夯實基礎知識，落實立德樹人

佟俊姬

摘 要： 2023年高考數學全國乙卷時代特色鮮明，體現了高考的繼承與發展、穩定與創新、基礎與思維、知識與能力等之間的密切關系.整套試題注重對數學基礎本質的考查，綜合中學數學的知識、思想、方法和能力的各項要求，有效貫徹了課標理念，積極平穩地推進了中學教學改革.

關鍵詞： 高考；數學；基礎知識；立德樹人

2023年高考數學已經落下帷幕，乙卷數學命題全面貫徹黨的教育方針，堅持“立德樹人”，為華育人，突出數學學科智育屬性，體現時代德育特征.該試卷是目前使用省份最多的一份試卷，主要包括河南、安徽、江西、山西、陜西、內蒙古、新疆、寧夏、吉林、黑龍江、青海、甘肅等12個省份，也是目前試卷考查與使用考生最多的數學試卷之一，影響力大.

2023年高考數學乙卷整套試卷的難度系數和數學思維量等方面，比起2022年高考數學乙卷有所變化，而且降低幅度很大，但依然突出數學核心素養和數學思想，體現出知識的基礎性，思維的發散性，明確體現出分類討論思想及數形結合思想等學生學科核心思想.

1 夯實基礎能力，關注數學本質

2023年高考數學乙卷通篇難易安排分布合理，選擇題前8題或者前9題，填空題前3道，解答題前2道，以及第19題，第20題，第21題的第一小問都是常規題目，難度上都進行了合理控制，體現了數學學科知識本質的基礎性，其中高中數學知識的四條主線，特征鮮明，如解析幾何模塊知識的考查占32分，立體幾何模塊知識的考查占22分，函數與導數模塊知識的考查占22分，數學建模+概率與統計模塊知識的考查占17分等.而文、理科分別偏向于數列（文科）、解三角形（理科）等知識點的側重考查與應用，體現文、理科之間的區別.

例1 ??（2023年高考數學全國乙卷文科·11） ：已知實數x，y滿足x2+y2-4x-2y-4=0，則x-y的最大值是（ ?）

A. ?1+ 3 2 ?2

B. ?4

C. ?1+3 2

D. ?7

分析： ?以熟知的直線與圓的位置關系場景，改變創設形式，通過代數式的最值來合理設置，熟悉中帶有“陌生”感，形成一個全新的場景設置.

解析： ?由x2+y2-4x-2y-4=0配方可得（x-2）2+（y-1）2=9，

則圓心C（2，1），半徑r=3，

設x-y=k，則圓心C（2，1）到直線x-y=k的距離d= |2-1-k| ?1+1 ?= |1-k| ?2 ?≤r=3，

即|k-1|≤3 2 ，解得1-3 2 ≤k≤1+3 2 ，

所以x-y的最大值是1+3 2 ，故選擇答案： C .

點評： ?結合所求代數式的整體思維與應用，引入參數，將問題轉化為直線與圓的位置關系問題，利用點到直線的距離公式構建相應的不等式來分析與求解.問題比較基礎，考查了基礎能力及其應用.當然還可以通過整體思維，借助方程的轉化，利用判別式法來分析與求解；也可以通過三角換元，將問題轉化為三角函數的圖象與性質方面來處理，都可以很好實現目標.

2 試題命制創新，巧妙交匯融合

2023年高考數學乙卷整套試題雖說不是很難，但題目比較新穎創新，一部分題目的交匯融合性好，綜合性很強，如第10題數列題是與函數相互綜合，第12題可以是平面向量與平面幾何或者平面解析幾何的結合，體現跨章節整合能力和知識的應用能力；又如第22題中的導數及其應用第二小問，解答非常創新，需要觀察函數的定義域進行探路后，再來分析與解決問題；又如第16題，考查對于導數及其應用的本質理解，需要對函數進行細致入微地分析，注重數學基礎知識的本質，有一定的思維量.

例2 ??（2023年高考數學全國乙卷理科·10） ：已知等差數列{a n}的公差為 2 π ?3 ，集合S={ cos ?a n |n∈ N *}，若S={a，b}，則ab=（ ?）

A. ?-1

B. ?- 1 2

C. ?0

D. ??1 2

分析： ?以集合為問題背景，通過集合中元素的個數來求解兩元素積的值.而此時巧妙滲透等差數列的概念與通項公式，三角函數的關系式與周期等相關的概念與基礎知識，可以形成“不同知識點的交匯”.

解析： ?依題知，a n=a 1+（n-1）· 2 π ?3 ，則有 cos ?a n= cos ???2 π ?3 n+a 1- 2 π ?3 ?，

則數列{ cos ?a n}的周期為T= 2 π ??2 π ?3 ?=3，

而集合S={a，b}中僅含兩個元素，則 cos ?a 1， cos ?a 2， cos ?a 3中必有兩個相等，

不失一般性，不妨設 cos ?a 1= cos ?a 2，則有 cos ?a 1= cos ??a 1+ 2 π ?3 ?，

可得a 1+ 2 π ?3 =-a 1+2k π ，k∈ Z ，即a 1=- ?π ?3 +k π ，k∈ Z ，

取特殊值a 1=- ?π ?3 ，可得 cos ?a 1= cos ??- ?π ?3 ?= 1 2 ， cos ?a 2= cos ??- ?π ?3 + 2 π ?3 ?= 1 2 ， cos ?a 3= cos ??- ?π ?3 + 2 π ?3 ×2 =-1，此時S= ?1 2 ，-1 ，

則知ab= 1 2 ×（-1）=- 1 2 ，故選擇答案： B .

點評： ?此題巧妙設置中等難度的題型，合理融合了集合、數列、三角函數等相關知識，設計非常創新新穎，通過創設不同知識點之間的“無縫”鏈接，實現不同知識點之間的交匯與融合，在同一個問題中實現不同基礎知識點之間的碰撞，產生閃亮的火花，是創新應用與創新意識的一大體現.

3 注重核心思想，開拓數學思維

2023年高考數學乙卷對于核心思想考查依舊非常突出，如第8題考查空間想象能力，第11題與第12題都側重于考查數形結合能力等，第16題考查化歸與轉化思想與能力，第17題考查建模與實際應用能力，第20題突出考查計算能力，第21題突出觀察能力與分析能力等.因此想要取得好成績，不僅僅只是埋頭刷題，更要勤于反思，善于總結，長于觀察，強于數學計算，這樣才能更好把握數學基礎知識的本質，全面開拓數學思維與技巧方法.

例3 ??（2023年高考數學全國乙卷理科·16） ：設a∈（0，1），若函數f（x）=ax+（1+a）x在（0，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是 ?????.

分析： ?通過設置含參的指數型函數，結合函數的單調性來確定對應參數的取值范圍問題.破解問題的關鍵就是合理的化歸與轉化，將陌生的問題轉化為熟知的模型來分析與處理，實現問題的破解.

解析： ?依題意，函數f（x）=ax+（1+a）x在（0，+∞）上單調遞增，

可得f ′（x）=ax ln ?a+（1+a）x ln ?（1+a）＞0（*）在（0，+∞）上恒成立，

令函數g（x）=ax ln ?a+（1+a）x ln ?（1+a），可得g′（x）=ax ln ?2a+（1+a）x ln ?2（1+a）＞0，

故導函數f ′（x）在（0，+∞）上單調遞增，此時以上不等式（*）恒成立，

則f ′（0）= ln ?a+ ln ?（1+a）≥0，即 ln ?［a（1+a）］ ≥0，亦即a（1+a）≥1，

結合a∈（0，1），解得 ?5 -1 2 ≤a＜1，即a的取值范圍是 ??5 -1 2 ，1 ，故填答案： ??5 -1 2 ，1 .

點評： ?此題以指數型函數為問題背景，借助函數在給定區間的單調性來確定對應參數的取值范圍問題.破解問題的關鍵就是借助導數及其應用，通過確定導函數在對應區間上不等式恒成立，引入構建新函數，結合新函數的單調性的化歸與轉化，并結合單調性與最值的確定來構建不等式，從而實現參數的取值范圍的求解.化歸與轉化思想的應用是解決此類問題的關鍵.

4 加強教考銜接，增強導向作用

2023年高考數學乙卷試題按照高中課程標準命題，突出數學主干知識，層次上與課程標準一致，題目上追求新穎，穩中求變，反對死記硬背和機械刷題，反套路，注重數學基礎知識本質和數學基礎思想方法，啟示教師提升數學課堂教學質量，引導學生全方位的動手動腦，讓學生在課堂上有獲得感和成就感，真正有效銜接起教學與改革的對接，增加教學與學習的導向作用.

例4 ??（2023年高考數學全國乙卷理科·4；文科·5） ：已知f（x）= xex eax-1 是偶函數，則a=（ ?）

A. ?-2

B. ?-1

C. ?1

D. ?2

分析： ?以基本的形式來設置函數的奇偶性，進而確定參數值問題.最基本的方法就是特殊值代入與驗證，而定義法的應用是解決問題的最基本的技巧與方法.無論應用哪種方法，都應給考生更多的切入點與創設更多的機會.

解析： ?依題知，f（x）是偶函數，根據偶函數的定義，

可知對任意的x≠0，都滿足f（-x）=f（x），

則有f（-x）= -xe-x e-ax-1 = - x ex ??1 eax -1 = -xeax-x 1-eax = xeax-x eax-1 =f（x），對比系數可知，a-1=1，

解得a=2，故選擇答案： D .

點評： ?抓住含參函數是偶函數的性質，借助偶函數的定義f（-x）=f（x），綜合冪運算來轉化與應用.而在具體解題時，還可以通過取特殊值來驗證達到目的，如f（-1）=f（1），注意對所求解的參數值進行合理的取舍；還可以利用導數法來嘗試與應用，通過研究f ′（x）是奇函數來達到目的.

2023年高考數學乙卷命題整體布局，堅持“立德樹人”，堅持為華鑄魂.習近平總書記多次在公開場合或會議上強調要加強基礎性學科培養，如數學，物理，化學等基礎學科，創新是一個民族的生命力，國家科技創新力的根本源泉在于人.

十年樹木，百年樹人.要把教育擺在更加重要位置，全面提高教育質量，特別注重培養學生創新意識和創新能力.而2023年高考數學乙卷試題則有著重要引領示范作用，整套試卷穩中求新，難易安排有度，讓扎扎實實學過來的孩子有回報感，讓有天賦的孩子也能夠獲得與別人對比的自豪感，反套路，反刷題，重在“四基”與核心素養的考查與應用.這也將對高中數學教學與學習起到非常積極的引導作用，發揮指揮棒的功能.

參考文獻：

［1］ 劉海濤，萬勝.探析高考真題，明晰備考方向——對2023年全國乙卷數學試題的評析［J］.高中數理化，2023（13）：7 10.

［2］ 教育部教育考試院.深入考查基礎知識和能力助力人才選拔和“雙減”落地——2023年高考數學全國卷試題評析［J］.中國考試，2023（7）：15 21.