高考數學情境類創設試題的命題方向

劉學

摘要：數學情境創設類試題是新高考數學試卷中的一類基本考點，體現了社會發展對高考的要求.根據數學情境創設中幾類比較常見的形式，從自主創新與科學發展、文化傳承與“五育”并舉、生活情境與數學應用，以及研究探索與遷移創新等方面展開，結合實例來剖析與應用，有效培養學生的數學能力與數學核心素養等.

關鍵詞：新教材；新課程；新高考；情境；創新

在新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程〔《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》〕、新高考的“三新”背景下，數學情境創設類試題已經成為高考命題中的一個熱點，借助現實情境、數學情境、科學情境等的構建，巧妙滲透教學改革的價值導向及綜合化、情境化與開放化等意識，有效考查學生的數學能力與數學核心素養等.

1 自主創新與科學發展

習近平總書記指出：“自主創新是我們攀登世界科技高峰的必由之路.我國要在科技創新方面走在世界前列，必須在創新實踐中發現人才、在創新活動中培育人才.”

數學被稱為科學的“皇后”，是學習一切科學的基礎，也是人的發展的必要條件.數學學習的好壞決定著人才的發展高度，更是新時代科技創新與發展方面人才選拔的一個重要基礎.借助自主創新與科學發展這方面的數學情境創設，引領高中數學教學與人才培養方向，為新時代選拔更多更優秀的人才.

例1（山東省濟南市2023年3月高三模擬考試數學試卷）機器學習是人工智能和計算機科學的分支，專注于由數據和算法來模擬人類學習的方式.在研究時需要估算不同樣本之間的相似性，通常采用的方法是計算樣本間的“距離”，閔氏距離是常見的一種距離形式.兩點A（x1，y1），B（x2，y2）的閔氏距離為Dp（A，B）=（|x1－x2|p+|y1－y2|p）1p，其中p為非零常數.如果點M在曲線y=ex上，點N在直線y=x－1上，則D1（M，N）的最小值為.

分析：根據數學情境，利用閔氏距離的創新定義并結合具體的曲線條件，構建對應距離的表達式，進而結合重要不等式結論ex≥x+1與絕對值不等式性質加以合理放縮，從而得以分析與求解對應的最值問題.

解析：

設N（x，x-1），M（t，et）.則D1（M，N）=|x-t|+|x-1-et|.

令f（x）=1+ex-x，則f′（x）=ex-1.

當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0;當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0.

所以f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增.

因此f（t）≥f（0）=2，即1+et≥t+2＞t.

當x≤t時，D1（M，N）=t-x+1+et-x=et+t+1-2x≥et-t+1≥2;

當t＜x＜1+et時，D1（M，N）=x-t+1+et-x=1+et-t≥2;

當x≥1+et時，D1（M，N）=x-t+x-1-et=2x-t-1-et≥2（1+et）-t-1-et=1+et-t≥2.

綜上所述，可知D1（M，N）的最小值為2.

故填答案：2.

點評：涉及自主創新與科學發展方面的數學情境創設問題，往往以新時代前沿科學發展或創新應用為場景來創設，合理數學建模，轉化為對應的數學問題，進而利用數學知識來分析與應用.

2 文化傳承與“五育”并舉

任子朝先生認為：文化與數學史考題體現“創造性轉化、創新性發展”.借助數學文化類的情境創設試題，把弘揚中華優秀傳統文化與學習借鑒國外優秀文化成果相結合，增強中華優秀傳統文化的生命力和影響力，促進學生培養文化探究和創新意識，培育人文精神，實現文化傳承，增強文化自覺和文化自信，體現高考選拔以及德、智、體、美、勞等“五育”全面發展的育人的重大使命.

例2（2023屆江蘇省南京市、鹽城市高三年級第二次模擬考試數學試卷）三星堆古遺址作為“長江文明之源”，被譽為人類最偉大的考古發現之一.3號坑發現的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會中神樹的意義提供了重要依據.玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學者認為其外方內圓的構造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現.如圖1，假定某玉琮形狀對稱，由一個空心圓柱及正方體構成，且圓柱的外側面內切于正方體的側面，圓柱的高為12 cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個頂點均在球O上，則球O的表面積為（）.

A.72π cm2

B.162π cm2

C.216π cm2

D.288π cm2

分析：根據數學情境，結合對應玉琮的結構特征，利用圓柱與正方體這兩個基本空間圖形之間的位置關系，通過設圓柱底面圓半徑與球的半徑，構建對應的關系式，得以求解球的半徑，進而求球的表面積.

解析：設圓柱底面圓的半徑為r，球O的半徑為R，則正方體的棱長為2r，

依題可得

2R=（2r）2+（2r）2+（2r）2，62+r2=R2.

解得R2=54.

所以球O的表面積為S=4πR2=216π（cm2）.

故選擇答案：C.

3 生活情境與數學應用

數學源于生活，高于生活.在生活情境中提煉抽象出數學問題，本身就是將數學與生活結合在一起，真正體現學以致用.勞動創造了數學，活動是數學的表象，高考中的生活情境類問題就是考查學生透過表象抓住問題的數學本質的能力，充分體現數學的應用.

例3〔2023屆廣東省名校聯盟高三（下）學期大聯考數學試卷〕“打水漂”是一種游戲，通過一定方式投擲石片，使石片在水面上實現多次彈跳，彈跳次數越多越好.小趙同學在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時的速度為20 m/s，然后石片在水面上繼續進行多次彈跳.不考慮其他因素，假設石片每一次接觸水面時的速度均為上一次的85%，若石片接觸水面時的速度低于6 m/s，石片就不再彈跳，沉入水底，則小趙同學這次“打水漂”石片的彈跳次數為（）.（參考數據：lg 2≈0.3，1g 3≈0.48，lg 17≈1.23.）

A.6

B.7

C.8

D.9

分析：根據數學情境，結合“打水漂”游戲構建對應的等比數列與不等式，通過函數運算以及不等式的性質，利用對數運算來求值處理，進而通過不等式的求解來確定與應用.

解析：設小趙同學這次“打水漂”石片的彈跳次數為x，x∈N*，

依題可得20×0.85x－1<6，即0.85x－1<0.3，則有x－1>log0.850.3.

而log0.850.3=lg 0.3lg 0.85=lg 3－1lg 85－2=lg 3－1lg 5+lg 17－2=lg 3－1lg 17－lg 2－1≈7.4，即x－1>7.4，所以x=8.

故選擇答案：C.

點評：涉及生活情境與數學應用方面的數學情境創設問題，借助生活中的實際問題來闡述相應的數學應用問題，充分展示數學來源于生活，又高于生活，同時有效指導生活.

4 研究探索與遷移創新

借助數學情境創設，引導考生進行合理的研究探索或知識遷移，結合數學中的概念類比、公式設置、性質應用、知識拓展與創新應用等，通過“再加工”，進行創新與應用.創新意識與創新應用是新時代的一個主旋律，也是高中數學教學與學習中不斷滲透與培養的一種基本精神與能力.

例4（2023屆江蘇省鹽城市、南京市高三第一學期期末調研測試數學試卷）在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量X，Y的取值集合均為{0，1，2，3，……，n}（n∈N*），則X，Y的散度D（X‖Y）=∑ni=0P（X=i）lnP（X=i）P（Y=i）.若X，Y的概率分布如表1所示，其中0

分析：根據數學情境，從創新定義X，Y的散度D（X‖Y）入手，結合創新公式與數據處理來構建對應的函數關系式，利用二次函數與對數函數的性質來確定函數的取值范圍問題.

解析：根據題設中的創新公式，可得D（X‖Y）=P（X=0）lnP（X=0）P（Y=0）+P（X=1）lnP（X=1）P（Y=1）=12ln121－p+12ln12p=－12ln ＼.

由0＜p＜1，可得p（1－p）=－p－122+14∈0，14〗，則ln ＼≤0.

所以D（X‖Y）=－12ln ＼≥0，即D（X‖Y）的取值范圍是＼點評：涉及探索與遷移創新方面的數學情境創設問題，以方法操作或創新定義等方式給出，通過對此類問題的研究與探索，合理遷移對應的數學知識，在此基礎上加以有效創新應用.