逆向思維在初中數學解題中的應用

王安林

【摘要】逆向思維是一種相對于正向思維而說的思維方式.在初中數學解題中，利用逆向思維，有效運用數學知識，可以達到意想不到的解題效果.作為初中數學教師，應當重視逆向思維的利用，采取多樣化的教學方式，培養學生的逆向思維能力，掌握逆向思維的應用方式，有效解答數學問題.本文旨在分析逆向思維在初中數學解題中的應用策略.

【關鍵詞】初中數學；解題；逆向思維

在新課程改革背景下，初中數學教學注重學生數學素養的培養，逆向思維是學生數學素養發展的體現.在初中數學教學中，通過對學生的解題情況進行分析，發現部分學生缺少逆向思維，只是單純地套用公式，缺少靈活解題技巧，不能夠靈活利用逆向思維，使得解題效率較低.因此，作為初中數學教師，應當引導學生深入理解逆向思維，并且將其運用于數學學習與解題過程中，提高學生的數學素養.

1 利用逆向思維，解答方程類問題

例1 已知實數a、b、c使得a=b+2，2ab+22c2+1=0成立，那么a+b+c的值是（）

（A）-1.（B）0.（C）1.（D）2.

分析 通過對題目進行觀察，發現題目中的信息不多，問題看似比較簡單，其實解題難度較大，需要對題目條件進行變形，還需要利用逆向思維，借助韋達定理的逆定理進行推導，完成解題.

解 因為a=b+2，所以a－b=2，

根據2ab+22c2+1=0得出－ab=2c2+12，

根據韋達定理可以得出a、－b是方程x2-2x+2c2+12=0的兩個實數根，

所以Δ=（-2）2－4（2c2+12）=－42c2≥0，當c=0時滿足條件，此時Δ=0，a=－b，所以a+b+c=0，所以正確答案是（B）.

2 利用逆向思維，解答不等式問題

例2 已知關于x的不等式組

x－43－x＜－4x－m＞0，

其解集是x＞4，且整數m能夠使得關于x、y的二元一次方程組mx+y=83x+y=1的解為整數，下列選項中不符合條件的m的值是（）

（A）-4.（B）2.（C）4.（D）10.

分析 在題目中通過一個不等式組的解集，要求學生求解某個參數的取值范圍，利用逆向思維可以快速解題，提高解題效率.

解 因為關于x的不等式組

x－43－x＜－4x－m＞0，

所以x＞4，x＞m，

因為不等式組的解集是x＞4，所以m≤4，

根據關于x、y的二元一次方程組

mx+y=83x+y=1，

得出x=7m－3，

因為方程組的解是整數，所以m－3=1，m－3=－1，或者m－3=7，m－3=－7，

所以得出m=4或m=2或m=10或m=－4，因為m≤4，所以m=10不符合題意，舍去.正確答案是（D）.

3 利用逆向思維，解答三角形問題

例3 如圖1所示，△ABC中，AB=AC，D是三角形外的點，且AB⊥AD，BC與AD的交點是E，BC⊥DC于點C，AD與DC的交點是D.證明：AC2=AD×AE.

分析 對于此題目解答時，根據題目條件難以形成清晰的證明思路，教師可以引導學生根據結論進行逆向思維思考，想要證明AC2=AD×AE，可以對其進行變形，即ACAD=AEAC，想要得到此結論，需要證明△ADC∽△ACE，通過對圖1進行分析，兩個三角形存在一個公共角，根據三角形相似判斷方法，需要再找到一組角相等，即可證明三角形相似.

證明 因為AB⊥AD，BC⊥DC，

所以∠ECD=∠EAB，

因為∠CED=∠BEA，所以∠D=∠B，

因為AB=AC，

所以∠BCA=∠D=∠B，

所以在△ADC與△ACE中，∠D=∠BCA、∠CAD=∠EAC，

所以△ADC∽△ACE，

所以AC2=AD×AE.

4 利用逆向思維，解答四邊形問題

例4 如圖2，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于點D，過點D作直線AC的垂線，交AC的延長線于點E，連接BD，CD．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）若直徑AB＝6，當AD＝時，四邊形ACDO是菱形.

分析 （1）略.

（2）“直難想逆”，正著思考有難度的，可從結果出發，反推AD的長度.根據四邊形ACDO是菱形，可得OD＝CD＝BD＝OB，得∠DBA＝60°，進而可求AD的長；

解 （1）證明略.

（2）當AD=33時，四邊形ACDO是菱形，理由如下：

四邊形ACDO是菱形時，OD＝CD＝BD＝OB，

所以∠DBA＝60°，

因為AB是⊙O的直徑，

所以∠ADB＝90°，

所以AD＝AB·sin∠DBA＝6×sin60°＝33．

所以當AD=33時，四邊形ACDO是菱形．

5 利用逆向思維，反證法證明幾何問題

例5 求證：在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角.

分析 本題可以利用反證法進行證明，具體步驟為：

（1）假設命題的結論不成立（假設在一個三角形中，有兩個角是鈍角）；

（2）從這個假設出發，經過推理論證，得出矛盾（與三角形內角和為180°矛盾）；

（3）由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確（在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角）.

證明 如圖3，在△ABC中，假設∠A和∠B為鈍角，

那么：∠A+∠B>180°，

則∠A+∠B+∠C>180°，

與三角形內角和為180°矛盾.

所以在一個三角形中，不能有兩個角是鈍角.

6 結語

初中數學解題中，逆向思維被廣泛使用，教師需要結合教學實際，考慮學生實際情況，靈活利用逆向思維，突破學生解題障礙，尋找解題切入點，通過解題幫助學生掌握逆向思維應用技巧，提高學生的解題能力與水平.

參考文獻：

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[2]張淑霞.淺談初中數學解題教學中逆向思維的應用[J].讀天下（綜合），2020（30）：1.

[3]鄭健煌.初中數學解題教學中逆向思維的應用探討[J].數理天地（初中版），2023（01）：57-59.