經歷數學建模過程，體會消元轉化思想

滕敏

摘? 要：根據前測結果，將“二元一次方程和方程組的概念及其解的概念、解二元一次方程組的代入消元法和加減消元法”這部分難度不大的內容整合在一課時教學，利用“將一根繩子剪成兩段”的情境串聯的多個問題，引導學生完整經歷從實際問題中逐步產生二元一次方程，再通過解二元一次方程組解決實際問題的數學建模過程，明晰方程（組）概念，并重點體會代入法和加減法背后的消元轉化思想，感悟解法本質。

關鍵詞：初中數學；學情前測；二元一次方程組

本文系江蘇省南京市教育科學“十三五”規劃課題“基于學習分析下優化初中數學課堂教學設計的實踐研究”（編號：L/2018/179）的階段性研究成果。

一、學情前測：“次”的認識有偏差，解法運用憑感覺

蘇科版初中數學七年級下冊第10章《二元一次方程組》前3節的內容主要包括二元一次方程和方程組的概念及其解的概念、解二元一次方程組的代入消元法和加減消元法。以往的教學經驗表明，這部分內容比較簡單：學生遷移運用一元一次方程的學習經驗，學得比較輕松。對于這樣難點不顯的內容，教師特別需要運用前測手段充分了解學情，讓教學更有針對性。因此，筆者設計了如下前測題：

1.已知下列方程：（1）2x-3y=5；

（2）xy=3；

（3）x+3y=1；

（4）3x-y+2z=0；

（5）x2+y=6。其中是二元一次方程的有（? ）

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

2.已知下列各組取值：（1）x=2，

y=2；

（2）x=2，

y=1；

（3）x=2，

y=-2；

（4）x=1，

y=6。其中是方程4x+y=10的解的有（? ）

A.1組

B.2組

C.3組

D.4組

3.下列方程組中，屬于二元一次方程組的是（? ）

A.xy=1，

x+y=2

B.5x-2y=3，

1x+y=3

C.2x+z=0，

3x-y=15

D.x=5，

x2+y3=7

4.二元一次方程組x+y=2，

2x-y=4的解是（? ）

A.x=0，

y=2

B.x=2，

y=0

C.x=3，

y=-1

D.x=1，

y=1

5.用適當的方法解下列方程組：

（1）y=2x-5，

x+3y=-1；

（2）8x+6y=15，

4x-6y=21。

前4題分別考查學生對二元一次方程和方程組的概念及其解的概念的掌握情況，第5題主要考查學生對二元一次方程組解法的掌握情況。

將前測題發布在“智慧課堂”網絡平臺上，學生答題之后，平臺統計得到5題解答的平均用時分別為25秒、18秒、10秒、10秒、43秒，正確率分別為36%、97%、42%、94%、62%。其中，第5題兩位學生的具體解答情況分別如圖1、圖2所示。

由前4題的正確率可以看出，學生對二元一次方程和方程組的解的概念掌握得較好，而對二元一次方程和方程組的概念有些不清楚。分析具體作答情況可以發現，學生的主要問題是對形如xy=a（a為常數）的方程認識有偏差，其根本原因是對“次”的認識有偏差。由第5題的正確率及具

體解答情況可以看出，學生對二元一次方程組的解法掌握得差強人意：大部分學生能夠通過代入或加減的方法，消去一個未知數，解出另一個未知數，進而通過代回，解出之前被消去的未知數；但更多的是憑借經驗和感覺使用方法，而沒有認識到方法背后消元轉化（將不熟悉的二元一次方程組轉化為熟悉的一元一次方程）的思想，并因此更容易想到代入法，不容易想到加減法，即方法的使用缺少一點靈活性和優化意識。

二、教學設計：明晰方程（組）概念，感悟解法本質

根據前測結果，筆者認為，可以將這部分難度不大的內容整合在一課時教學，引導學生完整經歷從實際問題中逐步產生二元一次方程，再通過解二元一次方程組解決實際問題的數學建模過程，明晰方程（組）概念，并重點體會代入法和加減法背后的消元轉化思想，感悟解法本質。于是，筆者設計了一組情境串聯的多個問題：

把一根12米長的繩子剪成兩段。

（1）兩段繩子分別有多長？

（2）如果兩段繩長都為正整數，則兩段繩長分別為多少？

（3）如果一段繩長是另一段繩長的2倍，則兩段繩長分別為多少？

（4）如果兩段繩長相差3米，則兩段繩長分別為多少？

教學中，通過問題1引導學生得到一個數量關系，形成一個二元一次方程；然后再現前測題1，幫助學生克服對形如xy=a（a為常數）的方程的認識偏差，深刻理解“次”的含義，從而正確得出二元一次方程的概念。

通過問題2幫助學生強化方程解的概念，同時引導學生認識到：一般來說，一個二元一次方程的解有無數個，但在實際問題中，受到現實情況的制約，解可能只有有限個。

通過問題3引導學生增加一個數量關系，形成兩個二元一次方程，順勢介紹二元一次方程組的概念；然后再現前測題3，引導學生在理解概念的基礎上尋找出錯原因；進而，引出二元一次方程組的解法，強調代入和加減只是方法（手段），消元和轉化才是背后的思想（目的），引導學生體會到方法表象的靈活性和思想本質的統領性。

問題4是問題3的變式——第二個方程從倍比關系變成相差關系。通過此題，學生能夠進一步感受到：使用代入法解二元一次方程組有時需要變形，而且比較靈活（代入任意一元都可以）；使用加減法有時更為便捷，而且比較靈活（相加、相減都可以），同時需要關注符號的問題。

課尾，筆者根據本課的知識點，結合前測題的完成情況，設計了一組練習題，幫助學生鞏固本課所學，同時也作為后測題，檢測學生的學習效果。練習（檢測）結果表明，學生學習效果良好。例如，“方程2x-3y=5，xy=3，x+3y=1，3x-y+2z=0，x2+y=6中，是二元一次方程的有（? ）

A.1個；B.2個；C.3個；D.4個”一題的正確率為100%，表明學生對二元一次方程的概念，特別是形如xy=a的方程是不是二元一次方程掌握良好?！叭魓=-1，

y=4是二元一次方程3x+ay=5的一組解，則a=??? ”一題的正確率接近100%，

表明學生對方程組解的概念理解深刻——能夠逆用。兩道解二元一次方程組的題目正確率都接近100%（個別做錯的學生都是因為計算出錯）；具體解答中，有學生采用代入消元法，有學生采用加減消元法，有學生消去x，有學生消去y。這表明學生對二元一次方程組的解法掌握良好，能夠在消元轉化思想的引領下靈活選用方法。