借說理之力　悟數學思想

【摘要】說理教學旨在幫助學生再現思維過程，引導學生將數學原理等用自己的語言有序地表達出來，加深學生對數學知識、問題、思想的認知。教師要優化說理教學，為學生構建說理課堂，幫助學生在說理的過程中理解數學意義、發展數學思維、感悟數學思想，培養學生的數學核心素養。

【關鍵詞】小學數學；說理；數學思想

作者簡介：劉超（1995—），男，江蘇省南京市北京東路小學分校紅太陽小學。

說理是個體表達出知識背后隱含的原理的一種方法［1］。說理的過程是學生思維再現的過程，學生在說理時能夠使自己對數學知識的理解清楚地呈現出來，這對學生感悟數學思想、提高數學思維能力有著重要的促進作用。因此，數學教師在實際教學過程中，要重視說理教學，充分發揮說理在教學中的輔助作用，通過多種有效方式，引導學生主動分享學習成果，激活學生理性思維，幫助學生理解和感悟數學思想，促進學生全面發展。

一、在情境中思理，滲透隱含條件思想

小學生的思維以形象思維為主，而數學原理大都比較抽象，這就需要具體的學習場景來做支撐。教師在教學時，可以設置具體生動的教學情境，將說理教學與教學情境有機結合起來，引導學生在說理情境中探究和思考數學題目的隱含條件，為學生滲透隱含條件思想，培養學生的數學思想。

數學的特點在于邏輯的嚴密、思維的嚴謹。一道數學題目在條件不同的情況下，計算方法和結果可能完全不同。對于題目中的有些條件，我們可以輕而易舉地從題干中獲得，而有些條件則需要我們聯系生活經驗或者其他知識來獲取，這就要求教師在教學時有意識地引入隱含條件思想。例如，在教學蘇教版小學數學六年級下冊第二單元中的圓柱的表面積計算的內容時，教師列舉了一道例題，以此創設說理情境：小明十分喜歡一家店里的一個竹制的圓柱形筆筒，于是購買了這個筆筒，并在回家后親自動手測量了筆筒的尺寸。他發現筆筒底座的直徑（2r）是6厘米，高度（h）為15厘米。這時，小明的爸爸來到他身邊，想和小明比一比誰能正確算出這個筆筒的表面積。已知小明爸爸計算出的結果是S=99π（平方厘米），小明計算出的結果是S=108π（平方厘米），請問小明爸爸和小明誰對誰錯？教師讓學生根據所學的知識說一說情境中誰的答案正確以及自己的理由。一開始，某些學生將筆筒的測量數據直接代入圓柱表面積計算公式S=2πrh+2πr2中，得到了和小明一樣的結果。這樣看來小明是對的，但是小明爸爸為什么會算出不一樣的答案呢？小明爸爸的計算方法和小明的差異在哪里呢？對于這些疑問，學生之間展開了激烈的討論。此時，有學生提出：“筆筒里需要放筆，它是沒有上表面的。小明爸爸的答案才是對的，因為他只計算了筆筒一個底面的面積。”于是，之前和小明得到一樣結果的學生再一次進行計算，減掉一個底面的面積，很快得到了正確的結果。在課堂交流環節，有的學生不僅完整地說出這道題的解題思路、過程和相關原理，還表達了自己的心得體會：“數學與我們的生活息息相關，很多數學題目都來源于現實生活。一些題目中會有隱含條件，這需要我們結合生活常識去思考。比如老師舉的這道例題中就隱藏了一個條件，即筆筒是沒有蓋子的，在計算筆筒的表面積時如果機械地將數據代入公式就會出錯。所以我們在做題時要仔細審題，注意題目中的隱含條件，這樣才能得出正確的結果。”

教師通過合理創設說理情境，引導學生結合情境思考數學問題，成功地讓學生發現了題目中的隱含條件，幫助學生認識了數學中的隱含條件思想，并且能夠讓學生學會結合生活經驗解答數學問題，將數學與生活緊密聯系起來，培養學生解決問題的能力，促進學生數學思維的發展。

二、在對話中明理，體會類比思想

在說理教學中，對話是關鍵。教師要與學生對話，讓學生通過說理掌握數學知識，學會用數學語言描述和解決問題，從而鍛煉學生思維，培養學生數學思想。教師可以通過和學生的有效對話，引導學生在說理過程中學會觀察、比較、分類、整合，掌握分類的方法，體會類比思想，拓展自身的數學思維。

類比思想是學生在學習數學的過程中經常會用到的數學思想，類比思想對學生以后的學習和成長有著重要的影響。一些小學階段的學生在學習中其實已經產生了比較的想法，只是還沒有形成系統的思想，這需要教師在教學過程中為他們提供幫助。例如，在教學蘇教版小學數學四年級下冊第七單元中的認識四邊形的內容時，教師展示一組圖片（如圖1所示），引導學生分組討論，對圖片中的四邊形進行分類，闡述分類的結果并詳述分類的理由。教師在引導學生說理的過程中，與學生進行了對話，以幫助學生梳理說理的內容，體會類比思想，具體如下。

教師通過與學生對話來開展說理教學，在對話中引導學生嘗試對四邊形進行分類，并說出分類的理由、標準和結果，讓學生了解了平行四邊形、梯形、不規則四邊形的特征和它們之間的區別與聯系，逐步體會到了學習行為背后的數學道理，激發了學生的類比意識，幫助學生形成了關于數學思想的感悟。

三、在判斷中辨理，浸潤推理思想

數學教學講究有理可依，有理可講。讓學生學會以理為據，進行推導、做出判斷，是培養學生數學思想的重要一環。在教學時，教師要通過說理浸潤推理思想，引導學生觀察、思辨、驗證，發展他們的合情推理能力，培養他們思維的有序性、深刻性［2］。

推理是基于一個或者幾個條件進行的預測和推導，考驗的是思維邏輯性。推理思想在數學中的應用十分廣泛，掌握這一思想是學生學好數學的重要前提，教師在教學時應予以格外重視。例如，在教學蘇教版小學數學三年級下冊第六單元中的正方形和長方形的面積計算的內容時，教師向學生展示了一個命題，以此引導學生進行交流討論，判斷這個命題是否正確，在判斷中辨析數學原理，發展學生的推理思想：如果一個正方形和一個長方形的周長相等，那么它們的面積也相等。學生在交流中假設正方形和長方形（長為a，寬為b）的周長都是36厘米，于是得到：正方形的邊長為36÷4=9（厘米），正方形的面積就是9×9=81（平方厘米）。長方形的周長是2×（a+b）=36（厘米），a+b=18（厘米）。除去“9×9”這一組合，長方形的面積“a×b”還有很多種不同的可能：假如a是1，則b是17，面積為1×17=17（平方厘米）；假如a是8，則b是10，面積為8×10=80（平方厘米）……據此，學生得出結論：這個命題是錯誤的。

在上述案例中，教師在進行說理教學時，先給學生一個命題，再讓學生判斷命題的對錯，并闡述推理的過程。學生在討論和互動的過程中，先針對題干進行了合理的假設，設定36這個定值，在此基礎上，根據正方形與長方形的周長計算公式，反向推導出正方形的邊長和長方形的長寬之和。然后，學生根據正方形的面積計算公式，計算出正方形的面積；對于長方形的面積，學生則羅列出幾個a+b等于18的組合，并用長方形面積計算公式進行計算。最后，學生將長方形的面積與正方形的面積進行比對驗證，由此推理出命題是錯的，做出正確的判斷。可見，學生在說理過程中，不僅靈活運用了正方形、長方形周長與面積的計算公式，對數學原理和計算方法形成了更加深刻的認識，還通過反復的假設、推導、驗證理解了推理思想這一數學思想。

四、在探究中尋理，形成轉化思想

轉化思想是一種極為重要的數學思想，也是一種化繁為簡的思維策略，對發展學生數學思維、提升學生數學能力及問題解決能力有著很大的促進作用。教師在進行說理教學時，可以讓學生通過獨立思考和小組合作的方式展開探究，在說理的過程中探尋數學原理，學會將復雜的問題轉化為簡單的問題，幫助學生形成轉化思想，促進學生對數學思想的感悟。

將轉化思想應用到學生的數學學習中，不僅可以很好地活化學生思維，提高學生解題效率，讓學生的學習更加輕松，還可以使學生的思維向縱深發展。例如，在教學完蘇教版小學數學四年級下冊第六單元中的乘法分配律的內容后，教師向學生展示了一個問題，旨在通過引導學生探究問題中的數學原理，幫助學生理解轉化思想：對于“22×32+44×19”這個算式，某同學的計算過程中出現了原式“=22×（32+38）”。請你用學過的數學知識說一說其中的原理。問題中的算式涉及乘法與加法的混合運算、乘法分配律、乘法結合律及等量代換的知識。從表面上看，乘法分配律在這道題中并不適用，實際上卻可以通過等量代換來轉化算式中的因數。學生在說理時圍繞“原式中有沒有可以進行拆分的數”“拆分之后能不能得到共同的乘數”等展開了探究，進而在教師的指導下發現：“22”可以從“44÷2”轉化而來，如果將“44”拆分成“22×2”，那么“44×19”就可以寫成“（22×2）×19”，再應用乘法結合律，將其轉化成“22×（2×19）”，得到“22×38”，這樣就得到了“22”這個共同的乘數；然后應用乘法分配律，便可以得出原式=22×（32+38）。在說理結束前，有學生表示，經過轉化得到共同的乘數后再進行計算，可以節省計算的時間，讓計算變得更加簡單和方便，而且不容易出錯，這是一種十分實用的計算方法。在上述過程中，轉化思想也浸潤了學生的心田。

教師在進行說理教學時，讓學生根據有效的問題一步一步地去探尋其中的數學原理，能夠讓學生逐步了解、學會應用各種運算律，掌握通過轉化進行計算的方法，并且幫助學生形成了數學中的轉化思想，促進了學生數學思維的發展。

五、在操作中悟理，培養數形結合思想

實驗操作是數學教學中常用的教學方法。將實驗操作與說理教學結合起來，可以提高學生的操作能力，幫助學生鞏固數學原理的相關知識，促進學生思維的發展。一些小學生空間思維能力、立體感較弱。對此，教師在開展說理教學時可以引導學生進行實驗操作，將抽象的知識轉換成具象的圖形進行理解和記憶，將數與形結合起來，培養學生的數形結合思想。

數字與圖形是數學中兩個非常重要的元素。學生在學習較為抽象的數學知識和思考相關問題的過程中，需要將數與形相結合，以形助數或者以數解形，這樣才能讓自己的學習更加高效。例如，在教學蘇教版小學數學五年級下冊第六單元中的圓的面積計算的內容時，考慮到如果直接列出公式，學生理解起來可能有一定的難度，于是教師指導學生在實驗操作中說理，講述圓的面積計算公式S=πr2的推導過程，幫助學生感悟數學中的數形結合思想。具體來說，教師先在黑板上畫出1個圓，讓學生想一想怎樣計算這個圓的面積。有的學生認為，可以在圓中畫出若干邊長為1厘米的小方格，然后用數格子的方法計算出圓的面積；有的學生則認為，可以將圓切分重組，轉換成其他圖形，然后通過計算其他圖形的面積來推導圓的面積。學生在分組討論之后，普遍覺得采用數格子的方法較難數出圓邊緣部分的小方格個數，得出的結果也不太準確，于是決定采用第二種方法。他們利用量角器，將圓平均分成16份，畫出了16個小的扇形；然后將這16個扇形重新進行排列組合，得到了1個近似長方形的圖形。此時，有的學生想到可以按照長方形的面積計算公式算出這個圖形的面積，并說道：“長方形的面積計算公式是長×寬。在這個圖形里，它的長等于圓周長的一半，也就是×2×π×r，它的寬等于圓的半徑r，它的面積就等于S=π×r×r，由此就可以推導出圓的面積計算公式，即S=πr2。”

在上述案例中，教師在教學時，啟發學生深度思考，指導學生通過實驗操作，將圓切分重組成一個近似長方形的圖形，成功推導出圓的面積計算公式，并用符號將其表示出來，從而更好地進行理解和記憶。學生在說理的過程中融會貫通，能夠利用較為簡單的圖形解決較為復雜的數學問題，也能夠用抽象的數學公式描述圖形，促進了數與形的結合，深化了對于數學思想的認知。

結語

總的來說，說理教學可以為學生明理鋪路。感悟數學思想，是學生抓住數學知識本質、形成學科核心素養的必經之路［3］。教師在教學過程中，可以通過創設情境、組織對話和引導學生