巧借數(shù)形結(jié)合思想，高效解答數(shù)學(xué)試題

陸吉明

【摘要】高中數(shù)學(xué)是一門難度相對較大的科目，相應(yīng)的試題難度也比較大.解題訓(xùn)練是日常教學(xué)中不可或缺的一個重要環(huán)節(jié)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的知識應(yīng)用能力，還能夠訓(xùn)練他們的解題能力，數(shù)學(xué)教師除傳授一些常規(guī)解題方法外，還要注重部分特殊解題技巧的講授，數(shù)形結(jié)合思想即為其中之一，指導(dǎo)學(xué)生巧借數(shù)形結(jié)合思想高效解答數(shù)學(xué)試題，不斷增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.本文據(jù)此展開深入分析與探討，并分享部分解題實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；解題

數(shù)形結(jié)合思想作為一種邏輯性與實(shí)用性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)解題思想，也是一種把抽象思維與形象思維結(jié)合到一起的解題思維，能夠把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成形象的直觀圖形，以便學(xué)生更好地展開分析與理解，還可以把形象圖形中的數(shù)學(xué)概念與內(nèi)在含義抽取出來，轉(zhuǎn)變成具體的數(shù)量關(guān)系，以便他們歸納與運(yùn)用.對此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)指引學(xué)生根據(jù)具體題目巧妙借助數(shù)形結(jié)合思想分析題意，使其從中快速找到解題的切入點(diǎn)與思路，讓他們高效地解答試題［1］.

1 巧借以形助數(shù)思想，高效解答數(shù)學(xué)試題

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，將“數(shù)”和“形”結(jié)合到一起的方法就是數(shù)形結(jié)合思想，不僅在內(nèi)容方面，在方法使用方面均相互聯(lián)系和滲透，彼此之間還可以相互轉(zhuǎn)化，由此形成數(shù)形結(jié)合思想這一特殊的數(shù)學(xué)解題思想.數(shù)形結(jié)合是一種比較特殊的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)用時一般分為兩種情況，第一種是以形助數(shù)，利用“形”的直觀特征對“數(shù)”的關(guān)系展示出來.數(shù)學(xué)教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)題目中提供的數(shù)量關(guān)系，畫出與之對應(yīng)的圖象或者圖形，讓他們求得準(zhǔn)確答案［2］.

例1 請闡述一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)三者之間的關(guān)系.

分析 本題題干十分簡單，只是讓闡述這三個數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，如果不列式、畫圖的話很難展開說明，這時教師可提醒學(xué)生采用以形助數(shù)的思想，把文字說明轉(zhuǎn)變成圖形樣式，這樣就顯得簡單明了，易于他們更好的解題.

詳解 可以借助平面直角坐標(biāo)系，先畫出一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，如圖1所示，利用圖象能夠直觀看到一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數(shù)之間的關(guān)系，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)即為一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，位于x軸上方的圖象部分是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集，位于x軸下方的圖象是一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集.

例2 在反比例函數(shù)y=kx（k≠0）圖象上面任意取一點(diǎn)，分別做出與x軸和y軸相平行的線，證明：這兩條平行線同x軸和y軸之間圍成的圖形面積為定值.

分析 這是一道典型的有關(guān)數(shù)量關(guān)系的試題，但是并沒有配圖，假如不畫出圖形的話，學(xué)生的思維極易受到阻礙，很難形成簡便的證明思路，此時，教師應(yīng)指導(dǎo)他們巧借以形助數(shù)的解題思想，先根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，通過對圖形的直觀觀察，找到需證明的問題和題目信息之間存在的關(guān)系，使其快速確定證明思路

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詳解 根據(jù)題意先在一個平面直角坐標(biāo)系中畫出反函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象，在圖象上面任取一點(diǎn)A（a，b），分別畫x軸與y軸的平行線出AB與AC，可以得到一個四邊形ABOC，面積是SABOC=AB×AC，其中AB=a，AC=b，則四邊形ABOC的面積SABOC=a×b=k，從而證明四邊形ABOC的面積為反比例函數(shù)中的定值k.

2 巧借以數(shù)解形思想，高效解答數(shù)學(xué)試題

上文指出數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用一般包括兩種情況，第二種則為以數(shù)解形，即為利用“數(shù)”的精確性對“形”的一些屬性進(jìn)行闡明，當(dāng)部分幾何圖形比較簡單時，觀察后很難看出存在的規(guī)律，此時就能夠給圖形賦予適當(dāng)?shù)闹担窠嵌取⑦呴L等.在數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，當(dāng)遇到一些同幾何圖形有關(guān)的題目時，采用幾何圖形對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究，即可采用代數(shù)的方式進(jìn)行解決，把復(fù)雜的幾何圖形問題轉(zhuǎn)變成簡單的數(shù)量關(guān)系問題，從而讓學(xué)生高效率的解答試題［3］.

例3 如圖3所示，某學(xué)校有一個旗臺，其中在坡度為15°的看臺B點(diǎn)和看臺坡腳A點(diǎn)處，分別測得旗桿頂部的仰角為30°和60°，測得看臺坡腳A點(diǎn)與B點(diǎn)之間的長度是10米，請問旗桿CD的高度為多高？

分析 處理這一帶有幾何圖形類的試題時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題干中提供的信息構(gòu)建出相應(yīng)的三角形，使其利用三角形進(jìn)行求解時，需先求出AD的長度，再運(yùn)用直角三角形知識求出旗桿CD的高度，讓他們巧借數(shù)形結(jié)合思想把已知與未知條件均轉(zhuǎn)變成邊和角，最終通過以數(shù)解形的方式準(zhǔn)確、快速的解答試題.

詳解 根據(jù)圖中信息可知，在△ABD中，∠ABD=45°，∠BAD=105°，∠ADB=30°，根據(jù)三角形正弦定理能夠得到10sin30°=ADsin45°，據(jù)此求得AD的長度是102米，在Rt△ACD中，AD=102，∠CAD=60°，結(jié)合三角形正弦定理sin60°=CDAD=CD102，能夠輕松求出CD=56米，也就是說旗桿CD的高度是56米.

3 結(jié)語

總的來說，在數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動中，數(shù)形結(jié)合思想有著廣泛的應(yīng)用空間，教師需以理論知識的講授為前提，幫助學(xué)生以透徹理解與牢固掌握數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)和內(nèi)涵為基礎(chǔ)，根據(jù)實(shí)際題目內(nèi)容巧妙借助數(shù)形結(jié)合思想中的以形助數(shù)或者以數(shù)解形進(jìn)行解題，以此降低數(shù)學(xué)試題的難度，使其確定簡便的解題方案，減少錯題現(xiàn)象的出現(xiàn)，助推他們高效解答數(shù)學(xué)試題.

參考文獻(xiàn)：

［1］王亞麗.數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.新課程教學(xué)（電子版），2022（18）：98-99.

［2］魏蘋.淺析數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)之友，2022，36（16）：55-58.

［3］章福枝，錢愛林.數(shù)形結(jié)合思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用［J］.湖北科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2020，40（02）：95-98+128.