淺談初中數學教學中的反證法在解題中的應用

李慶芳

【摘要】本文以初中數學教學中的反證法應用為研究對象，通過具體的例子，闡述了反證法在初中數學教學中的應用.通過本文的研究，可以幫助教師更好地運用反證法來引導學生思考和解決數學問題，提高學生的數學思維能力和證明能力.

【關鍵詞】初中數學；反證法；教學方法

初中數學教學中，反證法是一種常用的證明方法.它通過假設所要證明的命題為假，然后推導出與已知事實或已證明命題矛盾的結論，從而證明所要證明的命題為真.反證法在數學教學中的應用可以培養學生的邏輯思維能力和推理能力，幫助學生更好地理解和應用數學定理和公式.

1? 反證法在初中數學教學中的具體應用

1.1? 基本命題即學科中的起始性命題

使用反證法進行證明的關鍵是要找到一個合適的假設，使得通過推導可以得到矛盾的結論.這通常需要一些洞察力和創造力.一旦找到了這個假設，就可以按照推理規則逐步推導，直到得到矛盾的結論.

例1? 證明“兩條直線同時平行于第三條直線，則原兩條直線互相平行”.

已知：AB∥EF，CD∥EF，

求證：AB∥CD.

證明? 假設AB與CD不平行，

則AB與CD相交于點P，

因為AB∥EF，即AP∥EF、CD∥EF即CP∥EF，

這與“過線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”的定理矛盾.

所以假設AB與CD不平行不成立，即AB與CD平行.

分析? 根據平行公理，如果兩條直線均與第三條直線平行，那么這兩條直線也是平行的.因此，根據已知條件，EF與AB平行，EF與CD平行，那么根據平行公理，AB與CD也應該是平行的.然而，根據題目的描述，過P點有兩條不一樣的直線與EF平行，這與AB與CD平行的結論相矛盾.因此，假設AB與CD不平行是不成立的.根據這個結論，可以得出以下推論：如果兩條直線與同一條直線平行，那么這兩條直線也是平行的.這個推論可以被看作是平行公理的一個特例，即當兩條直線與同一條直線平行時，它們也是平行的.綜上所述，可以得出結論：AB與CD不平行不成立.故AB∥CD.

小結? 讓學生知道這種類型的題目是不能直接通過證明來得出結論的，需要從問題的反面出發，證明假設是錯誤的.

1.2? 采取否定形式的命題

結論里有“不是”“沒有”“不存在”“不可能”等這樣否定形式的字眼的命題出現.

例2? 證明2不是有理數，即2是無理數.

證明? 假設2是有理數，那我們能找到自然數a和b，使得2=ab，

這里的a和b是互質的整數，對上式兩邊進行平方，得到a2=2b2，

因此，a2為偶數，所以，a也一定是偶數.于是，存在一個自然數c，

使得a=2c，則a2=4c2，則2c2=b2，

從而b2是偶數，因此b也是偶數.

由上得出a，b均為偶數與a，b互質矛盾，

所以我們一開始的假設是錯誤的，故2是無理數.

分析? 在證明是無理數的時候，直接證明2是無理數會讓人手足無措，于是，可以從假設根號2是有理數出發進行證明，結果肯定與原結論是矛盾的.

小結? 通過使用反證法，我們可以簡化解題過程，特別是在證明一個命題的否定形式時.在初中數學中，經常使用反證法證明一些關于整數的性質，這樣的證明過程可以幫助學生深入理解相關數學概念和性質，還可以幫助學生培養批判性思維和解決問題的能力.

1.3? 有關個數的命題

例3? 已知a，b，c都是正實數，求證：下列三個式子中至少有一個不小于2：

a+1c，c+1a.

證明? 不妨設三個式子a+1c，c+1a全部都小于2，

即a+1b<2，b+1c<2，c+1a<2

由于a，b，c是任意的正實數，

可以令a=b=c=5，

則有：a+1c=c+1a=5.2，顯然矛盾.

所以，假設不成立，故原命題成立，

即a+1c，c+1a中至少有一個不小于2.

分析? “三個式子中至少有一個不小于2”共有七種情況，雖然結論很顯然，但是證明起來困難又繁雜，而它的反面是“全都小于2”只有一種情況，因此可以選擇從反面進行證明，假設三個式子全都小于2，再來證明假設是錯誤的，原結論才得以成立.

小結? 由上述例題可以知道當遇到結論里包含“最多”“不少于”“至少”“至多”“唯一”等這樣的詞語命題時，可以從反面進行思考并分析問題，看看能不能使用反證法證題，這樣會簡便很多.

1.4? 有關角度的命題

例4? 在一個三角形中，至少有一個角大于或等于60°.

證明? 假設三角形三個內角都小于60°，則它們的和小于180°.但是根據三角形內角和定理，三角形三個內角的和必須等于180°，這與我們的假設相矛盾.因此，我們的假設是錯誤的.

根據反證法的結論，我們可以得出原命題“在一個三角形中，至少有一個角大于或等于60°”是正確的.

分析? 這個案例中，反證法的應用非常明顯.首先，我們假設了一個與已知條件相矛盾的結論（即三角形三個內角都小于60°）.然后，我們通過推理得出了矛盾的結果（即三角形內角和定理與假設相矛盾）.最后，我們得出了與假設相反的結論，從而證明了原命題的正確性.

小結? 反證法可以幫助我們更快地找到解題方法，提高解題效率和準確性.同時，反證法也是一種常用的數學證明方法，可以幫助我們培養邏輯思維能力和創造性思維能力.

2? 結語

反證法是數學推理中常用的一種方法，它通過假設所要證明的命題為假，然后推導出矛盾的結論，從而證明原命題為真.通過反證法，可以培養學生的邏輯思維能力，提高問題解決能力.在初中數學學習中，反證法可以用來證明一些關于方程和幾何圖形的性質.此外，反證法還可以幫助學生發現和解決一些難題.因此，在初中數學教學中，我們應該充分利用反證法這一有效的推理方法，幫助學生提高數學思維能力，培養解決問題的能力.

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