打造追求思維含量的高中數學課堂

羅飛

［摘? 要］ 以學生的認知基礎去實施有效的高中數學教學，很關鍵的一點就是在認知基礎與教學目標之間搭建一座堅實的橋梁，這樣學生才能從真實的出發點走向科學的落腳點. 這個橋梁就是“思維”. 無論是數學知識的積累，還是數學學科核心素養的落地，一定是學生思維作用的結果. 學生只有借助自身思維，才能讓數學知識真正成為自身所擁有的知識，而數學學科核心素養也只能在理解和掌握知識的過程中落地. 從這個角度來看，打造引領學生追求思維含量的高中數學課堂，是一線數學教師的主要任務.

［關鍵詞］ 高中數學；思維；含量；課堂教學

從2001年開始正式推行課程改革，至今已有二十多年. 在這二十多年的時間內，關于支撐課程改革理論的討論與熱議，經歷了一些重要變化. 站在今天的角度來看，最重要的變化之一就是當下核心素養概念的提出. 核心素養是對教育教學目標的描述，強調的是培養學生適應社會發展與終身發展的必備品格與關鍵能力. 這意味著必備品格與關鍵能力是核心素養定義中最核心的兩個關鍵詞，在將必備品格與關鍵能力作為所有學科教學目標的時候，要思考學科教學中如何實現這些目標. 課程標準的修訂使得核心素養與學科教學之間有緊密的聯系，而學科教學的主要任務就是促進學科核心素養的落地. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出高中數學學科核心素養由數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析等要素組成.

面對核心素養目標的實現需要，一線教師在日常教學中的思考必須既符合課程標準的要求，又符合學生的認知發展規律，這樣才能支撐起學生核心素養的發展. 在筆者看來，基于學生的認知基礎去實施有效的高中數學教學，很關鍵的一點就是在認知基礎與教學目標之間搭建一座堅實的橋梁，這樣學生才能從真實的出發點走向科學的落腳點.

對高中數學學科而言，這個橋梁是什么呢？筆者認為這個橋梁就是“思維”. 無論是數學知識的積累，還是數學學科核心素養的落地，一定是學生思維作用的結果. 學生只有借助自身思維，才能讓數學知識真正成為自身所擁有的知識，而數學學科核心素養也只能在理解和掌握知識的過程中落地. 從這個角度來看，打造引領學生追求思維含量的高中數學課堂，是一線數學教師的主要任務. 下文以新人教A版高中數學必修第一冊“三角函數”中的“任意角和弧度制”教學為例，談談一些思考與做法.

一些追問引起的數學教學思考

從時間的角度來看，近二十多年來的課程改革變化是顯著的，課程標準的修訂以及相關概念的提出，讓一線教師處于較快的教學理念切換的過程中. 應當說在教學中追求“變”有其必要性，但是在追求“變”的過程中也應當思考一些深層次的東西. 一位教學經歷豐富的教師曾反思如下：從事高中數學教學教研已有三十九年，經歷了一次又一次課程改革，聽了一場又一場專家報告，觀摩了一節又一節數學公開課，翻閱了一篇又一篇數學文獻，我不斷拷問自己數學教學的意義在哪兒？數學教學核心是什么？它不受世事變遷，永遠追求的本色又是什么？［1］

這些追問引起筆者深深思考，站在一線教師的角度來看，處于日常工作狀態的一線教師，所期待的是在“變”與“不變”之間取得一定的平衡. 也就是說，教師要保證自己的教學理念是相對先進的，是與國家課程標準完全一致的，但是在具體實施時又要有一個能夠貫穿教學始終的著力點. 這個著力點就應當是學生的思維. 如果說課程標準規定的數學教學的意義在于核心素養的落地，對教師來說，緊扣學生的思維發展，讓學生進入一個科學的數學知識建構過程，然后讓數學學科核心素養與知識建構過程相伴相生，是一個良好的教學樣態.

對于這樣的教學樣態而言，同時涵蓋了傳統的數學教學目標與核心素養發展的要求，從理論的角度來看具有強大的生命力. 聯系前面的追問，很明顯，緊扣學生的思維來教學，更能夠相對直接地把握數學教學的意義，能夠理清對數學教學核心的認識，體現數學教學永遠追求的本色.

當然必須注意到的是，從學術的意義來看，思維是學生知識學習背后的大腦活動，其本身是內隱的，是無法直接觀察的. 要把握好學生在數學知識學習過程中的思維，主要看學生在問題解決過程中的具體表現，比如看學生對知識的有效連接與運用，看學生對數學思想方法的有效激活與運用. 如果在問題解決過程中，學生有良好的表現，那么伴隨學生學習的就是與數學學科核心素養相關的環節，而這些環節需要教師帶著核心素養的培育意識進行設計.

從上面的分析可以得出一個基本結論，那就是對于高中數學學科而言，無論課程如何改革，教學如何變化，總存在需要堅守的對象. 立足學生的思維發展而教學，就是需要堅守的思路. 因此打造一個追求思維含量的高中數學課堂，就應當成為銜接傳統與現代的高中數學教學、成為體現繼承與創新的數學學科教學的關鍵載體. 事實證明，只要堅持打造追求思維含量的數學課堂，就能夠為核心素養背景下的高中數學教學開辟新的天地.

打造追求思維含量的數學課堂

高中數學教學歷來重視思維的價值，新頒布的課程標準也明確指出，“數學在形成理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用”. 要讓學生形成理性思維與科學精神，要讓學生的智力得到發展，說到底還是要抓住思維這一核心要素. 考慮到班級授課制的基本特征，在發展學生的思維能力時固然要關注個體，但同時也需要關注群體效應，這就是筆者強調要“打造追求思維含量的數學課堂”的關鍵所在.

所謂有思維含量的數學課堂，首先意味著班級中的所有學生都能夠沉浸在群體高效思維的學習情境中，也就是教師所創設的學習情境、所提出的數學問題，應當讓所有學生面對并思考（當然思考的層次有所不同）；其次意味著學生個體在這樣的課堂上能夠各有收獲. 這是一個非?，F實的問題，也是影響學生個體學習獲得感的重要問題. 如果教師在教學過程中給出的學習素材以及提出的學習問題，能夠表現出一定的層次性，那么學生在課堂上、在自己的最近發展區內就能獲得最高的學習效率. 通過這樣的分析可以發現，有思維含量的數學課堂必須堅持“以生為本”，要強調學生在學習過程中的獲得感. “以生為本”的課堂不僅需要學生充分參與課堂活動，更需要提升學生的思維深度和廣度. 思維生長的核心，也是發展學生核心素養的關鍵所在［2］. 認識到這些后就可以組織具體的教學了.

“任意角和弧度制”在高中數學知識體系中是基礎性知識，從學生學習的角度來看面臨著一定的障礙，尤其用弧度制來表示角度對于相當一部分學生而言有顯著的不適感. 要化解學生的學習困難，最有效的思路之一就是為弧度制知識的生成創設良好的情境，確保學生在足夠的時間和空間中進行深入思考，讓學生用自己的思維對相應的知識進行精加工，這樣可以保證信息加工的效果，可以讓弧度制知識進入學生的長時記憶. 而這樣的課堂自然就是有思維含量的課堂！

在具體設計教學時，筆者認為應當重視以下幾個環節.

一是情境創設環節. 越是抽象的知識越需要情境的支撐，弧度制相對于學生熟悉的角度制而言，是比較抽象的，在這種情況下，想讓學生順利建立起弧度制的概念，就要保證學生的思維對象是豐富的. 這里可以借助教材所設計的圓周運動，讓學生觀察圓周上某一點以另一點為起點做逆時針旋轉運動，思考如何刻畫運動點的位置變化. 在這一情境中，學生面對的是一個圓，以及圓周上的兩個點（如圖1所示）. 對于高中生而言，情境問題并沒有太大的難度，因此教學起點的確定可以說是符合學生認知發展規律的. 而在這一基礎上提出的問題，主要引導學生圍繞“位置變化”進行思考，很顯然學生必須借助已有知識來回答這一問題.

當學生有了一定的認識后，就可以引導學生進行深度思考，于是教學自然進入下一個環節.

二是深度思考環節. 要讓學生將思維從熟悉的地方切換到不熟悉的領域，首先必須讓學生認識到有其必要性. 而這種認知心理，也需要靠情境或問題來達成. 一個最基本的問題就是當點P越過出發點A后，角度α的大小就超過了周角（360°）的大??；更進一步，在很多生活情境中，要描述某一點位置的變化，只用水平角度是不夠的，還要關注這一點旋轉的方向（如圖2所示的齒輪中A，B兩點運動的方向不同），這時想用簡潔的語言進行描述，角度制就顯得捉襟見肘. 在這種情況下應當如何解決這一問題呢？

此時教師應當將思維時間與空間還給學生，讓學生充分思考、充分猜想，哪怕出現錯誤的答案也不應當簡單批評. 實際上，在這個過程中，部分學生能夠將旋轉的方向想方設法納入原有的知識體系. 比如有學生圍繞點P的運動過程中圓周半徑的變化，結合旋轉的方向來描述角的變化. 看來學生不太可能一下子想到正角和負角，但是學生的思維被激活后，教師可以慢慢地引導，使學生對任意角有更加豐富的認識.

有了這些認識后，教師可以進一步提出問題：度量角時是否存在不同的單位制？能否用十進制的實數來度量角的大小呢？這在弧度制概念建構的過程中是一個重要問題，而解決這個問題可以在前面學習的基礎上（實際上就是在學生原有的認知基礎上）

思維是高中數學教學永恒的追求

在上文的教學案例中，在兩個重要的教學環節里，學生都有充分的思維空間，學生的思維在情境素材以及問題的支撐下被激活. 思維的激活與思維空間的存在，意味著這樣的課堂上學生的思維有著顯著的沉浸感，每一個學生都可以在這樣的課堂上面對教師提出的問題，先去激活自己的思維，然后在自己的思維中進行推理. 由于學生個體間的差異，他們所推理得出的結果自然會存在諸多不同，這種情況下如果教師再借助合作學習讓學生充分交流，那么學生就會有一個新的思維空間.

值得一提的是，要打造具有思維含量的課堂，還必須關注學生學習后的反思環節——要提高學生的學習品質，學習反思是至關重要的環節. 學習反思可以讓學生在回顧學習過程時，除去其中一些不重要的因素，只留下自己感興趣、能引發自己深度思考的因素，當這些因素得到重視，價值得到確認時，學生對數學概念的來龍去脈就會更加清晰，對知識的邏輯認識也會更加深刻，這自然能提升學生的學習能力，而邏輯推理、數學建模等要素也能得到落實. 可以說，有反思的課堂才是具有思維含量的課堂，是能夠促進學生數學學科核心素養發展的課堂，是沒有邏輯矛盾、能夠得到事實支撐的課堂.

總而言之，思維是高中數學教學永恒的追求，核心素養背景下的高中數學教學，依然要抓住思維這一核心要素來打造有思維含量的課堂.

參考文獻：

［1］ 張金良. 聚焦思維張力 構建思維課堂［J］. 數學通報，2022，61（05）：23-29.

［2］ 沈月. 聚焦思維課堂，培養核心素養——例談基于提高數學思維能力的初中數學課堂構建［J］. 數學教學通訊，2019（20）：37-38+48.