常微分方程在數學建模教學中的應用研究

范斌

【摘要】常微分方程是數學的分支之一，也是高等數學體系的重要組成部分，與人們日常生產、生活有著緊密的內在聯系，不僅在生物學、物理學等學術領域上有廣泛運用，還與電子科技、信息技術等領域息息相關.數學建模的目的在于分析規律、抓住問題矛盾的同時找出解決問題的辦法，而在此過程中，常微分方程就是數學模型求解的重要工具.文章對數學模型進行了闡述，提出了常微分方程在數學建模教學中的應用方法和策略，以供參考.

【關鍵詞】常微分方程；數學建模；教學應用

數學建模是指用數學語言描述實際問題和實際現象，從問題矛盾點入手，梳理解決問題的流程和方法.微分方程則是為了解決實際性問題，在特定條件下生成的未知數方程式，因此，對微分方程的研究有助于解決實際問題，也能推動其他學科、應用領域的發展.想要完成高質量的數學建模，就要將復雜的問題進行簡化處理，將抽象化的概念、內容轉化為合理的數學結構，找出分析對象特有的數學規律與內在特征，建立相應的數量關系，以此完成解決實際問題的任務流程.

一、數學模型概述

想要了解數學建模就要先明確數學模型的概念.數學模型意在借助數學工具描述生活中的實際情況或是學術領域的事件，并對事物后續發展做出方向性預測，找出規劃事物發展路徑，發揮指導現實生活的作用.數學建模則是利用數學模型和數學知識解決實際問題的方法與渠道，以生活中常見的問題和學術領域的問題為中心，以微分方程、運籌學等為工具實現問題的解決.比如，為反映市區中心道路交通而模擬出的交通圖就是數學模型，規劃、繪制道路交通的過程就是數學建模的過程.

生活中有很多常見的數學模型，比如在小學數學教學中，計算不規則圖形的面積就要用到圖形分割等數學模型；在高數教學中，計算復雜的不規則圖形面積需要建立相應的定積分數學模型；在統計學中，分析彩票中獎概率問題需要整合多種數據，建立圖表類的數學模型等.由此可知，學習建立數學模型的方式方法可以為解決生活中的現實問題提供極大助力.

在科學技術快速發展的時代背景下，先進信息技術的出現與發展彰顯出數學與自然科學、工農業生產建設等方面的滲透與融合.從現實角度出發，人們的生產、生活、學習、工作會遇到各種問題，若想解決這些問題，就要針對某一對象進行全面分析，獲得定量結果，進而找出解決問題的路徑與方法.由此可見，探索微分方程在數學建模教學中的應用，能夠為人們生活以及學術研究領域的發展提供助益.

二、構建常微分方程模型的步驟與方式

觀察微分方程的發展歷史，可以清楚地看到它與物理學、天文學、日新月異的科學技術之間的緊密關聯.牛頓在探索宇宙的奧秘時，便是借助微分方程來推導出宇宙中恒星的軌道，而勒維烈和亞當斯則是在當時還沒有發現海王星的情況下，使用微分方程推導出它的運行軌道.這些事實說明微分方程具有極強的力量，它能幫助我們更好地理解自然.

當一個微分方程中只包含一個自變量時，就被稱為常微分方程，也可以簡單地稱為微分方程.它能夠更好地反映客觀現實世界中物質與能量之間的相互作用，明確展示物質的運動規律.許多數學模型都滿足微分方程的關系，因此，求解常微分方程可以加深人們對未知函數特性的理解.

（一）利用已知定律建立模型

已知定律包含各個學科現有的定理或定律公式，如數學學科的傅里葉級數，物理學科的萬有引力定律等，這些都是數學建模重要的基礎性工具.

（二）利用導數的定義建立模型

如果函數能夠通過微積分來推導，那么它們就可以被看作是在特定時間點上的瞬時變化率.導數是數學建模中常用的一種數學模型，在建模期間，我們可將導數視為瞬時變化率，用以解決實際問題.站在物理學的角度，“衰變”和“邊際”都可用來探討速率、增長、放射性等問題，而“邊際”還可以用來解決實際問題.在教學環節，若遇到相關問題或具有這些關鍵詞的問題時，教師就要引導學生關注哪些研究對象處于變化狀態、哪些規律適用于建立數學模型.

（三）利用微元法建立模型

通過微元法構建的微分方程需要優先明確微元關系，再利用其他函數與定理等數學工具進行解決.當所計算的變量滿足與其所處的范圍有關的條件，即該范圍是可加的，便可以使用微元法來建立數學模型.根據特定的情況，我們可以從一個特定的范圍內挑選一個自變量，然后根據一系列的數學公式計算出這個范圍的一些參考點的大致數值，即將其視為連續函數在x數值處f（x）與dx的乘積，再對等式兩邊同時進行積分運算，就可以得出變量I的具體數值.這種數學建模方式在解決實際問題的過程中運用頻率較高，比如，在數學空間幾何中，用微元法計算曲線弧長、旋轉曲面面積，在物理學科中計算變力做功等.

（四）模擬近似

在解決復雜問題的過程中，對于固定規律、現象不清楚時，則可以嘗試用近似模擬的方式建立常微分方程.在建設該數學模型的過程中需要對相關的問題進行分析，提出合理性的假設，明確所要研究的問題內容.簡單來說，建立近似模擬期間，需要對相關性質進行全面分析，并在此基礎上對相同情況進行對比與分析，檢查建立的模型是否與實際情況相符，若沒能滿足相關條件，則要對模型進行進一步完善與修改.

三、數學建模的過程

（一）數學建模

利用數學語言建模需要保證數學語言能夠表述出實際現象的具體情況，其中不僅包含自由落體等自然現象，還包含價值傾向等抽象的概念現象以及外在形態與內在機制等.簡單來說，數學建模更傾向于將單純的數學知識轉變為對物理知識、化學知識甚至社會學知識等.在日常生活中，人們要想描述出具體、真實的現象，所采用的手段較為豐富，如常見的錄音、錄像等手段，但數學建模期間，由于數學語言具備邏輯性強、客觀性強等特點，便要求使用數學語言的過程中要能體現出與生活實際相吻合，并保障整個描述過程的客觀性與嚴謹性.

教學期間，教師可創設生活化情境，幫助學生了解數學建模的概念、意義和作用.例如，當一名駕駛員想要將貨物從甲地運往乙地時，他可能會面臨一個數學問題：哪一條線路能夠保證總路程最短？在現實生活中，駕駛員難以做到親自走過每一條線路，而是會利用交通路線圖進行仔細比較，從而確定最佳的運輸路線.在此情境中，交通路線圖就是數學建模的表達方式.

數學建模的過程就是將現實問題優化處理的過程，這種優化處理可以是抽象問題的簡化，也可以是復雜問題的感性化處理.建立數學模型應優先對各項數據進行分析和調查，觀察所收集數據存在的內在聯系與特征，找出問題中的矛盾點所在，而后結合實際情況，對問題中的數量關系進行處理，用數學定理、公式等完成問題轉化.

數學建模對學生的要求較高，不僅要做到扎實掌握數學基礎知識，擁有豐富的想象能力，還要建立相對完善的知識架構.所以，教師在引導學生使用常微分方程建立數學模型的過程中，應結合當前育人導向，重點培養學生的數學建模意識和數學建模能力，為學生后續發展提供助力.

（二）數學建模的步驟

教師在教學數學模型期間需要做好充分準備，提供合理的假定，根據具體情況創造出一個精細、有序、可靠的模型，以便讓學生在遇到復雜的情況時可以更好地應用模型解決問題.盡管構建模型時并不總是按照某種特定的方式來進行，但仍然需要考慮多種元素，盡量排除不相干元素的影響，比如數據的分析、計算、預測、推理、決策等.

除此之外，教師在指導學生使用常微分方程構建數學模型期間，應考慮到數學工具的多樣性和復雜性.在解決問題的過程中，數學工具的使用是不固定且多樣化的，這就代表著對于同一個問題可以建設出多種模型，建模的方式方法、解決問題的方式方法也有所差異，再加上多種元素的結合，最終形成了多種多樣的數學模型.從這個角度出發，在非特定情況下，數學模型具有多樣性，這就意味著教師、學生在建模的過程中應掌握一定的數學問題處理技巧，具備豐富的想象能力，注重建模方式的使用，保障建模過程的客觀性、準確性.

1.模型準備

為保障數學建模的準確性，教師應當全面了解相應問題的背景、目的以及所涉及的學科知識，積極利用互聯網或圖書館等渠道獲取建模所需的資料和信息，以便更加深入地探索和研究.

2.模型建立

模型建立即通過使用模型假定的方法，利用現有的知識與收集的資料，運用合理的數學方法深入探索變量之間的聯系及其相互作用.與此同時，模型建立應該著重關注以下幾點.第一，明確變量的類別，正確運用數學工具處理實際問題中的變量，特別是確定性的變量.微積分、微分方程、線性規劃、非線性規劃、圖論和計算機網絡技術、投資增長、插值等都可以作為解決數學模型的工具.在涉及隨機變量的情況下，可以使用概率、統計、隨機性存儲、對策、決策以及隨機微分方程這些工具.此外，由于數學學科分支眾多，且彼此間有著密切的聯系，所以在選擇具體數學工具的同時還要考慮到不同的實際情況以及個性化需求，再根據個人的興趣和專業背景來選擇適合的方法.第二，把握問題的核心，努力簡化問題處理的路徑和方法.第三，關注使用的方法是否符合實際情況和具體需求，充分發揮數學建模的作用.第四，使用高精度的建模方法，以便更好地解決實際問題的復雜情況.

3.模型求解

為提高數學模型求解的質量和效率，教師可積極引進先進的數字技術，對已建立的數學模型進行更深入的分析，以便更好地探索問題本質，找出解決問題的方案.教師應積極利用這些計算機軟件，用更為便捷的方式求解數學模型，比如，現階段常見的數學工具軟件Mathlab等.

4.模型檢驗

在求得數學模型的解之后，需要對模型進行分析和檢驗，通過模型分析評估模型的準確性、可靠性、可操作性以及靈活性.比如，在完成數學模型檢驗后，教師需要指導學生將結果與之前的預測進行對比，明確兩者是否一致，若一致，則表明建立的模型是成功的；若不一致，則需重新分析數學模型，并進行必要的修改.由于數學模型是在特定假設條件下建立的，它們可能與實際情況存在較大差異，所以需要進行修正以確保模型的準確性.在這個過程中，教師需要指導學生仔細檢查簡化和假設是否合理，如果不合理，需要進行修正并建立新的數學模型，該過程需要不斷重復，直到滿足要求為止.

（三）數學建模示例分析

隨著時間的推移，細菌的數量呈正比增長，如果在24小時內，細菌的數量從100增加到400，那么在接下來的12小時里，細菌的增長總數會是多少？

結 語

目前，數學模型已被運用到社會各個領域，以滿足對定量分析、優化決策等方面的需求.它既能幫助人們更好地理解客觀事物的運動軌跡，又可以揭示客觀事物之間的復雜聯系，以及客觀事物的變化趨勢.常微分方程作為常見的數學工具，已被越來越多的研究者所采納和認可，其能夠滿足人們日益增長的對精確度、準確性、可靠性的要求.正因如此，實施數學建模教學期間，教師應著重關注對常微分方程的應用，幫助學生更好地使用該工具.

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