基于“做數(shù)學(xué)”的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究

李雅云　黃立紅

[摘? 要] “做數(shù)學(xué)”是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下通過(guò)操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和綜合實(shí)踐，形成系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而真正享受完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的一種學(xué)習(xí)方式. 有數(shù)據(jù)表明， “做數(shù)學(xué)”能促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí). 在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，學(xué)生積極主動(dòng)地參與了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程，因此，“做數(shù)學(xué)”有助于學(xué)生理解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、知識(shí)和方法，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性與積極性，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

[關(guān)鍵詞] “做數(shù)學(xué)”;初中數(shù)學(xué);教學(xué)實(shí)踐

問(wèn)題提出

一直以來(lái)，急功近利的數(shù)學(xué)教育觀念，致使義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)普遍存在過(guò)程形式化、目標(biāo)功利化的問(wèn)題，學(xué)生的感官在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中并未得到充分調(diào)動(dòng)，學(xué)生的思維并未得到充分激活，學(xué)生的情緒難以獲得正面輸出. 基于以上問(wèn)題，受到歐美廣泛推行的“hand-on”學(xué)習(xí)計(jì)劃的影響，以陶行知“教學(xué)做合一”和杜威“從做中學(xué)”的教育思想為理論基礎(chǔ)的“做數(shù)學(xué)”，越來(lái)越受數(shù)學(xué)教育工作者重視[1]. 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不該只是記、背、練、考數(shù)學(xué)，而應(yīng)該是“做數(shù)學(xué)”. “做數(shù)學(xué)”可以讓學(xué)生在“做”的過(guò)程中，經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程、豐富知識(shí)的表征方式、觸及知識(shí)的基本原理，有利于抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、可視化. 可見(jiàn)，“做數(shù)學(xué)”是促進(jìn)學(xué)生深度理解知識(shí)的重要學(xué)習(xí)方式. 因此，本文基于“做數(shù)學(xué)”的視角，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐闡述基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐的實(shí)效，從而打造基于“做數(shù)學(xué)”的課型范式.

理論基礎(chǔ)

1. “做數(shù)學(xué)”

“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和綜合實(shí)踐，在“做”的過(guò)程中積累豐富的直接經(jīng)驗(yàn)，在教師的有意識(shí)指導(dǎo)下自主歸納和總結(jié)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律，并進(jìn)行加工概括，將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)整理成數(shù)學(xué)公式或數(shù)學(xué)命題，力求形成系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，從而享受完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的一種學(xué)習(xí)方式. 在“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程，有助于理解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、知識(shí)和方法，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性與積極性，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn).

“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)過(guò)程如圖1所示.

2. 深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)致力于激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，通過(guò)設(shè)置引領(lǐng)性學(xué)習(xí)主題、挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)或活動(dòng)以及持續(xù)性的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)，吸引學(xué)生積極主動(dòng)地、全身心地投入學(xué)習(xí)活動(dòng)中，感受學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，體會(huì)學(xué)習(xí)的價(jià)值與意義，不斷生成成就感和效能感，進(jìn)而達(dá)到為理想和熱愛(ài)而學(xué)習(xí)的境界. 深度學(xué)習(xí)具備如下五個(gè)特征：活動(dòng)與體驗(yàn)，本質(zhì)與變式，聯(lián)想與結(jié)構(gòu)，遷移與創(chuàng)造，價(jià)值與評(píng)判. 研究認(rèn)為 “做數(shù)學(xué)”有利于促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，因?yàn)閷W(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中經(jīng)歷探究歷程，激活高階思維;貫通思想方法，掌握知識(shí)本質(zhì);順應(yīng)原有認(rèn)知，把握知識(shí)脈絡(luò). 進(jìn)而激發(fā)學(xué)生深層質(zhì)疑，發(fā)展深度思維，最終實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐實(shí)例

基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐主要是通過(guò)操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和綜合實(shí)踐來(lái)實(shí)現(xiàn)手腦協(xié)調(diào)、啟思明理的目的. 下面分別從操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和綜合實(shí)踐三個(gè)角度利用課堂實(shí)例（如表1所示）說(shuō)明平時(shí)初中數(shù)學(xué)教學(xué)如何設(shè)計(jì)基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué).

1. 操作體驗(yàn)

操作體驗(yàn)主要表現(xiàn)為通過(guò)具體的操作，使得數(shù)學(xué)概念或運(yùn)算法則具體化、形象化，為進(jìn)一步抽象概念或者提煉運(yùn)算法則奠定基礎(chǔ)[2]. 操作體驗(yàn)活動(dòng)能讓抽象可視化，能賦予抽象運(yùn)算直觀上的意義，從而激活創(chuàng)新意識(shí).

例如，教學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“三角形的內(nèi)角和公式”時(shí)，教師設(shè)置動(dòng)手操作環(huán)節(jié)：通過(guò)量一量、剪一剪、拼一拼、折疊等操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷三角形內(nèi)角和的探究過(guò)程;通過(guò)剪拼，將三個(gè)角拼成平角180°，從轉(zhuǎn)移兩個(gè)角（分為同側(cè)和異側(cè)兩種情況）到轉(zhuǎn)移三個(gè)角（可以轉(zhuǎn)移到三角形的內(nèi)部、外部和三角形的邊上），為學(xué)生證明三角形的內(nèi)角和定理提供證明思路，培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析、解決問(wèn)題的能力.

又如，教學(xué)七年級(jí)下冊(cè)“點(diǎn)、線、面、體”中的“認(rèn)識(shí)幾何體”時(shí)，教師設(shè)置了兩個(gè)觸感活動(dòng). 活動(dòng)1，袋子中裝有若干個(gè)幾何體模型，請(qǐng)學(xué)生從袋子里摸出指定的幾何體，并拿給其他同學(xué)看，看誰(shuí)找得快，并說(shuō)說(shuō)是怎么找到的. 活動(dòng)2，請(qǐng)兩名學(xué)生合作完成以下活動(dòng)：一名學(xué)生摸著一個(gè)幾何體模型，向另一名學(xué)生描述這個(gè)幾何體的特征（用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精準(zhǔn)且有條理地表達(dá)），另一名學(xué)生則根據(jù)描述說(shuō)出該幾何體的名稱. 兩名學(xué)生交替進(jìn)行此活動(dòng). 通過(guò)這兩個(gè)活動(dòng)，學(xué)生將觸感轉(zhuǎn)化為了數(shù)學(xué)語(yǔ)言，既有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

再如，教學(xué)八年級(jí)上冊(cè)“整式乘法運(yùn)算”時(shí)，教師讓學(xué)生自備若干正方形、長(zhǎng)方形，并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘法公式將圖形進(jìn)行分割、拼接——由數(shù)到形，接著利用正方形、長(zhǎng)方形拼湊出可證明乘法公式的圖形——由形到數(shù). 可見(jiàn)，設(shè)置活動(dòng)能讓抽象的數(shù)學(xué)公式可視化，能賦予抽象運(yùn)算直觀上的意義，從而激活學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

2. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)旨在通過(guò)操作探究、發(fā)現(xiàn)證明等方法來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，利用一定的數(shù)學(xué)工具（實(shí)物或幾何畫板軟件），通過(guò)動(dòng)手操作、觀察思考、歸納抽象等過(guò)程嘗試建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論，進(jìn)而探索數(shù)學(xué)規(guī)律，最終解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種學(xué)習(xí)方式.

例如，教學(xué)八年級(jí)下冊(cè)“一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時(shí)，教師通過(guò)軟件（幾何畫板）加密點(diǎn)，來(lái)猜想一次函數(shù)的圖象，使得教學(xué)過(guò)程更加直觀、明了;通過(guò)追蹤點(diǎn)，來(lái)驗(yàn)證對(duì)一次函數(shù)圖象的猜想. 可見(jiàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)茏寯?shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加直觀有效，有利于排除學(xué)生的思維障礙，有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加生動(dòng)有趣.

又如，教學(xué)“‘標(biāo)記法：池塘里有多少魚？”時(shí)，要解決這個(gè)問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考以下問(wèn)題：一個(gè)瓶子里裝滿了黃豆，請(qǐng)問(wèn)可以用什么方法估計(jì)出瓶子中豆子的數(shù)量. 為了解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生決定動(dòng)手實(shí)驗(yàn). 可見(jiàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軐⒃倦y以操作和實(shí)踐的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可操作、可視的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，且學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中可以重新認(rèn)識(shí)自己，并重構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu).

3. 綜合實(shí)踐

綜合實(shí)踐，即通過(guò)實(shí)踐、思考、運(yùn)用、解決問(wèn)題來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 綜合實(shí)踐是以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)與生活為核心的實(shí)踐性課程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，增強(qiáng)探究和創(chuàng)新意識(shí)，從而發(fā)展學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力. 綜合實(shí)踐是以實(shí)際問(wèn)題為載體，以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng). 學(xué)生在綜合實(shí)踐活動(dòng)中會(huì)充分調(diào)動(dòng)各個(gè)感官：動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，從而全身心地投入其中[3].

例如，教學(xué)九年級(jí)下冊(cè)“相似三角形的應(yīng)用”時(shí)，教師設(shè)計(jì)了“室外測(cè)量一棵大樹(shù)的高度”這一活動(dòng)，從課前工具準(zhǔn)備、現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際問(wèn)題解決以及數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用中，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被極大地激發(fā)了，這有助于學(xué)生理解和把握數(shù)學(xué)思想、知識(shí)和方法，能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

4. 以“圓周角定理”為例，設(shè)計(jì)基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐范例

“圓周角定理”的課程內(nèi)容是理解圓周角的概念，探索圓周角及圓周角所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角. 學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，教師進(jìn)行了一次問(wèn)卷調(diào)查，主要是調(diào)查學(xué)生更感興趣的課堂學(xué)習(xí)方式. 本調(diào)查選取的是×中學(xué)的450名九年級(jí)學(xué)生. 本次調(diào)查共發(fā)放問(wèn)卷450份，收回450份，有效問(wèn)卷435份，有效率約96.7%. 本次調(diào)查問(wèn)卷的內(nèi)容如圖2所示，結(jié)果如表2所示.

調(diào)查結(jié)果顯示，有58.3%的學(xué)生對(duì)第1題中的學(xué)習(xí)方式非常感興趣;有41.5%的學(xué)生對(duì)第2題中的學(xué)習(xí)方式非常感興趣;且對(duì)比第一題和第二題中的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生更傾向于同桌互動(dòng)這一學(xué)習(xí)方式. 有57.1%的學(xué)生對(duì)第3題中的學(xué)習(xí)方式非常感興趣，有61.5%的學(xué)生對(duì)第4題中的學(xué)習(xí)方式非常感興趣，可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)幾何畫板、自制教具等化靜態(tài)模型為可視化動(dòng)態(tài)模型的學(xué)習(xí)方式情有獨(dú)鐘.

于是，教師根據(jù)課程內(nèi)容及問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果，設(shè)置了基于“做數(shù)學(xué)”的四個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)（如表3所示）.

活動(dòng)1：“你說(shuō)我畫”操作體驗(yàn)活動(dòng)

“你說(shuō)我畫”活動(dòng)，即類比圓心角的定義給圓周角下定義：一名學(xué)生用自己的話描述什么是圓周角，另一名學(xué)生根據(jù)描述嘗試畫出反例，兩名學(xué)生在不斷糾正概念的過(guò)程中最終得到正確且簡(jiǎn)潔的圓周角定義. 通過(guò)動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口的操作體驗(yàn)，學(xué)生主動(dòng)參與圓周角概念的發(fā)生、發(fā)展和形成過(guò)程，對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解更加深刻.

活動(dòng)2：畫圖、度量等操作體驗(yàn)活動(dòng)

任取弧AB，畫出它所對(duì)的圓心角∠AOB和它所對(duì)的圓周角∠ACB. 觀察并測(cè)量∠ACB與∠AOB. 小組討論結(jié)果，并說(shuō)說(shuō)猜想. 教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)通過(guò)畫圖、觀察、度量、歸納等操作體驗(yàn)，去探究數(shù)量關(guān)系型問(wèn)題，在操作中感悟?qū)嵺`出真知. 通過(guò)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手參與操作、自主探索、大膽猜測(cè)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而形成解決數(shù)量關(guān)系型問(wèn)題的研究思路.

活動(dòng)3：（幾何畫板）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)

教師指導(dǎo)學(xué)生融合信息技術(shù)，借助幾何畫板軟件，動(dòng)態(tài)地展示一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角的數(shù)量關(guān)系，以驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想. 通過(guò)幾何畫板（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）來(lái)驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論，能使問(wèn)題更加形象、直觀，能培養(yǎng)學(xué)生的信息技術(shù)應(yīng)用意識(shí)，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

活動(dòng)4：操作體驗(yàn)活動(dòng)——使用自制圓周角模型教具觀察、思考

證明圓周角定理時(shí)，利用口罩繩及硬紙片自制圓周角模型教具，引導(dǎo)學(xué)生親自操作體驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)是可操作的、可視的. 學(xué)生在操作中觀察、研討、歸納，感悟證明圓周角定理的關(guān)鍵是分類討論思想，從而為圓周角定理的證明提供思路.

教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)過(guò)：“手和腦之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，手使腦得到發(fā)展，使它更加明智. ”因此，在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，如拼一拼、折一折、剪一剪、量一量、畫一畫，要給學(xué)生提供盡可能多的動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口機(jī)會(huì)，從而激發(fā)他們參與學(xué)習(xí)的興趣，使他們樂(lè)學(xué)、善學(xué).

價(jià)值與反思

基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐既是一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，也是學(xué)生進(jìn)行有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要途徑. 教學(xué)初中數(shù)學(xué)時(shí)，教師要認(rèn)識(shí)到“做數(shù)學(xué)”能夠優(yōu)化數(shù)學(xué)探究，使問(wèn)題得到解決，并促進(jìn)深度學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn). 基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐的顯著價(jià)值在于，能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，能推進(jìn)教與學(xué)方式的改革.

1. 培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神

教師常常因自己對(duì)學(xué)生心理認(rèn)知的缺失而低估學(xué)生的創(chuàng)造力，并會(huì)在無(wú)意間扼殺學(xué)生探索新事物的興趣和熱情的天性. 在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中，教師設(shè)計(jì)的一系列動(dòng)眼觀察、動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考的實(shí)踐活動(dòng)，能引導(dǎo)學(xué)生自主獲取所需的“事實(shí)”（基本概念），進(jìn)一步領(lǐng)悟概念的本質(zhì);“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程能延長(zhǎng)知識(shí)的獲得過(guò)程，能給學(xué)生提供足夠多的感悟知識(shí)的時(shí)間和空間，從而讓學(xué)生獲得“如何思考”的智慧. 特別是處于基礎(chǔ)地位的概念、原理的學(xué)習(xí)，更強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”來(lái)獲得親身感悟，從而經(jīng)歷“感知—感悟—知識(shí)”的過(guò)程，使得學(xué)生最終獲得的不只是知識(shí)，還有智慧[4]. 因此，基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐有助于培養(yǎng)學(xué)生的綜合實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.

2. 推進(jìn)教與學(xué)方式的改革

基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐是一種體驗(yàn)式學(xué)習(xí)方式，學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中可以獲得抽象數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理的直接體驗(yàn). 通過(guò)“做數(shù)學(xué)”，學(xué)生不僅經(jīng)歷了數(shù)學(xué)對(duì)象的要素、數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵的抽象過(guò)程，數(shù)學(xué)法則、性質(zhì)、定理、公式等的歸納和發(fā)現(xiàn)過(guò)程，而且會(huì)產(chǎn)生“如何研究”“如何發(fā)現(xiàn)”的方法論感悟. “做數(shù)學(xué)”改變了傳統(tǒng)的接受式學(xué)習(xí)方式，同時(shí)對(duì)教師的教學(xué)方式提出了極大的挑戰(zhàn)，所以教師要改變以往“滿堂灌”的教學(xué)方式，要重在引領(lǐng)，做一位合格的領(lǐng)路人. 因此，基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實(shí)踐能推進(jìn)教與學(xué)方式的改革，能使數(shù)學(xué)知識(shí)成為學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，并有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟[4]，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍. “做數(shù)學(xué)”的育人價(jià)值探討[J]. 教育研究與評(píng)論，2021（03）：27-29.

[2]章建躍. 課程改革呼喚數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[J]. 江蘇教育，2017（27）：18.

[3]郭慶松. 做數(shù)學(xué)：思想淵源與課程實(shí)施[J]. 教育研究與評(píng)論，2022（02）：38-43.

[4]郭慶松. 在“做數(shù)學(xué)”中促進(jìn)深度理解[J]. 教育研究與評(píng)論，2021（03）：30-35.

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“基于‘做數(shù)學(xué)的初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)教學(xué)實(shí)踐研究”（FJJKZX22-295）.

作者簡(jiǎn)介：李雅云（1988—），碩士研究生，一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究工作.