數學軟件輔助函數教學的研究分析

周星辰 吳婉君

摘要：函數教學是高中數學教學全過程中至關重要的一環。然而，函數知識的抽象性和復雜性常常給學生帶來困惑。為了更好地幫助學生理解函數的概念，激發學生的興趣，提高教學效果，將信息技術應用于函數教學是一種有效的方法。本文探究基于Maple數學軟件平臺的信息技術融入高中數學的函數課堂教學中，希望更好地助益高中數學課堂教學，并提升教學效果。

關鍵詞：數學軟件；高中數學；Maple；函數教學；信息技術

函數作為高中數學中的重要概念知識點，貫穿整個高中數學教學。然而，函數的抽象性和復雜性，讓許多高中學生難以理解和掌握，給教師的課堂教學帶來一定的了挑戰。特別是在涉及涉及到函數圖像變換和參數變化的內容時，學生更容易出錯并難以理解，導致課堂效率低下。傳統函數教學中存在一系列教學障礙，其中充分發揮數形結合思想對于學生理解函數概念至關重要。然而，傳統的手寫描點繪圖方法往往不能準確呈現數形結合思想，因此需要借助教育信息技術工具來輔助教學。其中，Maple平臺在函數教學輔助中發揮了重要作用。作為一款廣泛應用于數學及工程計算領域的軟件平臺，Maple具有編寫程序、繪制圖形、高性能運算等強大功能。它不僅能簡化教學過程，還能提供動態數學實驗的研究環境。Maple的簡單易學和方便快捷的使用方式使得它成為高中數學教學課堂上的理想輔助工具。通過在課堂上應用Maple，學生可以更好地進行數形結合思想的探索，并提供更直觀、動態的圖形呈現。這有助于解決傳統數學教學中的一系列教學障礙，提高課堂教學效率。

一、《指數函數的圖象和性質》案例分析

本節內容選自高中數學人教A版必修一第四章4.2.2指數函數的圖像和性質。此課中學生的學習障礙是無法掌握當底數a在變化時對指數函數有何影響。傳統函數教學課堂中教師根據底數a的范圍分為a＞1和0＜a＜1兩類指數函數并對指數函數性質進行研究和討論。那具體應該如何分析和研究它們呢？如果僅是通過描點法畫出若干個指數函數的曲線圖象，然后討論并歸納其中的共有特點，從而導出它們的性質。那么學生則很難理解：為何底數a必須取值a＞0且a≠1？為何要劃分a＞1和0＜a＜1這兩類來進行指數函數性質的研究？如此就急需教育信息技術工具登場幫助教師針對學生疑惑進行解答。

教師展示實例“一尺之棰，日取其半”及“木馬病毒，自我復制”，分析函數解析式的共有特性，由此導出指數函數的概念：一般地，函數y=ax（a＞0且a≠1）叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域是R。

【思考探索】為何必須a＞0且a≠1呢？如果設定a＜0，a=0或者a=1，那么結果會怎樣呢？

師生在Maple數學軟件平臺上探究手動拖動滑動條令底數a變化時指數函數曲線的動態變化進程。詳細步驟如下：第一步錄入Maple編程命令行語言： plot（ax， x=-2..2， y=-1..8）。 第二步點擊鼠標右鍵，彈出上下文菜單，在菜單里選擇按鈕“探索器”，隨即出現一個探索器界面，在Explore中可以對底數a進行取值范圍設定。隨即學生可以拉動滑動條更改變量a的取值，從而探究函數曲線的變化狀態。通過這個過程，學生可以清楚地看到函數曲線跟隨底數a數值的更改而運動。

學生使用探索器滑動a值做數學實驗，其間期間能夠觀察到：當a＜0時，Maple平臺繪制不出指數函數的圖像；當a=0時，Maple平臺只能繪制出只有半截直線的圖像；而當0＜a＜1時，隨著底數a拖動的數值漸漸增大，Maple平臺繪制的指數函數曲線上部漸漸遠離y軸，但它們始終經過定點（0，1）；當a=1時，Maple平臺繪制的指數函數圖像為一條y=1的直線；當a＞1時，可以觀察到，拖動底數a的數值漸漸增大，Maple平臺繪制的指數函數曲線上部漸漸靠近y軸，但它的下部無限靠近x軸，并始終經過定點（0，1）。通過手動滑動探索器的滑動條，細心觀察歸納，學生能形象清楚地總結出底數a對于函數性質有著怎樣的影響。

【教師問題】a＜0時，指數函數沒有圖像是為什

么？a=0時指數函數圖像只有半截圖像是為什么？a=1時指數函數圖像是與x軸平行的直線又是為什么？你們嘗試從數的角度進行分析。

【學生回答】若a=0，則當x>0時，ax=0；當x≤0時，ax無意義。所以才繪制出半截圖像。若a＜0，如（2）x，這時對于x=1/4，x=1/2，…，處于實數范圍內也是無意義的，因此也無函數圖像。若a=1，則對于任何x∈R，ax=1，它是一個常量，因此才繪制出與x軸平行的一條直線。正是因為以上這幾類取值是無數學意義的，所以我們才明白為什么要設定指數函數的底數取a＞0且a≠1。

【師生探索】現在有兩個指數函數，它們的底數互相為倒數時，能找出兩圖像之間的聯系和規律嗎？

【學生實驗】在Maple數學軟件平臺的程序界面輸入plot（[ax， （1/a）x]， x=-2..2， y=-1..8），點擊探索器，描繪出底數互為倒數的兩指數函數曲線，如圖2所示。學生操縱滑動條探究它們之間的規律與聯系。

從以上實驗結果可以清楚地發現，隨著a值的不斷變化，兩函數曲線的圖像也在不停地發生改變，但有一樣卻始終無變化，那就是它們的對稱性。不管兩曲線是如何動態的舞動，它們始終關于y軸對稱。由此，學生最終可推出：如果兩個指數函數圖像的底數互為倒數，那么它們關于y軸對稱。

二、《函數y=Asin（ωx+φ）的圖像》案例分析

本節內容選自高中數學人教A版必修一第五章5.6.2的對生產生活中常遇的函數類型進行深一步的研究，即y=Asin（ωx+φ）函數的圖像分析。三角函數圖像變換規律的探索研究是函數課堂教學中的重難點。傳統課堂的函數教學很難呈現出圖像變換的動態性，而Maple數學軟件繪制三角函數圖像僅需要一行程序代碼即可，且平臺自帶的“探索器”功能能設定參數值范圍并對函數中的參數值進行動態的觀察，探究出參數對y=Asin（ωx+φ）圖像造成的具體影響，從而把握其中的規律。從現代化角度講，這已經轉變成一個簡單的信息技術試驗過程。

教師導入交流電實例及物理簡諧振動的實例，帶領學生通過Maple數學軟件平臺進行函數圖像的繪制，探究各參數φ，ω，A對函數y=Asin（ωx+φ）的影響，從而總結規律，幫助學生理解和記憶。

第一步在Maple平臺上輸入繪制函數的程序語言，其中包含若干個變量，并對x軸、y軸的范圍進行規定設置plot（Asin（ωx+φ）， x=-2Pi ，y=-4.4）；

第二步點擊鼠標右鍵，彈出上下文菜單，在菜單里選擇按鈕“探索器”，隨即可以在出現的探索器界面進行參數范圍設置，同時可以在Explore中對三個參數進行取值范圍的設定。最后學生可以拉動滑動條更改變量的取值，從而觀察探究函數曲線的變化狀態，如圖3所示。在此過程中，學生可以清楚地看到，函數曲線會跟隨參數數值的更改而運動。

在探索器中拖動φ，ω，A三個參數中的任意滑動條對參數變量的值進行更改：隨著參數值的改變，三角函數圖像曲線也隨之改變。學生通過對這一函數圖像變化的過程進行細心觀察，能有效歸納和掌握平移、周期、振幅三類過程變換的規律。

（1）探究φ對y=Asin（x+φ）， x∈R的圖像的影響。

學生在探索器界面里設定滑動條A和ω均為1，拖動φ滑動條，細心觀察函數曲線圖象的改變，洞悉其內在規律。

【學生思索】從函數曲線圖象變化的動態過程可發現：操縱滑動條φ按正數方向由0向右拖動時，函數曲線朝左邊平移；操縱滑動條φ按負數方向由0向左拖動時，函數曲線朝右邊平移，如圖4所示。由此可得出結論：y=sinx函數曲線上全部點向左邊平移π/2得y=sin（x+π/2）；y=sinx函數曲線上全部點向右邊平移π/2得y=sin（x-π/2）。

教師和學生一起在Maple數學軟件平臺上編寫程序繪制出y=sinx， y=sin（x-π/2）， y=sin（x+π/2）函數曲線在兩周期的圖像來對學生的推論進行印證。

【教師總結】概括總結參數φ對y=sin（x+φ）x∈R的圖像的影響：正弦曲線sinx上的所有點沿x軸向左邊平移（φ＞0）或向右邊平移（φ＜0）|φ|個單位得出y=sin（x+φ）函數。

（2）同上探究ω（ω＞0）以及A（A＞0）對y=sin（ωx+φ）圖像的影響。

（3）根據實驗結果師生歸納總結三角函數的圖像變換規律。

通過應用Maple數學軟件平臺，上述示例可以幫助學生自主地探索函數的性質。使用平臺的探索器功能，學生可以直觀地操作動態曲線，增添了活動性和參與感。學生們可以通過拖動參數滑動條，觀察函數曲線的變化并欣賞它們的“舞蹈”。這種互動性的學習方式不僅能激發學生的興趣，還能自然而然地引導他們發現函數曲線中隱藏的規律。通過這種探索過程，學生可以總結出函數的概念和性質。這樣的學習方式有助于增強學生對數學的理解和應用能力。

三、結束語

本文以高中函數教學為實驗內容，以Maple為技術媒介，嘗試將二者進行深入地有機融合，希望在高中數學課堂上搭建一個學生能動手實踐、主動探索的信息技術實驗平臺，從而為信息技術更好地助益高中數學課堂教學提供一些有效的幫助。

作者單位：周星辰 曲阜師范大學網絡信息中心

桂林電子科技大學廣西密碼學與信息安全重點實驗室

吳婉君 廣東省中山市龍山中學

參? 考? 文? 獻

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基金項目：廣西科技計劃項目“有限域上特殊類型置換多項式的構造及其在密碼學中的應用研究”（18281065）。

周星辰（1986-），女，湖南常德，碩士研究生，助理實驗師，研究方向：教育信息化；

通訊作者：吳婉君（1990-），女，湖北天門，碩士研究生，高中數學教師，研究方向：中學教育。