初中數學解題反思實踐研究

王志學

【摘要】反思是一種良好的學習習慣，學生通過對解題進行反思，檢驗自己的學習成果，有助于提高學習水平.在初中數學教學中，如何引導學生在解題中進行反思，已成為當前教師的教學研究重點.文章介紹了初中數學解題反思的三種途徑：審題、解題、一題多解，并基于初中數學解題教學案例，深入分析初中數學解題反思的具體應用策略，旨在為教師的教學實踐提供參考，增強學生的解題反思意識.

【關鍵詞】初中數學；解題；反思

解題反思是指對解題過程及解題方法進行反思，是對解題規律認識不斷深化的創造性活動.在初中數學解題教學中，引導學生反思有助于學生把握解題要領，進而從不同角度分析問題，建立知識結構框架.解題反思是鍛煉思維能力的最佳方式，初中數學教師應引導學生深入反思自己的審題疏漏，對解題過程進行總結，思考一題多解的方法，讓學生養成主動反思的好習慣，逐步在學習中完善自己的知識體系，進而提高自己的解題效率和正確率.

一、幾何解題反思

幾何問題是煩瑣程度相對較高的問題，對學生的反思能力有一定的要求.學生不僅要挖掘出幾何題目中的隱含信息，而且要通過有效的信息標注尋找解題關鍵，并在反思中提高自己的問題分析、解決能力.教師可以引導學生分析題目中的關鍵條件，并注意通過隱含的題目信息進行解答，進而提高自己的解題反思能力.

例如，在教學“三角形全等的判定”時，教師可以引導學生認真審題，分析解題步驟是否存在疏漏，研究一題多解的方法，進而形成分類思想，掌握研究三角形全等問題的新思路.

（一）審題———分析題目中的隱含條件

例1 在如圖1所示的三角形木架中，AB=AC，AD是連接點A與BC中點D的支架，求證△ABD≌△ACD.

分析 常見的三角形結構測試實驗，就是將三根木條釘成三角形木架，在三邊長度確定的條件下，三角形的形狀、大小隨之確定.因此，從三角形三邊是否相等的角度進行分析即可以證明命題.

反思 此題中，AD既是△ABD的邊又是△ACD的邊，稱之為兩個三角形的“公共邊”.在審題過程中，學生容易遺漏問題中的隱含條件“AD是連接點A與BC中點D的支架”，導致證明出錯.針對這種類型的幾何問題，解答時需要細致閱讀題目，在審題環節挖掘出題目中的顯性條件與隱性條件，將有效信息轉化成實際圖形，以便下一步進行證明.

（二）解題———證明命題，總結作圖方法

對于全等三角形的判定問題，學生要靈活利用判定方法來判定三角形全等.在反思引導中，教師應注重解題步驟的分析，引導學生在書寫證明過程時，做到步步有據.

在例1審題反思后，教師便可以分析解題步驟.

證明 ∵D是BC中點，

∴BD=DC.

在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）.

由三邊相等的判定結論，可以得到尺規作圖（一個角等于已知角）的方法.教師可以引導學生解決問題：已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.如圖2.

反思

（1）根據上圖可知，以O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C，D；

（2）畫出射線O′A′，以點O′為圓心，OC長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；

（3）以C′為圓心，CD長為半徑畫弧，與（2）中的弧交于點D′；

（4）過點D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′即為所作.

（三）一題多解———探究證明方法區別

三角形全等問題的一題多解，能開闊學生的學習視野，使之思維發散，形成良好的創新思維意識.

例2 如圖3，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求證：∠CDF=∠BDE.

證法一 如題圖3，連接AD.

∵AB=AC，BD=CD，AD=AD（公共邊），

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠ABD=∠ACD（全等三角形對應角相等）.

∵∠ABD+∠DBE=180°，∠ACD+∠DCF=180°（平角定義），

∴∠DBE=∠DCF.

在Rt△DEB與Rt△DFC中，∠DBE+∠BDE=∠DCF+∠CDF=90°（直角三角形兩銳角互余），

∴∠CDF=∠BDE（等角的余角相等）.

證法二 如題圖3，連接AD.

∵AB=AC，BD=CD，AD=AD（公共邊），

∴△ABD≌△ACD（SSS）.

∴∠ABD=∠ACD（全等三角形對應角相等）.

∵∠ABD+∠DBE=180°，∠ACD+∠DCF=180°（平角定義），

∴∠DBE=∠DCF.

∵DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，

∴∠DEB=∠CFD=90°.

∵BD=CD，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC（AAS），

∴∠CDF=∠BDE（全等三角形對應角相等）

反思 本題從三角形全等的多種判定方法（包括直角三角形）、平角定義、直角三角形兩銳角互余以及角的和差等方面入手，形成了多種證明方法.

二、方程解題反思

初中階段的方程解題難度相對較大，常規思維不適用于深層次思考此類問題，容易導致解題失誤.教師可以引導學生在反思中積累更多的方程解題思路，并要求學生深入反思、認真審題、詳細研究解題步驟，在反思中提高自己的一題多解能力.

例如，在講解新人教版初中九年級上冊數學“解一元二次方程”部分內容時，教師可以引導學生從配方法解方程的角度審題，鞏固學生的學習基礎，在解題反思中分析解方程步驟、檢驗步驟的正確性，運用配方法、公式法等多種解題方法進行求解，在反思中提高學生的一題多解能力.

（一）審題———確定方程求解方法

例3 解方程：x2-8x+1=0.

分析 方程的二次項系數為1，可以運用配方法直接進行求解.

反思 公式法作為一元二次方程的基礎解法，具有耗時長、計算量大的缺點，而因式分解法則能夠通過改寫方程的方式，將“一元二次”降至“一元一次”，降低了求解難度.

三、函數解題反思

函數是初中數學中的重點內容，開展函數解題反思，能讓學生對題目進行全面總結和分析，整合同類型數學問題，總結相應的解題規律.以常見的二次函數問題為例，教師可以指導學生對問題進行函數式建構，以實現學生解題能力的提高.

例如，在講解新人教版初中九年級上冊數學“實際問題與二次函數”部分內容時，教師可以引導學生認真分析題目條件，梳理解題步驟中的關鍵點，明確出誤原因.鑒于函數問題解決難度相對較大，教師可以指導學生在一題多解反思中，深入研究不同的解題方法，使其在明確解題步驟的同時，積累豐富的學習反思經驗.

（一）審題———分析問題條件

例5 用總長為60米的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長l的變化而變化.當l是多少米時，場地的面積S最大？

（二）解題———借助圖像進行反思

圖像具有直觀性，可以助力學生探究問題.教師運用圖像指導學生進行解題反思，有助于培養學生的數形結合思想，使之能運用高質量的解題手段，挖掘數學問題的內在規律.

例6 從地面豎直向上拋出乒乓球，乒乓球的高度h（單位：m）與乒乓球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h=30t-5t2（0≤t≤6），乒乓球的運動時間是多少時，乒乓球最高？乒乓球運動過程中的最大高度是多少？

分析 借助函數圖像解決問題，畫出函數h=30t-5t2（0≤t≤6）的圖像（如圖4），頂點是函數圖像的最高點，即此時函數有最大值.

（三）一題多解———研究多種情況

函數問題在考試中是重點和難點，占有較高的分值，常以綜合題、壓軸題的形式出現，難度相對較高，得分率低.教師在解題教學中可以引導學生分析二次函數問題的不同解法，運用“一題多問、多解”的方法，引導學生有序進行學習反思，使之能通過對二次函數知識進行系統總結歸納，把握問題條件的內在聯系，探索多種解題方法.一題多解反思，能讓學生攻克學習難關，使之反思自己的解題過程，發展創造力，實現舉一反三、觸類旁通的目的.

反思 一題多解教學，能啟迪學生的思維，使之通過反思，形成良好的發散思維.

結 語

在初中數學解題教學中，適當地進行反思能讓學生細致總結自己的審題疏漏，反思解題過程，嘗試一題多解方法，由此養成良好的學習習慣.解題反思是一種學習行為，也是一種學習習慣，多種解題方法能觸發學生的數學解題反思，促使學生形成綜合能力，使之積累豐富的知識學習經驗，提高數學解題能力.

【參考文獻】

[1]吳宏智.初中數學解題反思途徑探析[J].數學之友，2022（24）：52-54.

[2]鄒艷秀.核心素養下初中數學解題反思方法與途徑[J].數理天地（初中版），2022（17）：48-50.

[3]肖海英.解題反思在初中數學教學中的作用[J].教學管理與教育研究，2019（05）：87-88.