例談小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)

周超紅

［摘 要］文章以麥肯錫邏輯推理為基本理論支撐，采取案例分析以及實(shí)證研究的方法對(duì)“探索圖形的周長(zhǎng)與面積”開展了深入性研究，從確認(rèn)問題、提出猜想、尋找論據(jù)、建立論證、得出結(jié)論五個(gè)環(huán)節(jié)開展對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力的培養(yǎng)，最終從為學(xué)生提供推理論證全過程的機(jī)會(huì)、為學(xué)生提供找出論據(jù)和反駁的空間、為學(xué)生提供推理所需過渡性載體三個(gè)方面進(jìn)行了教學(xué)反思。

［關(guān)鍵詞］邏輯推理；推理論證；小學(xué)數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）29-0075-03

數(shù)學(xué)是一門邏輯性非常強(qiáng)的學(xué)科，很多概念的學(xué)習(xí)、理解及應(yīng)用，需要學(xué)生具備良好的邏輯思維能力。通過提升學(xué)生的邏輯推理能力，可以幫助他們學(xué)會(huì)觀察、分析和解決問題的方法，幫助他們理解數(shù)學(xué)規(guī)律和推導(dǎo)出正確的答案。教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，并能夠根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況制訂培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的有效策略，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)以及長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

一、教學(xué)環(huán)節(jié)與研究方法

1.教學(xué)環(huán)節(jié)

邏輯推理指的是從一些命題或者事實(shí)出發(fā)，按照既定的規(guī)則推斷出其他命題。常見的邏輯推理方式有溯因推理、歸納推理、演繹推理等。麥肯錫將邏輯推理的過程分為7個(gè)步驟，包含問題確認(rèn)、問題分解、問題剔除、制訂計(jì)劃、關(guān)鍵分析、建立論證、交流溝通。筆者在麥肯錫理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合自身實(shí)際教學(xué)情況，將推理過程分為確認(rèn)問題、提出猜想、尋找論據(jù)、建立論證、得出結(jié)論5個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)，全面動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)學(xué)生的推理論證歷程。

2.研究方法

以一節(jié)“探索圖形的周長(zhǎng)與面積”公開課為例，對(duì)課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行反思與總結(jié)，再反復(fù)實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)教學(xué)流程的不斷改進(jìn)與優(yōu)化，形成一套培養(yǎng)小學(xué)生邏輯推理能力的有效策略。

二、研究過程

1.確認(rèn)問題

教師為學(xué)生提供方格紙（每一格的邊長(zhǎng)為1厘米），要求學(xué)生沿方格線裁掉小長(zhǎng)方形（不能直接從內(nèi)部裁），觀察剩余方格紙的周長(zhǎng)與面積的變化。學(xué)生經(jīng)過反復(fù)裁切后歸納出三種裁切方法：第一種，一裁到底，整行整列地裁（如圖1-1）；第二種，裁在角上，從方格紙的一角開始裁切（如圖1-2）；第三種，裁在邊上，不裁方格紙的四個(gè)角（如圖1-3）。

教師向?qū)W生提問：（1）請(qǐng)說明裁切方法分為三種的原因；（2）請(qǐng)說出不同裁切方法下，剩余圖形的周長(zhǎng)和面積隨裁掉的方格數(shù)變化的規(guī)律；（3）從方格紙中裁掉整數(shù)方格，請(qǐng)說出使圖形“周長(zhǎng)不變，面積最小”的裁切方法。

在此環(huán)節(jié)中，學(xué)生對(duì)“裁切方格紙”表現(xiàn)出非常濃厚的興趣，很多學(xué)生在裁切完之后主動(dòng)和周圍同學(xué)進(jìn)行交流、探討。

2.提出猜想

小學(xué)生的思維尚處于形成發(fā)展階段，還沒有掌握完善的邏輯推理方法，教師可采取對(duì)話介入的方式，通過循序漸進(jìn)的方式引導(dǎo)學(xué)生提出猜想。

師：同學(xué)們，要想解決上述三個(gè)問題，我們首先要找出這三個(gè)問題之間的關(guān)系，然后找出關(guān)鍵性問題。你們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)問題之間的關(guān)系了嗎？

生（齊）：沒有。

師：那好，注意聽老師的分析。第一個(gè)問題是關(guān)于“裁切方法”的，如果這三種方法已經(jīng)包含了所有的裁切情況，那么就說明，我們?cè)谔骄康诙€(gè)問題“剩余圖形的周長(zhǎng)和面積隨裁掉的方格數(shù)變化的規(guī)律”時(shí)不會(huì)出現(xiàn)遺漏，是不是？

生（齊）：是的。

師：當(dāng)我們找到“剩余圖形的周長(zhǎng)和面積隨裁掉的方格數(shù)變化的規(guī)律”時(shí)，就可以根據(jù)規(guī)律來解決第三個(gè)問題。也就是說，解決第三個(gè)問題前要解決第二個(gè)問題，在此之前要先證明第一個(gè)問題的正確性。

通過對(duì)話的方式引發(fā)學(xué)生對(duì)問題的深入認(rèn)識(shí)，并將溯因推理的意識(shí)植入學(xué)生的腦海中。學(xué)生非常迅速地投入對(duì)第一個(gè)問題的探索中，經(jīng)過研究與分析得出結(jié)論“長(zhǎng)方形是由相對(duì)邊等長(zhǎng)、相鄰邊相互垂直的4條線段首尾相連組成的，每一個(gè)長(zhǎng)方形都包含4條邊和4個(gè)角”。學(xué)生就能明白“在裁切的過程中最多出現(xiàn)三種情況，裁角又裁邊、只裁角、只裁邊，其對(duì)應(yīng)的裁切方法也就分別為一裁到底、裁在角上、裁在邊上”。此結(jié)論得到教師的認(rèn)可之后，學(xué)生又對(duì)第二個(gè)問題提出猜想（見表1）。

3.尋找論據(jù)

尋找論據(jù)的過程可以由學(xué)生提出，也可以由教師提出。在此環(huán)節(jié)中，上述9個(gè)猜想中有3個(gè)得到了論據(jù)支持，其中2個(gè)是學(xué)生獨(dú)立提出的，另外一個(gè)是學(xué)生在教師的提示下找到的。例如，對(duì)于“裁在角上，周長(zhǎng)不變，面積變小”這一猜想，學(xué)生提出了2條論據(jù)，一條是“在任何一個(gè)長(zhǎng)方形中，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度相等”，另一條是“長(zhǎng)方形中對(duì)應(yīng)邊平行且相等”，由此可見，學(xué)生對(duì)既有知識(shí)的掌握是比較熟練的。另外，學(xué)生在提出論據(jù)的過程中出現(xiàn)了4次“爭(zhēng)論”，每次“爭(zhēng)論”出現(xiàn)的時(shí)候，教師都組織學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)，互相辯論。當(dāng)學(xué)生在尋找論據(jù)的過程中遇到了問題時(shí)，教師的引導(dǎo)與啟發(fā)就能起到重要的作用，這比教師直接告知學(xué)生答案更好。在此過程中，學(xué)生思維的邏輯性、發(fā)散性、嚴(yán)謹(jǐn)性都得到了很好的鍛煉與培養(yǎng)。

4.建立論證

經(jīng)過論證發(fā)現(xiàn)，如圖2所示，當(dāng)選擇“一裁到底”的裁切方法時(shí)，裁掉了原來的一條邊，還有另外兩條邊變短了，但產(chǎn)生1條新的“邊”，裁掉的邊與產(chǎn)生的“邊”長(zhǎng)度相等，但另外兩條邊變短了，剩余圖形的周長(zhǎng)變小。由于是整行或整列地裁，故減少的面積為“5平方厘米×裁掉的列數(shù)（或行數(shù)）”。

如圖3所示，當(dāng)選擇“裁在角上”的裁切方法時(shí)，剩余圖形的面積會(huì)減少，周長(zhǎng)保持不變。這是因?yàn)檫@樣裁，有兩條邊變短，但產(chǎn)生了兩條新的“邊”，而這兩條新的“邊”的長(zhǎng)度正好是原來兩條邊變短的長(zhǎng)度，因此，剩余圖形周長(zhǎng)不變，裁掉幾格，面積就減小幾平方厘米。

如圖4所示，當(dāng)選擇“裁在邊上”的裁切方法時(shí)，剩余圖形的面積會(huì)減少，周長(zhǎng)變大。這是因?yàn)檫@樣裁，原來的一條邊變短，但會(huì)產(chǎn)生三條新的“邊”，三條新“邊”中的一條“邊”的長(zhǎng)度等于變短的那條邊變短的長(zhǎng)度，其他兩條“邊”是新產(chǎn)生的，所以剩余圖形周長(zhǎng)變大，裁掉幾格，面積就減少幾平方厘米。

5.得出結(jié)論

從上述論證中可以得出選擇不同裁切方法下剩余圖形的周長(zhǎng)和面積隨裁掉的方格數(shù)變化的規(guī)律：（1）“一裁到底”時(shí)，剩余圖形的周長(zhǎng)和面積都變小，裁的方格數(shù)越多，面積越小；（2）“裁在角上”時(shí)，剩余圖形的周長(zhǎng)不變，面積變小，裁的方格數(shù)越多，面積越??；（3）“裁在邊上”時(shí)，剩余圖形的周長(zhǎng)變大，面積變小，裁的方格數(shù)越多，面積越小。

因此，對(duì)于教師提出的第三個(gè)問題，學(xué)生明白：要想獲得一個(gè)“周長(zhǎng)不變”的圖形，就必須選擇“裁在角上”；要想剩余圖形“面積最小”，就要盡可能多地裁。學(xué)生不斷嘗試，很快就得出了“周長(zhǎng)不變，面積最小”的圖形（如圖5）。

三、研究反思

1.為學(xué)生提供經(jīng)歷推理論證全過程的機(jī)會(huì)

為了學(xué)生有完整的數(shù)學(xué)推理論證體驗(yàn)，教師需要在整個(gè)教學(xué)過程中穿插不同形式的教學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)他們通過合理的推理來解決問題。

2.為學(xué)生提供找出論據(jù)的空間

在整個(gè)課堂教學(xué)過程中，教師需要以學(xué)生為主體，對(duì)教學(xué)中產(chǎn)生的一些階段性問題，可以讓學(xué)生依靠自己的獨(dú)立思考及探究完成。教師將自身定位為一個(gè)引導(dǎo)者，在課堂上適時(shí)地為學(xué)生提供幫助，最大限度激發(fā)學(xué)生的潛力。

3.為學(xué)生提供推理所需的過渡性載體

小學(xué)生的思維具有具象化特征，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)提供實(shí)物學(xué)具，幫助學(xué)生深入探究問題。另外，教師需充分發(fā)揮自身的教學(xué)引導(dǎo)作用，向?qū)W生傳授溯因、歸納等推理理念，讓學(xué)生掌握必要的邏輯推理方法。

四、研究總結(jié)

要想實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)，可以從以下幾個(gè)方面著手。

1.引入實(shí)際問題

從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，激發(fā)起學(xué)生對(duì)問題的探究興趣。

2.使用圖形教具

圖形或者實(shí)物學(xué)具可以幫助學(xué)生更加形象直觀地理解問題，促進(jìn)其具象思維與抽象思維的共同發(fā)展，從而增強(qiáng)他們的邏輯分析及推理能力。

3.開展分步教學(xué)

可將問題拆分成更小、更容易理解的部分，借助深入淺出的方式引導(dǎo)學(xué)生逐步推理并解決問題，從而培養(yǎng)邏輯推理能力。

4.組織合作討論

發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主體作用，利用學(xué)生相互討論來實(shí)現(xiàn)不同思維的相互碰撞，最終提升學(xué)生的思維判斷力。

5.教師適時(shí)介入

教師對(duì)學(xué)生有著非常重要的引導(dǎo)與啟發(fā)作用，教師需適時(shí)地介入學(xué)生的討論，給予學(xué)生必要的幫助并啟發(fā)其思維，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力有著很大的幫助。

6.注重反饋評(píng)估

教師及時(shí)評(píng)估學(xué)生的推理過程，并與學(xué)生交流，才能了解他們的理解程度和思維發(fā)展情況，方便開展下一步教學(xué)工作。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 謝麗蘭. 談?wù)勑W(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)路徑[J]. 華夏教師，2022（29）：25-27.

[2] 林亞毜. 例談小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)[J]. 教師，2020（9）：62-63.

[3] 郭德蘭. 核心素養(yǎng)視域下小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)[J]. 新課程研究，2020（20）：35-36.

[4] 姚建亞. 核心素養(yǎng)下小學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的培養(yǎng)研究[J]. 新智慧，2020（10）：132.

（責(zé)編 楊偲培）