借說理之力　悟數(shù)學(xué)思想

【摘要】說理教學(xué)旨在幫助學(xué)生再現(xiàn)思維過程，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)原理等用自己的語言有序地表達(dá)出來，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、問題、思想的認(rèn)知。教師要優(yōu)化說理教學(xué)，為學(xué)生構(gòu)建說理課堂，幫助學(xué)生在說理的過程中理解數(shù)學(xué)意義、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、感悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；說理；數(shù)學(xué)思想

作者簡介：劉超（1995—），男，江蘇省南京市北京東路小學(xué)分校紅太陽小學(xué)。

說理是個體表達(dá)出知識背后隱含的原理的一種方法［1］。說理的過程是學(xué)生思維再現(xiàn)的過程，學(xué)生在說理時能夠使自己對數(shù)學(xué)知識的理解清楚地呈現(xiàn)出來，這對學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想、提高數(shù)學(xué)思維能力有著重要的促進(jìn)作用。因此，數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)過程中，要重視說理教學(xué)，充分發(fā)揮說理在教學(xué)中的輔助作用，通過多種有效方式，引導(dǎo)學(xué)生主動分享學(xué)習(xí)成果，激活學(xué)生理性思維，幫助學(xué)生理解和感悟數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

一、在情境中思理，滲透隱含條件思想

小學(xué)生的思維以形象思維為主，而數(shù)學(xué)原理大都比較抽象，這就需要具體的學(xué)習(xí)場景來做支撐。教師在教學(xué)時，可以設(shè)置具體生動的教學(xué)情境，將說理教學(xué)與教學(xué)情境有機(jī)結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生在說理情境中探究和思考數(shù)學(xué)題目的隱含條件，為學(xué)生滲透隱含條件思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)在于邏輯的嚴(yán)密、思維的嚴(yán)謹(jǐn)。一道數(shù)學(xué)題目在條件不同的情況下，計(jì)算方法和結(jié)果可能完全不同。對于題目中的有些條件，我們可以輕而易舉地從題干中獲得，而有些條件則需要我們聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)或者其他知識來獲取，這就要求教師在教學(xué)時有意識地引入隱含條件思想。例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊第二單元中的圓柱的表面積計(jì)算的內(nèi)容時，教師列舉了一道例題，以此創(chuàng)設(shè)說理情境：小明十分喜歡一家店里的一個竹制的圓柱形筆筒，于是購買了這個筆筒，并在回家后親自動手測量了筆筒的尺寸。他發(fā)現(xiàn)筆筒底座的直徑（2r）是6厘米，高度（h）為15厘米。這時，小明的爸爸來到他身邊，想和小明比一比誰能正確算出這個筆筒的表面積。已知小明爸爸計(jì)算出的結(jié)果是S=99π（平方厘米），小明計(jì)算出的結(jié)果是S=108π（平方厘米），請問小明爸爸和小明誰對誰錯？教師讓學(xué)生根據(jù)所學(xué)的知識說一說情境中誰的答案正確以及自己的理由。一開始，某些學(xué)生將筆筒的測量數(shù)據(jù)直接代入圓柱表面積計(jì)算公式S=2πrh+2πr2中，得到了和小明一樣的結(jié)果。這樣看來小明是對的，但是小明爸爸為什么會算出不一樣的答案呢？小明爸爸的計(jì)算方法和小明的差異在哪里呢？對于這些疑問，學(xué)生之間展開了激烈的討論。此時，有學(xué)生提出：“筆筒里需要放筆，它是沒有上表面的。小明爸爸的答案才是對的，因?yàn)樗挥?jì)算了筆筒一個底面的面積。”于是，之前和小明得到一樣結(jié)果的學(xué)生再一次進(jìn)行計(jì)算，減掉一個底面的面積，很快得到了正確的結(jié)果。在課堂交流環(huán)節(jié)，有的學(xué)生不僅完整地說出這道題的解題思路、過程和相關(guān)原理，還表達(dá)了自己的心得體會：“數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，很多數(shù)學(xué)題目都來源于現(xiàn)實(shí)生活。一些題目中會有隱含條件，這需要我們結(jié)合生活常識去思考。比如老師舉的這道例題中就隱藏了一個條件，即筆筒是沒有蓋子的，在計(jì)算筆筒的表面積時如果機(jī)械地將數(shù)據(jù)代入公式就會出錯。所以我們在做題時要仔細(xì)審題，注意題目中的隱含條件，這樣才能得出正確的結(jié)果。”

教師通過合理創(chuàng)設(shè)說理情境，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合情境思考數(shù)學(xué)問題，成功地讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了題目中的隱含條件，幫助學(xué)生認(rèn)識了數(shù)學(xué)中的隱含條件思想，并且能夠讓學(xué)生學(xué)會結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)解答數(shù)學(xué)問題，將數(shù)學(xué)與生活緊密聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

二、在對話中明理，體會類比思想

在說理教學(xué)中，對話是關(guān)鍵。教師要與學(xué)生對話，讓學(xué)生通過說理掌握數(shù)學(xué)知識，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言描述和解決問題，從而鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想。教師可以通過和學(xué)生的有效對話，引導(dǎo)學(xué)生在說理過程中學(xué)會觀察、比較、分類、整合，掌握分類的方法，體會類比思想，拓展自身的數(shù)學(xué)思維。

類比思想是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常會用到的數(shù)學(xué)思想，類比思想對學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和成長有著重要的影響。一些小學(xué)階段的學(xué)生在學(xué)習(xí)中其實(shí)已經(jīng)產(chǎn)生了比較的想法，只是還沒有形成系統(tǒng)的思想，這需要教師在教學(xué)過程中為他們提供幫助。例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊第七單元中的認(rèn)識四邊形的內(nèi)容時，教師展示一組圖片（如圖1所示），引導(dǎo)學(xué)生分組討論，對圖片中的四邊形進(jìn)行分類，闡述分類的結(jié)果并詳述分類的理由。教師在引導(dǎo)學(xué)生說理的過程中，與學(xué)生進(jìn)行了對話，以幫助學(xué)生梳理說理的內(nèi)容，體會類比思想，具體如下。

教師通過與學(xué)生對話來開展說理教學(xué)，在對話中引導(dǎo)學(xué)生嘗試對四邊形進(jìn)行分類，并說出分類的理由、標(biāo)準(zhǔn)和結(jié)果，讓學(xué)生了解了平行四邊形、梯形、不規(guī)則四邊形的特征和它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，逐步體會到了學(xué)習(xí)行為背后的數(shù)學(xué)道理，激發(fā)了學(xué)生的類比意識，幫助學(xué)生形成了關(guān)于數(shù)學(xué)思想的感悟。

三、在判斷中辨理，浸潤推理思想

數(shù)學(xué)教學(xué)講究有理可依，有理可講。讓學(xué)生學(xué)會以理為據(jù)，進(jìn)行推導(dǎo)、做出判斷，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的重要一環(huán)。在教學(xué)時，教師要通過說理浸潤推理思想，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思辨、驗(yàn)證，發(fā)展他們的合情推理能力，培養(yǎng)他們思維的有序性、深刻性［2］。

推理是基于一個或者幾個條件進(jìn)行的預(yù)測和推導(dǎo)，考驗(yàn)的是思維邏輯性。推理思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，掌握這一思想是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要前提，教師在教學(xué)時應(yīng)予以格外重視。例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊第六單元中的正方形和長方形的面積計(jì)算的內(nèi)容時，教師向?qū)W生展示了一個命題，以此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流討論，判斷這個命題是否正確，在判斷中辨析數(shù)學(xué)原理，發(fā)展學(xué)生的推理思想：如果一個正方形和一個長方形的周長相等，那么它們的面積也相等。學(xué)生在交流中假設(shè)正方形和長方形（長為a，寬為b）的周長都是36厘米，于是得到：正方形的邊長為36÷4=9（厘米），正方形的面積就是9×9=81（平方厘米）。長方形的周長是2×（a+b）=36（厘米），a+b=18（厘米）。除去“9×9”這一組合，長方形的面積“a×b”還有很多種不同的可能：假如a是1，則b是17，面積為1×17=17（平方厘米）；假如a是8，則b是10，面積為8×10=80（平方厘米）……據(jù)此，學(xué)生得出結(jié)論：這個命題是錯誤的。

在上述案例中，教師在進(jìn)行說理教學(xué)時，先給學(xué)生一個命題，再讓學(xué)生判斷命題的對錯，并闡述推理的過程。學(xué)生在討論和互動的過程中，先針對題干進(jìn)行了合理的假設(shè)，設(shè)定36這個定值，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)正方形與長方形的周長計(jì)算公式，反向推導(dǎo)出正方形的邊長和長方形的長寬之和。然后，學(xué)生根據(jù)正方形的面積計(jì)算公式，計(jì)算出正方形的面積；對于長方形的面積，學(xué)生則羅列出幾個a+b等于18的組合，并用長方形面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。最后，學(xué)生將長方形的面積與正方形的面積進(jìn)行比對驗(yàn)證，由此推理出命題是錯的，做出正確的判斷。可見，學(xué)生在說理過程中，不僅靈活運(yùn)用了正方形、長方形周長與面積的計(jì)算公式，對數(shù)學(xué)原理和計(jì)算方法形成了更加深刻的認(rèn)識，還通過反復(fù)的假設(shè)、推導(dǎo)、驗(yàn)證理解了推理思想這一數(shù)學(xué)思想。

四、在探究中尋理，形成轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是一種極為重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種化繁為簡的思維策略，對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力及問題解決能力有著很大的促進(jìn)作用。教師在進(jìn)行說理教學(xué)時，可以讓學(xué)生通過獨(dú)立思考和小組合作的方式展開探究，在說理的過程中探尋數(shù)學(xué)原理，學(xué)會將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，幫助學(xué)生形成轉(zhuǎn)化思想，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟。

將轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不僅可以很好地活化學(xué)生思維，提高學(xué)生解題效率，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加輕松，還可以使學(xué)生的思維向縱深發(fā)展。例如，在教學(xué)完蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊第六單元中的乘法分配律的內(nèi)容后，教師向?qū)W生展示了一個問題，旨在通過引導(dǎo)學(xué)生探究問題中的數(shù)學(xué)原理，幫助學(xué)生理解轉(zhuǎn)化思想：對于“22×32+44×19”這個算式，某同學(xué)的計(jì)算過程中出現(xiàn)了原式“=22×（32+38）”。請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識說一說其中的原理。問題中的算式涉及乘法與加法的混合運(yùn)算、乘法分配律、乘法結(jié)合律及等量代換的知識。從表面上看，乘法分配律在這道題中并不適用，實(shí)際上卻可以通過等量代換來轉(zhuǎn)化算式中的因數(shù)。學(xué)生在說理時圍繞“原式中有沒有可以進(jìn)行拆分的數(shù)”“拆分之后能不能得到共同的乘數(shù)”等展開了探究，進(jìn)而在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)：“22”可以從“44÷2”轉(zhuǎn)化而來，如果將“44”拆分成“22×2”，那么“44×19”就可以寫成“（22×2）×19”，再應(yīng)用乘法結(jié)合律，將其轉(zhuǎn)化成“22×（2×19）”，得到“22×38”，這樣就得到了“22”這個共同的乘數(shù)；然后應(yīng)用乘法分配律，便可以得出原式=22×（32+38）。在說理結(jié)束前，有學(xué)生表示，經(jīng)過轉(zhuǎn)化得到共同的乘數(shù)后再進(jìn)行計(jì)算，可以節(jié)省計(jì)算的時間，讓計(jì)算變得更加簡單和方便，而且不容易出錯，這是一種十分實(shí)用的計(jì)算方法。在上述過程中，轉(zhuǎn)化思想也浸潤了學(xué)生的心田。

教師在進(jìn)行說理教學(xué)時，讓學(xué)生根據(jù)有效的問題一步一步地去探尋其中的數(shù)學(xué)原理，能夠讓學(xué)生逐步了解、學(xué)會應(yīng)用各種運(yùn)算律，掌握通過轉(zhuǎn)化進(jìn)行計(jì)算的方法，并且?guī)椭鷮W(xué)生形成了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

五、在操作中悟理，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想

實(shí)驗(yàn)操作是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教學(xué)方法。將實(shí)驗(yàn)操作與說理教學(xué)結(jié)合起來，可以提高學(xué)生的操作能力，幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)原理的相關(guān)知識，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。一些小學(xué)生空間思維能力、立體感較弱。對此，教師在開展說理教學(xué)時可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，將抽象的知識轉(zhuǎn)換成具象的圖形進(jìn)行理解和記憶，將數(shù)與形結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

數(shù)字與圖形是數(shù)學(xué)中兩個非常重要的元素。學(xué)生在學(xué)習(xí)較為抽象的數(shù)學(xué)知識和思考相關(guān)問題的過程中，需要將數(shù)與形相結(jié)合，以形助數(shù)或者以數(shù)解形，這樣才能讓自己的學(xué)習(xí)更加高效。例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊第六單元中的圓的面積計(jì)算的內(nèi)容時，考慮到如果直接列出公式，學(xué)生理解起來可能有一定的難度，于是教師指導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)操作中說理，講述圓的面積計(jì)算公式S=πr2的推導(dǎo)過程，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想。具體來說，教師先在黑板上畫出1個圓，讓學(xué)生想一想怎樣計(jì)算這個圓的面積。有的學(xué)生認(rèn)為，可以在圓中畫出若干邊長為1厘米的小方格，然后用數(shù)格子的方法計(jì)算出圓的面積；有的學(xué)生則認(rèn)為，可以將圓切分重組，轉(zhuǎn)換成其他圖形，然后通過計(jì)算其他圖形的面積來推導(dǎo)圓的面積。學(xué)生在分組討論之后，普遍覺得采用數(shù)格子的方法較難數(shù)出圓邊緣部分的小方格個數(shù)，得出的結(jié)果也不太準(zhǔn)確，于是決定采用第二種方法。他們利用量角器，將圓平均分成16份，畫出了16個小的扇形；然后將這16個扇形重新進(jìn)行排列組合，得到了1個近似長方形的圖形。此時，有的學(xué)生想到可以按照長方形的面積計(jì)算公式算出這個圖形的面積，并說道：“長方形的面積計(jì)算公式是長×寬。在這個圖形里，它的長等于圓周長的一半，也就是×2×π×r，它的寬等于圓的半徑r，它的面積就等于S=π×r×r，由此就可以推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式，即S=πr2。”

在上述案例中，教師在教學(xué)時，啟發(fā)學(xué)生深度思考，指導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)操作，將圓切分重組成一個近似長方形的圖形，成功推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式，并用符號將其表示出來，從而更好地進(jìn)行理解和記憶。學(xué)生在說理的過程中融會貫通，能夠利用較為簡單的圖形解決較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，也能夠用抽象的數(shù)學(xué)公式描述圖形，促進(jìn)了數(shù)與形的結(jié)合，深化了對于數(shù)學(xué)思想的認(rèn)知。

結(jié)語

總的來說，說理教學(xué)可以為學(xué)生明理鋪路。感悟數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生抓住數(shù)學(xué)知識本質(zhì)、形成學(xué)科核心素養(yǎng)的必經(jīng)之路［3］。教師在教學(xué)過程中，可以通過創(chuàng)設(shè)情境、組織對話和引導(dǎo)學(xué)生