“微分幾何”課程分層次混合式教學模式探索

楊云龍

（大連海事大學理學院 遼寧 大連 116026）

全面實現以學生為中心是落實全國高校思想政治工作會議精神和黨的二十大精神的重要舉措，旨在實現三全育人，培養新時代接班人，具有重大的戰略意義。以學生為中心的教學是全面貫徹以學生為中心教育理念的重要方面，也是教師落實三全育人的主要途徑。

微分幾何作為數學與應用數學專業必修課，是一門高階課程，能將數學分析、高等代數、解析幾何、常微分方程等先修課程內容進行綜合，對拓寬學生視野具有重要作用。近五年來，該課程面臨一些挑戰，如學生在開課前的學業績點差距明顯，對先修課程內容的掌握程度存在個體差異。為此，本文提出引入分層次教學方式。傳統的分層次教學因學時所限，難以獲得較好的效果，因此可借助混合式教學的方式來實現。混合式教學可根據知識點的難易程度，通過網絡資源對知識進行模塊化處理，為不同知識層次的學生提供不同難度和主線的課程內容，因材施教，不僅體現課程的高階性，還符合國家教育數字化戰略。

“以學生為中心”教育理念最早起源于美國實用主義教育家杜威，我國對這一教育思想的研究始于20 世紀90年代初。2011 年，華中科技大學校長李培根在《以學生為中心的教育——一個重要的戰略轉變》中明確提出“以學生為中心”的教育理念，這關乎大學的核心理念、精神與文化，也關乎學校未來發展戰略。

盡管對公共基礎課程的混合式教學已有較多實踐[1-4]，但數學類課程，尤其是微分幾何這樣的專業必修課，其以學生為中心的混合式教學研究仍相對較少。因此，探索以學生為中心的混合式教學模式，對于達成育人目標并在其他高年級數學專業課程中借鑒是具有重要意義的。

結合近五年的課前學生學業績點數據來看，對數學與應用數學專業學生進行同等程度的混合式教學，既不能滿足新時代高層次人才培養的需求，也是一種不結合具體教學實際問題的盲目教學改革。從學生特點、課程特點和課程所承載的培養目標任務來看，在有限學時內，既要確保學生掌握必要的知識，又要了解課程的實際應用、拓寬學生視野，采用以學生為中心的分層次混合式教學是一種必然的選擇。

分層次教學在數學線下課程，尤其是高等數學等數學類公共基礎課中，已進行相當程度的實踐探索，參見文獻[5-8]。在化學[9]和計算機[10]等具有實驗要素的學科中，分層次混合式教學模式已得到嘗試，但其在數學專業課程的實踐探索中并不常見。因此，針對數學與應用數學專業的特點，探索分層次混合式教學模式是非常有意義的。

1 微分幾何課程改革舉措

在以學生為中心的教育理念下，本文對大連海事大學數學與應用數學專業的“微分幾何”專業課進行了課程框架內容重塑。新的框架構成了多層次多目標的學習任務，通過“課前—課中—課后”教學過程的閉環設計，融入課程思政內容，三位一體地實現全面育人的培養目標。課程內容與畢業設計有效聯動，鼓勵學生在實踐中探索，加深對課程的理解，輔助完成協同育人中的重要一環。

在課程內容修訂上，以課程自編講義內容為藍本，嘗試將教材知識點分成A（基礎）、B（提高）和C（拓展）三個層次，探索與知識點對應的課程思政元素，具體實施細節如下。

1.1 課程內容分級

教材中A（基礎）層次知識點包括：內積、外積、混合積及其運算性質，向量函數的定義、一元（二元）向量函數的連續、極限、導數（偏導數）及其性質，平面曲線的定義、切向量、奇異點、正則點、平面曲線的弧長、曲率和Frenet 公式，空間曲線的定義、切向量、主法向量、副法向量、奇異點、正則點、空間曲線的弧長、曲率和撓率；不同參數下的Frenet 公式和曲率、撓率求法，平面凸曲線的概念、平面凸曲線的支撐函數和寬度函數，曲面的概念及其表示，曲面的第一基本形式、度量矩陣，曲面的第二和第三基本形式、法曲率、Gauss曲率、平均曲率、Euler公式，直紋面、可展曲面，Einstein 和式約定；Gauss 公式和Weingarten 公式，高斯絕妙定理及其應用，測地曲率、測地撓率的定義與計算，測地線的定義及測地線方程，Gauss-Bonnet 公式。

教材中B（提高）層次知識點包括：Lagrange 恒等式、Jacobi 恒等式和Binet-Cauchy 恒等式，一元向量函數的積分及其性質，平面曲線的Frenet 公式的應用，平面曲線論基本定理、近似曲線、平面曲線的高斯映射幾何意義，平面常曲率曲線的分類，空間曲線的Frenet 公式的應用，一般螺線，空間曲線論基本定理，平面曲線的切線極坐標和曲率中心軌跡，曲面的Gauss 映射和Weingarten 映射，可展曲面的特征，Gauss 方程和Codazzi 方程、曲率算子，曲面論基本定理，Liouville 公式，曲面上的半測地坐標網，常高斯曲率曲面分類，Gauss-Bonnet 公式的應用。

教材中C（拓展）層次知識點包括：旋轉指標定理、四頂點定理，切線的球面標線、球面曲線的刻畫，常曲率和撓率的空間曲線分類，近似曲線、切觸、Fenchel 不等式，用Fourier級數表示平面凸曲線的幾何量，等周不等式的不同證明方法，反向等周不等式、Chernoff不等式和反向Chernoff不等式，近似曲面、Dupin 指標線、Minkowski 公式、球面的剛性，曲面論基本定理的應用。

1.2 思政元素探索

針對不同層次的知識內容，確立以培養數學思維、樹立科學精神、抱有家國情懷、欣賞數學之美、探索生活實踐、掌握哲學思辨為導向的課程思政融入方向，具體實例：

①微分幾何以向量函數微積分為主要工具，探索幾何研究對象的整體性質，將“工欲善其事，必先利其器”的名句體現得淋漓盡致，展現了數學思維的系統性和全局意識。

②微分幾何中一個重要研究對象——等周不等式，自古希臘時期開始一直研究至今，經過不同時期數學家的深入思考，延拓出許多全新的主題，對等周不等式的不斷探索恰恰展現了不屈不撓的科學精神。

③國際著名微分幾何學家陳省身先生的幾何成就，激勵了一代又一代中國學生投身微分幾何學的研究。陳先生始終心系祖國，通過自身的國際影響，對國內數學事業的發展起到了不可磨滅的作用。

④微分幾何中的研究對象出現在實際生活中的許多場景中，如飛機和輪船的航線設計與微分幾何學中的測地線理論密切相關，海圖與地圖的制作與可展曲面緊密相連，鳥巢等許多建筑身上都有直紋面的身影。這些微分幾何在生活中的應用無不體現了數學的美。

⑤由活動標架法所引導的黎曼幾何理論與物理學家探究廣義相對論的工具不謀而合，恰恰體現了哲學中的事物的統一性原則。

在課程資源拓展方面，結合自建課程資源內容，篩選優秀的網絡內容資源，拓展學生的課后自主學習資源，引導學生獨立思考，具體實施細節如下。

1.2.1 學科史引入

介紹微分幾何的簡史，引入國際知名數學家丘成桐先生的“數學史：近代幾何的歷史”系列通識講座作為拓展資源，為學生搭建從學科史的角度去理解概念和定理的產生和發展過程的平臺，拓寬學生對微分幾何學科的認知，使學生理解和了解數學家思考問題的方式和角度，增加學生投身數學事業的熱情。

1.2.2 競賽試題選講

通過選講歷屆全國大學生數學競賽專業組中的“微分幾何”試題，幫助學生厘清不同知識點的內在聯系，從而深入理解課程內容，形成運用幾何學思想解決問題的全局意識和系統性思維方式。

1.2.3 研究性課題探索

增設與課程內容相關的研究性課題，供學有余力和對微分幾何有探究熱情的學生深入思考和拓展練習，如利用Fourier級數探究幾何不等式、利用活動標架法考慮球面的剛性問題等。

1.2.4 前沿應用推送

精選張偉平院士《從三角形到流形——Atiyah-Singer指標理論簡介》和南京大學“本科生論壇”中涉及微分幾何課程的相關通識報告，拓寬學生的數學視野和對微分幾何基本理論的理解。推送與課程內容相關的數學公眾號內容，使學生了解微分幾何知識的前沿應用，如國內知名的數學公眾號“老顧談幾何”中介紹微分幾何在計算共形幾何等圖形圖像處理領域中的應用。

在課程內容與畢業設計聯動方面，依據課程內容給出部分可以作為畢業設計的題目，將這些題目作為雨課堂討論區中的內容，供有興趣的同學預研。預研有一定成果的同學一般都會以本課程的題目作為畢業設計選題，這種“從課程中來”到“課程中去”的畢業設計題目設計機制，實現了研究內容與學生的雙向選擇，節省了畢業設計階段學生對選題的了解時間。實際應用到畢業設計選題的內容包括等周不等式的證明，平面凸曲線的幾何不等式，Fourier級數在幾何學中的應用，非歐氏空間的曲線與曲面理論，平面曲線流的相關研究等。

2 建設情況與實踐效果

兩個學期的課程建設完善了“微分幾何”在雨課堂平臺上的課程內容搭建，完成雨課堂資源包內圖文、視頻類內容共計10 章31 個學習單元（其中課程視頻資源40 個）及課程思維導圖與配套習題庫，為學生提供了不同程度的自主學習資源。

經過一個學期的實踐教學，在不改變平時成績占比且考題難度與考點相同的前提下，以學生的實際期末考試試卷成績為標準，2021―2022（2）學期（改革學期）與之前的學生成績數據相比，60 分以下的數量為0，90 分以上優秀學生的數量提高，平均成績較往年也有提高，詳見圖1。“微分幾何”混合式教學實踐踏出了以學生為中心的分層次混合式教學模式在大連海事大學數學專業課建設的第一步，對數學與應用數學等其他專業課程有一定指導意義。

圖1 改革前后學生成績對比

在課程內容與畢業設計聯動方面，本課程的實踐也取得了一定成果，在課程改革周期內累計指導與微分幾何課程內容相關的畢業設計6 人次，相關成果已整理完成并投稿2 篇國際學術期刊論文，其中1 篇已被《數學物理學報（英文版）》接受待發表。