判斷和驗證整式乘法與因式分解的互逆關系；通過學習活動的開展，理解因式分解是代數的恒等變形，發展數學運算、直觀想象等核心素養。

【教學方法】任務驅動法、自主學習法、合作學習法、探究學習法。

【教學流程】創設情境→合作學習→班級展示→明確新知→鞏固練習→小結提升→當堂測試。

二、課堂設計

基于課前的研討，筆者設計了本節課的課堂內容。

（一）強化概念引入

師：今天老師下樓的時候，對門的小朋友問了我一個問題，我說我們班的同學可以解決，晚上我要把解答的方法拿給他。

（自然引出問題，激發了學生強烈的興趣）

（教師深入各學習小組巡視，持續鼓勵）

下面是小組合作精彩瞬間：

A組，一個學生認為應該把x約分。

C組，也不甘心直接代入計算，組長一直帶著組員研究，接著組長講，把x2+x換成x（x+1），為什么有個1呢？一個學生插問。他好像明白了，1是占位的。組長接著講，再約分化簡代入。

師：你們找到了幾種方法呢？（學生的答案是一種，兩種，還有說三種的）

B組（法二）：同意C組的做法，還有一種做法是直接把2023代入計算。

A組（法三）：直接代入，再采用B、C兩組的辦法來簡化運算，即

師：晚上回家后，我告訴對門小朋友哪種方法比較合適？

生：最后一種。（大多數學生的呼聲）

這時，一位組長說：“小朋友是幾年級的學生？如果是四年級，告訴他法二，法三也行，他已經學過分配律了。”

師：如果他是六年級或七年級的學生呢？

生：法一毫無疑義。

由于此引例的有效設計，后面兩道習題完成的質量非常高。

師：84能被7整除嗎？

生：能，因為得數是12。

師：得數是12為什么可以證明84能被7整除？

生：因為沒有余數。

師：還可以怎么說？

生：12×7=84，所以可以整除。

師：還有其他方法嗎？

生：84還可以拆成70+14，7+7+……7，共有12個7相加，因此可以被7整除。

師：你們的想法很有創意，挑戰來了，請問20082+2008能被2009整除嗎？

生：提取因數2008，化成2008×2008+2008×1=2008（2008+1），所以能整除。

（二）助推概念生成

第一組：觀察下面拼圖過程，寫出相應的關系式。

第二組：將下列四個圖形拼成一個大長方形，再寫出相應的關系式。

第三組：有甲、乙、丙三種圖形，用兩個甲中的正方形，三個乙中的長方形，一個丙中的正方形拼成一個長方形，再寫出相應的關系式。

師：根據自己的情況，任選一組或多組，結合拼圖過程，你能不能根據圖形寫出等式？

生：獨立解決問題。（學生參與熱情較高，多數學生至少選擇兩組。拼圖過程使學生體會了數形結合思想，發展了幾何直觀）

師：你能發現幾組等式的共同特征嗎？

生：加的形式轉化成乘積的形式，也就是三個等式左邊都是多項式，右邊是積的形式。

師：這樣的變形就是我們今天要學習的“因式分解”，你能否結合這幾個例子給大家說說什么是因式分解嗎？

生：把一個多項式化成幾個因式（后改成整式）積的形式叫作因式分解。

生：把加的式子變成乘積的形式。

師：可以減嗎？

生：可以，就是把加減形式的化成乘積形式的。

師：你是否理解了什么是因式分解？

生：多項式變形為整式乘積的形式。

（三）挖掘概念本質

師：請獨立完成教材練習。

生：相反也可以說成互逆。

師：判斷4x2 - 64 = 4（x + 4）（x - 4）是否是因式分解。

生：形式上是，實際上不是。

師：還有什么是互逆關系呢？

生：互逆命題，互逆定理，如勾股定理和逆定理，乘和除，加和減，現在又學到了整式乘法和因式分解等。

（四）編題鞏固概念

在本節研討課中，教師可以安排兩次編題。第一次編題安排在探究整式乘法與因式分解互逆后，讓學生將互逆思想內化為自己的知識體系。第二次編題安排在整除題型后，此時距離下課還有5～6分鐘（學生的疲憊期），學生編出的題目都是整除的題目，沒有擴大前面的學習成果。

三、課后反思

（一）引入的效果

三種不同方式對應著學生對數學的不同認知水平和與知識的遷移水平。方法二俗稱“硬算”，體現了解題人扎實的計算能力，但同時顯得解題人的視角不夠寬、處理問題的手法不夠靈活。方法三是探索規律的實踐，體現了解題人在嘗試中摸索數學現象內在規律的素養，顯示出學生務實的學習態度、靈活的解題手法。方法一體現了“會用數學眼光觀察世界”，學生面對數學問題能夠不急于“出手”，而是在“嗅”到了不宜采用“硬算”的氣息后，認真分析題目的內在規律性；通過逆向思維，反向應用整式乘法的分配率、乘方的意義、正向遷移分解因數、分數的基本性質，實現了化繁為簡、變難為易；沒有具體的數值運算，透射出解題的智慧與老練，體現了對字母表示數、對“代數”內涵的深刻理解。方法二是“強攻”，方法一是“智取”，方法三介于二者之間，也不失為一種解題的較好策略。

（二）學生編題的作用

編題的過程既能體現正向對因式分解的理解，又能考查逆向用整式乘法的驗證。組間交換互考、互批，既有利于學生學習積極性的調動和好勝心的激發，又有利于學生在班級展評中滿足自我實現的心理需求。但是，一節課進行兩次編題是否得當，還需再研討。同時，如果教學時間允許，第二次編題在何時呈現仍值得探究。此外，兩題是否可以合二為一，也需要再探索。

（三）教法選擇及理論依據

選用“任務驅動”的教法，能促進學生發現問題、解決問題。在問題的探究過程中，教師應不限制探究方式、不暗示探究方法，引導學生采用“小組合作學習”的學法。教師可通過“獨立思考→小組探究→班級展示”的流程，有效調動學生學習的主動性、積極性；通過“組間出題互考→班級簡評”的實踐活動，促進學生對所學知識的內化與應用，有效提高學生的學習興趣。

總之，教師要結合教學內容及具體的學情，采取合理的教學策略，讓概念教學取得良好的效果，使學生透徹理解、靈活運用數學概念。

參考文獻：

［1］鄭燕穗.基于深度學習理論的初中數學概念課教學［J］.數學教學通訊，2023（17）.

［2］馬曉琴.重視數學概念教學，強化概念本質理解［J］.中學數學，2023（8）.