《線性代數》的教學反思與實踐探索

余躍玉,唐海軍

（四川文理學院數學學院,四川達州635000）

線性代數作為經典的數學課程之一,既是多個理工學科專業后繼知識學習的基礎課程,更是自然科學和社會科學的基本語言.其理論的高度抽象性、邏輯的嚴謹性以及解題方法的靈活多變性等特點,彰顯了線性代數在培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力和實際應用能力等方面具有不可替代的作用.［1-3］在學科發展的新挑戰下,如何打造《線性代數》一流課程,提高學生在教學中的參與度,改進和豐富學生的思維能力,激勵并調動學生的學習興趣,成了高等教育教師必須亟待認真思考和探索解決的問題.本文將通過對傳統教學的問題分析,探討線性代數的教改理念及具體的改革措施,并通過實踐教學驗證教學改革的新成效,提出后期完善改革舉措的一些思考.

1 線性代數教學中的存在的普遍問題

線性代數作為大學數學中的一門重要課程,由于高度的抽象性和解題思路的靈活性,容易挫敗學生的學習自信心,如果不進行教學改革,學生會感覺課程內容枯燥,教師會深感教學任務繁重,難以完成教學任務.具體體現在以下五個方面:

1.1 教學是對教師工作時間安排的新挑戰

我國高校線性代數課程主要有包括行列式、矩陣、線性方程組、二次型和線性空間五部分,存在的主要問題是內容枯燥陳舊、缺乏深度和挑戰度.如向量組的線性相關性及其極大線性無關組的問題,從學生角度來看,他們往往不知道相關性有何意義,對概念的掌握只停留在表皮,難以達到靈活運用的目標；從高校教師的角度來看,要想達到教學目標,不僅要重視基本概念的講解,更有注重知識的應用引導.這要求教師不斷學習補充新知,進行自我塑造、自我提升并超越教材,在課程內容上下功夫,對教學內容做出高度的聚焦、凝練、挖掘,精心選擇不同的教學方法和模式組織教學.教師應集“編、導、演”于一身,在豐富的教學實踐中有效落實知識傳授、能力培養和價值塑造“三位一體”育人理念.［4］

然而,教師們為了職稱能上一個新臺階,不得不加重科研精力的投入,削減教學時間的傾注,按單一的教學模式,只注重對知識點的呈現,而忽略了對知識凝結過程、科學發現過程的探究,無法在課堂上將學科發展前沿與學生共享.為此,大家普遍認為教學改革改到深處是“課程”,改到痛處是“教師”.［5］

1.2 過程管理無法滿足時代發展的要求

線性代數課程研究對象是客觀世界的自然規律,它超越語言障礙和文化環境,具有通適性以及高度的抽象性.線性代數的教學要求準確、客觀、嚴謹.傳統的教學過程管理中,課程教學一方面必須嚴格按照教學大綱、人才培養方案,完成線性代數的基本概念和理論、運算方法和技巧的教學內容；另一方面,很多高校為了增加實踐教育和創新創業教育的比重,對線性代數等基礎課程的教學時長進行了縮減.面對教學中的這種矛盾問題,如果不對教學課程進行改革,教師的教學將只能擱淺在完成基本概念、定理和性質的傳授層面,學生的學習最多也只能停留在對基礎知識的認知層面,難以達成學生自主學習和創新能力的培養目標.［6］

1.3 教學方式缺乏吸引力,學生學習投入度低

由于線性代數具有高度抽象性和思維的多元化的特點,如果教師采用傳統課堂教學,按部就班地講解定義、證明性質定理、傳授計算方法等基本知識點,而忽視定義、定理的來源分析,學生將不知為何要學；不去理清課本各個內容之間的基本脈絡,不去提煉出隱藏在背后的數學思想方法,［7］學生將難以理解矩陣與行列式、矩陣與線性方程組、矩陣與二次型及矩陣與變換之間的聯系,難以靈活應用這些聯系解決綜合問題.部分學生會感覺線性代數內容龐雜,知識點分散,基本概念和主要定理難以理解,代數問題的矩陣呈現神秘莫測,會使大量學生認為線性代數聽起來簡單,但做題就難,學習的吃力與練習中的挫敗會使學生逐步失去學習的興趣,自然而然的會減少對學習的投入.

1.4 教學評價重知識記憶,輕能力與素養

學分制教學改革中,線性代數教學時數被大量壓縮,有的專業每周只有2節,總課時不超過32學時,但在減少課程總學時數的同時,卻未對教學內容做大的刪減,導致教師不敢增加課程的挑戰度,無法利用有限的課堂時間進行學情測試,唯有通過期末閉卷考試來考查學生對基本概念、性質定理及基本計算的掌握情況,很難綜合評價學生的數學思維的創新情況以及運用線性代數解決問題的真實能力.

1.5 缺乏跨課程設計,對后繼課程支撐度低

線性代數傳統課程教學中,教師們傾向于圍繞線性代數的內在邏輯,在課程教學領域內畫地為牢.責任心強的老師表現出精心的設計教學活動,耐心的開展課后輔導,認真的批改作業,一門心思教授學生行列式、矩陣、線性方程組等知識.但他們卻很少有人立足于專業培養的目標上,思考如何兼顧或整合其他課程內容,如何將線性代數的知識貫穿到學生的專業學習中,如何將其他課程的思想方法運用到線性代數的學習中.缺乏跨課程設計將導致學生在完成學業后根本無法將所學知識點串聯在一起,直接影響學生對后繼課程的進一步探索.

2 線性代數教學改革的理念

針對線性代數課程教育教學中存在的問題,項目組將從知識和理解、技能和技巧、創新和發展等三個方面出發,建構以培養學生數學素養為目標的《線性代數》課程新理念,具體體現如下:

2.1 打造以學生為本,知識、能力、素質協調發展的理念

線性代數課程分理工類、經管類、文科類等,針對不同學科不同專業的具體人才培養方案與培養目標,其專業需求不同,教學重心也會有所不同.為了打造一流課程,教師必須堅持以學生為中心,以需求為導向,分門別類的進行課程教學設計,建立以立德樹人為根本任務的教學目標.教學理念應注重基本概念、性質定理、計算方法和技巧的傳授；注重數學思想、數學方法的融入,培養學生的抽象思維能力、邏輯思維能力,及分析解決問題的綜合能力；引領學生開展課程思政、創新創業活動,塑造學生正確的價值觀和優秀的科學素養.

2.2 理論教學、實驗教學、實踐應用相結合

線性代數教學改革需要大力調整優化課程的教學計劃,科學構建在線開放課程與課堂教學相結合,理論教學、實驗教學、實踐應用相結合的課程體系.課堂理論教學講解傳授線性代數的基礎知識,有利于提高教學效率,減少學生在自主探究學習時走彎路的時間成本,體現了教師在教學中的主導性.但線性代數從行列式、矩陣線性方程組到特征值等問題,單一的PPT 加板書的教學方法,更多的是突出了計算技巧、方法應用的講解以及學生的練習鞏固,易造成課堂知識容納量有限且效率低下,難以實現所有的教學目標,難以滿足所有學生的個性化學習需求,難以多維度啟發學生的創新思維.計算機與網絡高度發展的今天,如果教師在教學過程中借助各種數學軟件,讓學生親手操作復雜問題的數學實驗,或者通過多媒體實驗視頻的直觀展示,構建“理論+實驗+實踐”的教學設計形式,將可讓重復冗雜的計算變得快速高效,抽象復雜的理論變得直觀簡單,有效提高學生的學習探究效率.

2.3 以專業發展為導向,將科技前沿成果引入課程教學

建設一流課程必須提高認識,高等教育的課程教學應該根據不同專業的人才培養方案,及其畢業生的未來走向,超越教材、超越大綱,以相應專業的學術前沿為標桿,敏銳捕捉相關專業前沿的科技成果信息,深入挖掘線性代數知識點本身與這些科技發展前沿成果的結合點,鼓勵、引導學生自己去發現問題,并以“問題”激發學生的求知欲望,點燃學生的學術理想,將學生的課程學習真正引入深度學習的層次.

3 探索線性代數的教學改革策略

為實現培養學生數學素養的教學改革理念,項目組提出了如下三個方面的教學改革策略:

3.1 培養學生對線性代數的好奇心和興趣

為了培養學生對線性代數的學習興趣,教師可以利用課堂介紹線性代數中的知識點的來龍去脈,了解各個知識點之間的聯系,如行列式的教學中引入行列式的發展史,不僅能讓學生了解行列式在線性方程組的求解中起著重要的作用,而且能讓學生在學習范德蒙行列式、克拉默法則時會有一種親切感,課后再讓學生探討二階、三階、n 階行列式的幾何性質,使學生從感官上進一步感受到行列式的魅力所在.又如復雜且抽象的特征值問題,可以讓學生觀看視頻,了解人臉識別技術的實質就是矩陣的特征問題,手機照相的美圖功能.此外,戰爭年代的信息加密與解密問題等實際上都可歸結于矩陣的變換問題.這些能讓學生感覺到線性代數的理論并不那么神秘,線性代數的應用已廣泛地分布在大家的生活之中.這些有趣的案例將有利于激發學生的學習好奇心,提升學習線性代數的興趣,這將是線性代數教學工作的一個重要目標.

3.2 合理分配教學時間,積極改進教學方法

為了解決線性代數課時少、任務重的矛盾,一流課程建設中必須合理分配教學時間,大膽壓縮內容枯燥,方法單一的灌輸式教學時長,每節課預留10分鐘時間來讓學生進行討論,每周設計一些問題（也鼓勵學生提供一些相關問題）供學生思考和研究,充分信任學生的獨立思考和交流互動的能力,積極引進形式多樣的教學模式,改變學生學習的依賴性,提升學生的探索知識和獨立解決問題的能力.下面,給出三種實用可行的教學方法:

3.2.1 研究性教與學

大學教育的目的是培養學生發現問題、分析問題和解決問題的能力.開展研究性的教與學,目的就是要充分發揮教師的主導作用和學生的主體能動性.這需要教師熟練掌握教學內容,精心設計布局,激勵學生發現問題,引導學生利用線性代數基礎理論去分析問題,并最終解決問題,也可讓學生加入教師的研究工作中,增進師生互動,共同營造和諧、輕松的教與學的環境,以激發學生的學習興趣和主動探索意識.

讓學生帶著問題去預習新知識,以問題啟發學生分析、研究矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關系,思考探索初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法,并把這種方法運用到系數矩陣可逆的線性方程組的求解、部分矩陣方程的求解問題上.有了這種研究式教與學的過程,有限時長的課堂教學將變得輕松從容,教師只需在課堂上隨機抽樣檢查一下學生的預習效果,根據學生自學中存在著比較集中的問題,進行詳細的講解分析,做好課程輔導和答疑工作；給出一些有關初等變換與初等矩陣乘積關系的實例,引導學生選擇分析其中的矩陣變換過程、順序及其與初等矩陣的乘積的正確表達方式；鼓勵學生走上講臺,講解教材作業等.

通過循序漸進的提出問題,分析問題,解決問題的過程,教會學生學習知識、研究問題的辦法,不僅能夠吸引學生的注意力,激發學生的學習興趣和求知欲,更能增強學生學習的自信心和成就感,提高學生獨立思考和自主學習的能力,提升學生數學思維能力和基本的數學素養.

3.2.2 合作性學與探

傳統的線性代數教學重理論輕應用,過分追求知識的系統性與嚴密性,忽略學生的理解力這一重要因素,導致學生的問題越積越多,學習興趣漸漸喪失,課程考試通過率降低等現象.如何增強學生的理解力,提高學習的效率呢？

從認知發展理論上看,學生要想真正理解線性代數,除了認真聽課,積極思考以外,更重要的是學生內化吸收的過程,這就需要學生花更多的時間去思考、討論、鞏固和拓展.學生的內化吸收是一個反復的過程,每個人內化吸收的速度和方式也是不同的,所以教師在講授與小組合作學習之間要留出充足的時間,讓學生消化和吸收當堂課程知識.為此,教師可以將教學班級的學生分成幾個學習小組,每周給學習小組安排一些討論課題,或者其他合作學習的任務,讓學生利用課外共同學習或相互討論,相互評判,取長補短,可以使大家的學習效果大幅度的提升.通過小組集體對這些案例的討論分析,給出唯一或者無窮多種解決問題的方案,加上課堂中的適當引導,學生會自然地歸結出線性相關的性質及相關性的判別方法,這不僅讓抽象的難題變得觸手可及,同時也使學生親歷了實際問題的發現、分析和解決過程,讓他們在今后的工作中臨危不懼.

3.2.3 項目式學與研

項目式教學是指在教師的引導下,把教學過程分解為一個個具體的工程或事件,設計出一個個項目教學方案,按項目要求設計教學思路.如,在教師的教學科研項目研究中,可以將學生作為項目成員,將其中與課程有關的項目交與學生自己去處理,在問題解決過程中包括信息的收集整理、研究方案的設計、項目的實施和評價都由學生自己負責,提高學生學習和研討的積極性.當然,教師也可以參與指導學生項目,教會學生利用數學建模的方法,將實際問題通過一些必要的簡化假設,轉化為數學模型,如果該模型是非線性的,學生可以試著對它進行線性化,然后利用線性代數的知識去分析求解,最后將所得結果加以實驗驗證,得出項目結論的有效性的評價,并作出相應的改進與優化.項目教學法的顯著特點是以項目為主線,學生為主體,教師為引導,師生共同完成,共同取得進步的教學方法.［8-9］這種教學法周期短見效快,目標明確,具有可控性,可以最大限度地調動學生探究真理和尋求方法的積極性,有利于加強學生的自學能力的提高,創新能力的培養.

3.3 合理完善的考核評價體系

學期考評是檢驗學生對該門課程掌握程度、以及利用該課程的理論解決實際問題能力的一個重要方法,合理完善的考核評價體系應當以學生為中心,從學習動機、學習態度、學習時間投入、學習能力等主觀因素,以及教師的教學水平、學校的學習條件、環境、管理和服務等客觀因素去設立標準,［8］不僅要對學生所獲知識和技能等顯性能力進行評價,更要對學習的態度、習慣、方法和能力等隱性因素進行評估.

合理完善的考核評價體系應該是多元化的,可以依據學生對學習的投入度、教師對學生的影響度、學校對學生的支持度和學生自身的學習獲得度等四個維度去設定.在線性代數教學中,教師可以從課堂出勤、課堂表現、課后作業、課外主題討論成果和期末考試等方面,全方位評價學生的學習態度與能力,可以適當改變考試考核評價體系,加大平時成績占比,特別是要突出研究性合作學習的分值,能極大地調動學生參與教學的積極性,激活學生的內在綜合能力,培養他們綜合運用所學知識分析和解決問題的能力,從而實現線性代數課程的教學目標.

4 成果與展望

通過問卷調查和期末考試成績兩個方面,項目組對比了教學改革前后兩個年級的同一專業學生的線性代數學習效果表明:改革后的教學模式明顯提高了學生上課時的抬頭率,獨立完成作業及不斷修改完善作業的積極性明顯高漲,激發了學生合作學習、研究討論的激情.新的教學模式在課堂教學效果、學習興趣、學習目標培養等方面都更有優勢,期末考試平均成績也較改革前有了大幅度的提高,進一步印證了教學改革的有效性.

線性代數教學改革取得的成效是顯著的,但改革的過程中也出現了一些新的問題需要研究者繼續思考,不斷完善.如隨著學生對線性代數學習的積極性的提高,學生提出的問題也越來越多,為了及時解答學生的疑問,教師們需要付出更多的時間和精力.為此,項目組將同一專業不同年級的學生以QQ 群聚合在一起,學生與學生之間進行傳幫帶,高年級的學生通過幫扶師弟師妹的同時,也可提升自己對知識的深加工,有效的提高了學生合作學習的效果.再如,由于學生學習興趣的高漲,大量學生對自己在作業、測試中出現的錯誤都積極主動地提出了打回重做的申請,通過教師的多次輔導和學生自己的持續改進,大部分同學都能達到優良等級的成績,導致學生的最終成績整體區分度不夠明顯.

線性代數的教學改革是一項長期的、艱巨的工程,這需要教師持之以恒的投入改革的熱情、敏銳的洞察力和創造力,不斷的反思教改過程中出現的新問題,挑戰課程改革的新高度,精心打造高水平的一流課程；還需教師團隊緊跟科研動態,持續關注線性代數知識在各行各業知識的應用,并充分利用網絡資源持續性探索更好的教學改革途徑,為培養創新型人才打下一定的數學基礎.