關注“猜想”過程 提升數學素養

［摘? 要］ 猜想是個體認知思考的重要表現形式之一，是對現象或規律所進行的一種推斷和假想。在教學中教師應鼓勵學生提出“猜想”，這樣不僅可以提升學生參與學習的積極性，而且能夠充分展現學生在分析、驗證等過程中的思維。讓學生在猜想的過程中豐富認知、提升數學素養，助力學生全面發展。

［關鍵詞］ 猜想；思考；數學素養；思維能力

作者簡介：方芳（1982—），本科學歷，一級教師，從事小學數學教學與研究工作，曾獲甘肅省農村骨干教師稱號。

猜想具有一定的主觀性，因為猜想的存在使得數學學習變得豐富多彩。雖然小學生的思維能力和認知水平有限，但是他們思維活躍，勤于動手實踐。如果教師合理地指導學生學習，則學生會根據自身經驗和直覺提出一些可能存在的數學規律或數量關系的猜想。在解決問題的過程中，學生會使用猜想的方法去推理和應用數學模型。小學生的數學猜想同樣具有預見性和推測性，是學生進行獨立思考的重要表現形式，是小學數學課堂不可或缺的一部分。不過受教學水平、學習能力、教學環境等諸多因素的影響，小學數學課堂大多以教師講授為主，學生參與猜想的機會很少，因此影響了學生發現問題和提出問題能力的提升，限制了學生思維能力的發展。在教學中，教師應設計一些具有啟發性的、探究性的問題引導學生去觀察、分析、探究，讓學生結合已有認知提出自己的判斷和推測。這樣不僅能夠豐富課堂內容，而且能夠活躍課堂氣氛，讓學生的學習由被動接受向主動建構過渡。

值得注意的是，在教學中教師不能局限于引導學生提出猜想，更重要的是要讓學生從實際應用層面去分析、嘗試、驗證問題，引導學生經歷“提出猜想”“分析猜想”“驗證猜想”的全過程，從而使學生在過程中發現新契機，得出科學的認知推論，培養創新意識和數學應用能力。

一、提出猜想

數學猜想產生于教學活動的各個階段，它并非臆造，而是基于問題進行分析及推測，它的提出往往具有一定的科學性和合理性。比如，在導入階段，教師可以通過設計猜想性問題引導學生做出主觀的推理，從而緊緊吸引學生的注意力，為學生更好地參與課堂奠基；在探究階段，教師可以提出一些應用性問題讓學生去猜想解題的方法和策略，從而確定研究方向，為知識的生成添磚加瓦；在練習階段，教師可以設計一些拓展性問題來發展學生的思維，豐富學生經驗，讓學生在夯實基礎、完善認知時生發猜想。數學問題復雜多變，在面對多變的問題時，學生會憑借經驗提出一些非確定性的詞語或推論，從而形成預測性思考，為后面的分析和驗證架橋鋪路。筆者列舉了幾種常見的猜想類型，供參考。

1. 預測型猜想

為了鼓勵學生進行數學猜想，在揭課階段教師會讓學生對課題進行分析，讓學生結合已有認知和數學經驗針對課題內容、問題特征、問題規律等提出自己的“猜想”，以此提升學生的參與度和學習積極性。

案例1? 3的倍數的特征

師：你認為3的倍數會有怎樣的特征呢？

生1：我猜如果一個數是3的倍數，這個數的個位可能是3、6、9。

師：你們也是這樣想的嗎？

生2：我認為剛才的猜想有問題，如果這個數為一位數，那么3、6、9為3的倍數是正確的；如果這個數為兩位數就可能不成立了，比如16的個位是6，但是它并不是3的倍數。

師：說得很好。那么它會有什么特征呢？

生3：3的倍數與2的倍數不同，單一看個位行不通，還應該關注其他的數位。

……

在和諧的氣氛下，學生積極思考，提出了許多有價值的猜想，由只關注個位向關注其他數位過渡，打破原有認識的束縛，讓學生在解讀課題的過程中提出預測型猜想，有效地化解了單一講授的枯燥感，使教學更有效。

2. 設想型猜想

在探究階段，教師需要充分地調動學生的已有認知，引導學生預設解決問題的方法，從而使探究活動更有針對性和方向性，讓探究能夠朝著正遷移的方向順利開展。

案例2? 圓錐的體積

公式的推導是抽象的，不過探究前學生已經有了探究圓柱體積的經驗，課上教師提出了這樣一個問題：等底等高的圓柱與圓錐是否存在某種關系？

師：這邊有兩個容器，觀察一下它們有什么特點？

生1：目測它們的高相等。

師：很好，還有呢？（教師將兩個容器拿起來比較，讓學生感受等高）

生2：它們的高相等。

師：很好！如果通過實驗法來驗證它們體積間的關系，你們想怎么做呢？

生3：這個很簡單，分別將圓柱和圓錐容器注滿水，然后找一個有刻度的量杯“量一量”就可以了。

師：這確實是一個非常好的方案，看來你是一個實驗小能手。不過，我們并沒有可以供測量的量杯，那么是否能夠測量呢？

生4：可以的，可以將圓柱容器里的水倒進圓錐容器里，看可以倒幾次。

生5：也可以將圓錐容器里的水倒進圓柱容器里，看幾次可以裝滿。

在探究活動開展之前學生初步構思了探究方案，設想了兩種不同的實驗方案。不過兩個實驗方案并未經過具體的操作驗證，只是一種設想，這屬于設想型的猜想。通過設想使實驗更有方向性，也更有趣。

3. 創見型猜想

要想提高學生的實際應用能力，在練習階段教師應該關注問題的拓展和延伸，通過“跳一跳”就夠得著的問題來發展學生的數學思維能力。對于拓展性和延伸性問題的提出不能局限于教師的預設，教師可以組織學生進行研討，讓學生提出具有獨創性的見解，從而有效地拓展知識的外延，深化學生對知識的理解。

案例3? 認識三角形的高

在教學中，教師首先通過設置情境幫助學生認識三角形的高，然后講授高的具體畫法，最后組織學生動手畫，進一步體驗三角形的高。

師：對于任意三角形，你認為它們有幾條高呢？

生1：我認為這個應該和三角形的形狀有關，有的好像有3條，有的好像只有1條。

生2：不對，應該都是3條，只不過有些高會藏起來，所以看起來像只有1條。

師：看來對于這個問題大家有不同的意見，我們有必要一探究竟了。

對于鈍角三角形高的理解一直是教學的難點，為了深化問題的理解，教師引導學生研討“三角形有幾條高”，學生結合自己的經驗提出了“1條”“藏起來”等觀點，從而為深入探究提供了素材。以上觀點具有一定的猜測性和創新性，這是學生思考的必然產物。

總之，無論何種類型的猜想，其往往都是建立在學生已有認知的基礎上的一種判斷和推測。猜想雖然具有一定的主觀性，但是也有一定的探究性，是開展有效教學必不可少的前提。

二、分析猜想

猜想是寶貴的教學資源，教師在教學中應該充分地利用，并基于猜想有針對性地設計教學環節，從而將猜想逐漸轉化為結論、定理等，讓學生親身體驗猜想在發現數學規律中的價值。在設計教學環節時，教師需要弄清兩個問題：一是為什么要這樣想；二是這樣想的主要依據是什么。只有弄清緣由，摸清真正的成因，才能了解學生認知的起點，才能明確猜想的經驗背景，從而找到探究的著力點。

1. 明確經驗背景

猜想大多依賴于個體經驗，個體經驗是學生提出猜想的思考原點。因為個體差異的存在，所以學生在面對同一個問題時會有不同的猜想，這就要求教師真正去理解學生，從主觀、客觀兩種途徑對提出猜想的知識背景進行分析，從而明確學生的思維起點，為有針對性地實施驗證活動提供依據。

在案例1中，學生提出了這樣的猜想：“一個數若是3的公倍數，則其個位數可能是3、6、9?！痹隍炞C中只要列舉一個反例，猜想就能不攻自破，但是提出該猜想也有一定的經驗背景，教師根據主觀教學經驗容易判斷，學生之所以提出這個猜想是對“2和5的倍數特征”規律的一種生搬硬套。從學生的學習習慣和思維方式來看，學生能夠提出這一猜想符合他們的現有認知水平。當驗證這一猜想不成立后，學生自然會進入下一個猜想：“對于3的公倍數，不能單看個位，可能還要考慮到其他的數位?！睂τ谶@一猜想教師可以采用客觀分析法引導學生從猜想的內容結構、組成要素等方面進行進一步的分析，從而確定提出這一猜想借助了學生已有的認知經驗。

2. 分析知識指向

猜想的提出大多以舊知或已有經驗為基礎，同時指向新知識、新內容。為了使猜想更有價值，教師要充分利用好學生的已有認知，使學生的猜想更具合理性，從而實現知識的正向遷移。學生提出猜想常常有如下的知識指向：

（1）指向規律性知識。學生對于規律性內容的探究較為擅長，比如在探究“平行線”的特征時，學生根據觀察容易提出“兩平行線間的距離可能是相等的”，直指平行線的特征，體現了直覺思維在猜想中的重要價值，顯示出規律性知識的特征。

（2）指向規范性知識。數學是一門嚴謹的學科，為了培養學生思維的嚴謹性，在教學中教師可以引導學生進行一些大膽的猜想和推理，便于學生更好地內化知識。比如在教學有小括號的混合運算時，學生提出“如果遇到小括號，可能要先算小括號的算式”，借助猜想直指運算的順序法則。

（3）指向規定性知識。在概念教學中，大多數教師習慣直接拋出概念讓學生記憶，并未引導學生參與觀察、猜想、分析、推理等過程，從而使學生對概念的理解難以深入。數學概念雖然是抽象的，但并不是學生完全不能駕馭的，在給出概念前教師可以先引導學生經歷猜想，從而指向規定性知識。比如在教學認識角時，教師給出角的圖形讓學生進行猜想，學生提出“角是由兩條直線組成的”，這樣學生對角的概念初步形成，教師只要引導學生對細節進行分析，就能達到知識的完善。

3. 分析探究價值

不同的學生會提出不同類型、不同指向、不同層次的猜想，這些“不同”從側面反映出學生的認知水平和思維水平。有些猜想相對較為淺顯，探究價值較低，不需要太深入探究便可以驗證；有些猜想的探究價值較高，只有開展深入探究才能得以解決。為此，教師需要對學生提出的猜想進行評估，從而明確學生的思考方向，確定學生的探究走向。

三、驗證猜想

經歷了猜想的分析，明確了猜想的探究價值之后，接下來應選取恰當的方法進行驗證，從而達成深化理解和得出科學結論的目的。眾所周知，猜想具有一定的主觀性，若不經過科學的驗證將使猜想失去真正的價值。通過驗證可以解決學生的認知困惑，讓學生明晰“真”為什么為真，“假”又假在何處，從而達到深化理解的效果。在開展“猜想”驗證的教學中，教師應做好以下幾點：

1. 選取合適的驗證方法

合適的方法是開展科學驗證的前提。在方法的選擇上教師應遵循以下幾點：

首先，要從學生的認知水平出發，尊重個體差異，所選取的方法不僅要照顧個體，而且也要關注全體。在驗證時，教師可以鼓勵學生通過合作、展示、爭論等方式進行驗證，這樣既能展示個性思維，又能讓學生在互動交流中獲得新的提升。

其次，基于不同的猜想類型確定不同的思考方法。在分析猜想時可以看出，猜想不僅類型不同，其認知指向及探究價值也有所不同。因此，在方法的選擇上教師應關注類型，比如案例1中的猜想可以通過舉例說明的方法進行驗證，案例3中的猜想可以通過操作演示的方法進行驗證。

2. 經歷完整的探究過程

在探究過程中，部分教師為了追求效率，常常關注結果而忽視探究驗證的過程，從而使得驗證活動失去了原有價值。在驗證過程中，教師要充分發揮學生的主觀能動性，鼓勵學生自主進行實證研究和推理演繹。同時，教師要給予適時的指導，幫助學生跨過思維障礙，重拾學習信心。此外，在驗證活動中，教師還應引導學生進行交流，比如驗證使用的方法和發現等，從而讓學生在經歷的過程中有所發現、有所成長。比如在案例3的驗證過程中，教師讓學生畫一畫，關注三角形高的條數，指導學生讓“隱藏”的高顯現出來，從而幫助學生跳出思維誤區，重新認識三角形的高，最終確定“猜想”的真假性。

總之，在面對學生猜想時，教師應保持客觀的態度和科學的判斷，以“三個理解”為基礎，有的放矢地開展探究教學，引導學生充分經歷知識生成和演變的過程，從而將不確定的、不完整的、不科學的內容，通過思考、探索、辨析等驗證過程將其向確定性、完整性、科學性轉化，以此促進學生探究能力的不斷提高。