不同視角解三角 多維導向提能力

摘" 要：以2022年新高考Ⅰ卷第18題為例，從不同角度進行分析，培養學生的運算求解能力、數學應用意識、數學創新意識.

關鍵詞：視角；三角函數；多維導向

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0022-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：盧秀敏（1979.10—），女，中學高級教師，從事中學數學教學研究；

包喜（1980.9—），男，中學高級教師，從事中學數學教學研究.

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2023年度常規課題“基于新課程理念下高中數學大單元教學及評價研究”（項目編號：FJJKZX23-566）；2023年龍巖市永定區教育教學課題“生態課堂設問的有效預設與調控的研究”（項目編號：ydjxjky23-102）.

近幾年高考中，針對三角函數知識加強了對正弦定理、余弦定理的考查，主要考查運算求解能力、數學應用意識、數學創新意識.考查難度不大，但綜合性強，如結合向量、導數、基本不等式等知識的融合考查，學科能力檢驗功能明確.因此高三復習階段，教師通常會將三角函數模塊的復習作為重中之重，學生在解題訓練中也會關注本模塊的訓練［1］.

1" 真題呈現

題目" （2022年全國Ⅰ卷第18題）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.

（1）若C=2π3，求B；

（2）求a2+b2c2的最小值.

2" 解法分析

2.1" 第（1）問解析

2.1.1" 以“角度”為研究視角

解法1" 根據sin2B=2sinBcosB，

cos2B=2cos2B-1，

可得sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB.

又cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，

故cosA1+sinA=sinBcosB.

則cosAcosB=sinB（1+sinA）=sinB+sinBsinA.

移項可得sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos（A+B）=cos（π-C）=cos（π-2π3）=cosπ3=12.

又B∈（0，π3），故B=π6.

2.1.2" 以“函數”為研究視角

解法2" 已知cosA1+sinA=sin（π/2-A）1+cos（π/2-A），

又cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，

則sin（π/2-A）1+cos（π/2-A）=sin2B1+cos2B.

構造函數f（x）=sinx1+cosx，x∈（0，π），則

f ′（x）=cosx（1+cosx）-sinx（-sinx）（1+cosx）2

=1+cosx（1+cosx）2gt;0.

所以f（x）在（0，π）上單調遞增.

又f（π2-A）=f（2B），故π2-A=2B.

又A+B=π-C=π3，可解得B=π6.

解法3" 因為sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=tanB，

cosA1+sinA=cos2（A/2）-sin2（A/2）［sin（A/2）+cos（A/2）］2

=cos（A/2）-sin（A/2）cos（A/2）+sin（A/2）

=1-tan（A/2）1+tan（A/2）

=tan（π4-A2），

又因為A，B∈（0，π2），π4-A2∈（0，π2），函數

y=tanx在（0，π2）上單調遞增，所以π4-A2=B.

又A+B=π-C=π3，可解得B=π6.

2.1.3" 以“結構”為研究視角

解法4" 由cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，去分母，得

cosA（1+cos2B）=sin2B（1+sinA）.

即cosA+cosAcos2B=sin2B+sin2BsinA.

移項，得cosA+cosAcos2B-sin2BsinA=sin2B.

由兩角和與差公式化簡，得

cosA+cos（A+2B）=sin2B.

又因為A=π-C-B=π3-B，

所以A+2B=π3-B+2B=π3+B.所以

cos（π3-B）+cos（π3+B）=sin2B.

展開后合并同類項，得cosB=2sinBcosB.

所以sinB=12.

又B∈（0，π），所以B=π6.

解法5" 因為sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，

cosA1+sinA=cosA（1-sinA）1-sin2A=1-sinAcosA，

又因為cosA1+sinA=sin2B1+cos2B，

所以1-sinAcosA=sinBcosB.

去分母，得cosB-cosBsinA=sinBcosA.

故cosB=cosBsinA+sinBcosA=sin（A+B）=sin（π-C）=sinπ3=32.

又B∈（0，π），所以B=π6.

2.2" 第（2）問解析

2.2.1" 以角A為研究主體

解法1" 由（1）可知sinB=cos（A+B），A，B∈（0，π），

所以A+B=π2-B.

則B=π4-A2，C=π-A-B=34π-A2.

故sinB=sin（π4-A2）=22（cosA2-sinA2），

sinC=sin（34π-A2）=22（cosA2+sinA2）.

由正弦定理可知：

a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C

=sin2A+［cos（A/2）-sin（A/2）］2/212［cos（A/2）+sin（A/2）］2

=sin2A+（1-sinA）/2（1+sinA）/2

=2（1+sinA）2-5（1+sinA）+41+sinA

=2（1+sinA）-5+41+sinA

≥28-5=42-5，

當且僅當1+sinA=2時，等號成立.

故a2+b2c2的最小值為42-5.

2.2.2" 以角B為研究主體

解法2" 由（1）可知sinB=cos（A+B），A，B∈（0，π），

所以A+B=π2-B.

則A=π2-2B，C=π-A-B=π2+B.

故sinA=1-2sin2B，

sinC=cosB.

由正弦定理可知：

a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=（1-2sin2B）2+sin2Bcos2B

=4（1-sin2B）2-5（1-sin2B）+21-sin2B

=4（1-sin2B）-5+21-sin2B

≥28-5=42-5，

當且僅當1-sin2B=22時，等號成立.

故a2+b2c2的最小值為42-5.

2.2.3" 以角C為研究主體

解法3" 由（1）可知sinB=cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC，B，C∈（0，π），所以B=C-π2，A=π-B-C=3π2-2C.

故sinA=cos2C=1-2sin2C.

由正弦定理可知：

a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=（1-2sin2C）2+cos2Csin2C

=（1-2sin2C）2+（1-sin2C）sin2C

=4sin2C-5+2sin2C

≥28-5=42-5，

當且僅當sin2C=22時，等號成立.

故a2+b2c2的最小值為42-5.

以上三種不同研究主體的選擇，實際上是異曲同工、殊途同歸，在同一函數模型為目標的前提下，由于選擇對象的不同，對計算過程的難易有了一定影響.這就可以較好地對解題的方向進行示范，使學生感悟到函數模型的重要性.3" 結束語

高考作為高質量教育體系的一個重要檢查環節，在落實立德樹人的根本任務中發揮著極其重要的作用.學科素養不是獨立于知識、技能、思想與經驗之外的大概念，它指向對學科知識的理解、對學科技能的掌握、對學科思想的感悟和對學科活動經驗的積累.學生的數學能力的提高應以核心素養為導向，在高三的教——學——評過程中，教師應注重核心素養在每一節授課過程中潛移默化的培養.在解題教學過程中，要注重分析試題的題源、考查目標、設計意圖、能力要求、素養考查，“知其然，且知其所以然”，不斷提升學科必備素養.

參考文獻：

［1］

劉再平，劉祖希.新高考背景下高考數學研究述評與展望［J］.數學通訊，2023，62（04）：1-9，62.

［責任編輯：李" 璟］