代數中的整體思想及其應用

丁波

［摘 要］整體思想可以達到化繁為簡，變難為易的目的。文章結合五則典例，探討整體思想在平方差公式、完全平方公式、因式分解、二元一次方程組、分式方程中的應用，以培養學生整體思想意識，提高學生整體解決問題的能力。

［關鍵詞］整體思想；代數；初中數學

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0029-03

整體思想是指從整體上去認識問題，思考問題，重點分析問題整體結構與特征，從而達到化繁為簡、變難為易的目的。整體思想主要表現為整體思考、整體運算、整體代換或整體構造等，它可以應用在方程與不等式、函數與圖象、幾何與圖形等諸多方面。以下筆者結合幾則典例，重點探討代數中的整體思想及其應用。

一、平方差公式中的整體思想

平方差公式用字母可表示為[（a+b）（a-b）=a2-b2]，公式里的字母[a]，[b]可以是單項式，也可以是多項式，當字母是多項式時，需要用整體思想加以處理，當算式需要多處應用平方差公式時，也需要用整體思想。

［例1］如圖1，在邊長為[a]的正方形中挖去一個邊長為[b]的小正方形（[a>b]），把余下的部分剪拼成一個矩形。（1）通過計算兩個圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗證的等式是 ? ? 。（請選擇正確的一個）

A. [a2-2ab+b2=（a-b）2]

B. [a2-b2=（a+b）（a-b）]

C. [a+ab2=a（a+b）]

D. [a2+2ab+b2=（a+b）2]

（2）應用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知[x2-4y2=12]，[x+2y=4]，求[x-2y]的值；②計算：（22+42+62+82+102+122+…1002）-（12+32+52+72+92+112+…+992）。

思路導引：（1）利用大正方形面積減去小正方形面積表示左圖陰影部分面積，用長方形面積公式表示右圖陰影部分面積，根據面積不變得到結論；（2）①運用平方差公式，將[x2-4y2=12]，[x+2y=4]整體代入求解；②算式是多個連續偶數的平方和減去多個連續奇數的平方和，利用加法的交換律與結合律變為若干個平方差的和，從而解決問題。

解：（1）左圖中，陰影部分為大正方形減去小正方形，面積為[a2-b2]，右圖陰影是拼成的長方形，長為[a+b]，寬為[a-b]，所以右圖陰影部分面積為[（a+b）（a-b）]，由于左、右兩圖面積相等，所以[a2-b2=（a+b）（a-b）]，故答案為B。

（2）①由（1）中規律，利用平方差公式可得[x2-4y2=（x+2y）（x-2y）]，∵[x2-4y2=12]，[x+2y=4]，∴[x-2y=12÷4=3]。②通過觀察，此題數字具有一定規律，可用運算定律將原式寫成：（22-12）+（42-32）+（62-52）+（82-72）+…+（1002-992）=（2+1）（2-1）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）+…+（100+99）（100-99）=3+7+11+15+…+199=1+2+3+4+5+6+7+8+…+99+100=（1+100）×（100÷2）=5050。

點評：當平方差公式的兩個數分別是多項式時，計算時需要用整體思想。

二、完全平方公式中的整體思想

完全平方公式是指兩數和或差的平方，等于兩數的平方和加上或減去這兩數積的2倍。反之，兩數的平方和加上或減去這兩數積的2倍，等于這兩數和或差的平方。用字母可表示為[（a±b）2=a2±2ab+b2]，公式中的字母[a]，[b]可以表示單項式，也可以表示多項式，當字母表示多項式時，需要用整體思想來處理。

思路導引：（1）從正方形面積公式與大正方形的面積組合兩個角度得到大正方形面積，根據面積相等，得到結論；（2）由（1）得到的公式，得[x]，[y]兩數差、兩數和與兩數積的關系式，整體代入求值；（3）將完全平方公式變形，得到[2ab=（a+b）2-（a2+b2）]，然后整體代入求解。

解：（1）由正方形面積公式，得[S大正方形=（a+b）2]，由大正方形面積等于小正方形面積+四個矩形面積，得[S大正方形=（a-b）2+4ab]，∴[（a+b）2=（a-b）2+4ab]，故答案為[（a+b）2=（a-b）2+4ab]。

（2）由（1）可知[（a+b）2=（a-b）2+4ab]，得[（x-y）2=（x+y）2-4xy]，∴[（x-y）2=（x+y）2-4xy=16]，∴[x-y=±4]。

（3）∵[（a+b）2=a2+2ab+b2]，∴[2ab=（a+b）2-（a2+b2）]，∴[2（2020-m）（m-2023）=（2020-m）+（m-2023）2-（2020-m）2+（m-2023）2=（-3）2-7=2]，∴（2020-m）（m-2023）=1。

點評：在第（2）小題中，已知兩數和與兩數積，整體代入就可以求出兩數的差，其關鍵是掌握兩數和、兩數差、兩數積之間的計算公式；在第（3）小題中，已知兩數的平方和求兩數積，整體代入求解，其關鍵是將完全平方公式變形。

三、因式分解中的整體思想

因式分解是指將一個多項式分解為幾個整式的乘積的形式，它的過程與整式乘法相反，因式分解的方法包括提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等，當公因式是多項式，需要整體將公因式提出來，當乘法公式里的字母表示多項式時，也需要用整體思想來處理。

思路導引：（1）根據所給三個等式，發現結果均是一個二項式，x的指數比等式左邊的最高次數大1，由此填空；（2）根據（1）的計算結果，將多項式m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1轉化為兩個多項式的相除，再被除數因式分解，約分后得到分解因式的結果；（3）與（2）的分解因式對照，（3）的算式相當于（2）的多項式，將[m=2]代入后可得a，b，c，d的值，最后再化簡求值。

點評：從上面的解答可以看出，分解因式的方法可以從整式乘法里獲得，將整式乘法反過來就是分解因式的結果。

四、二元一次方程組中的整體思想

解二元一次方程組的基本思想是消元，基本方法是代入消元法與加減消元法，其目的是將二元一次方程組化為一元一次方程來解。解二元一次方程組還有一種方法叫作整體代換法，它是將方程組中的某一部分看作一個整體，通過整體代換的方法消元，也可以達到解方程組的目的。

思路導引：（1）仿照材料中的“整體代換”解法，將[3x+5y]看作一個整體，將方程②變形后，把方程①整體代入解方程組；（2）①仿照材料中的“整體代換”解法，將[2x2-xy+3y2]看作一個整體，將方程②變形后，把方程①整體代入求得[xy]的值；②根據[xy]的值，列出[x]，[y]對應的整數值，再代入方程組進行檢驗。

點評：整體代換法就是一種整體代入的思想方法，適用于特殊的方程組。

五、分式方程中的整體思想

分式方程是指分母中含有未知數的方程，解分式方程的基本思想是化分式方程為整式方程，基本方法就是去分母。對于特殊類型的分式方程，可通過觀察幾個具體的方程的解從而獲得規律，再根據規律求得同一類型的分式方程的解，此時需要用整體思想將非此類型的方程進行變形。

數學教育家波利亞指出，要將問題作為一個整體來理解，然后再判定哪個點是最重要的內容，這樣就占據了有利的位置，沒有整體理解問題就從細節開始，是一種愚蠢的做法。由此可見整體思想的重要性。以上筆者從五個方面探析了整體思想的運用，以期給讀者一些體會與感悟。