核心素養(yǎng)導(dǎo)向下基于“數(shù)學(xué)思維”發(fā)展的教學(xué)實踐與探索

［ 摘 要 ］數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).文章以“軸對稱視角下線段和的最小值”的教學(xué)為例，從“情境創(chuàng)設(shè)，初步喚醒思維”“明晰任務(wù)，逐層拔高思維”“延伸拓展，開闊數(shù)學(xué)思維”“總結(jié)歸納，完善思維結(jié)構(gòu)”四個方面展開研究.

［ 關(guān)鍵詞 ］思維；核心素養(yǎng)；教學(xué)

數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，對培育學(xué)生的思維具有重要價值.逐層遞進(jìn)的問題序列，以及層次清晰的探究活動是推動學(xué)生思維發(fā)展的支點.隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下文簡稱新課標(biāo)）的落地，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“在解決低階問題過程中所形成的思維去解決高階問題”成為眾多教師競相探討的熱點話題，此為拔高學(xué)生思維的重要舉措.“軸對稱視角下線段和的最小值”問題比較抽象，學(xué)生需在教師的引導(dǎo)下展開探究.本節(jié)課教學(xué)旨在提升學(xué)生的思維能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

教學(xué)過程設(shè)計

1.情境創(chuàng)設(shè)，初步喚醒思維

情境1 如圖1，小明從家出發(fā)到學(xué)校一共有三條路可以走，請問他走哪條路更近一些？理由是什么？

情境2 如圖2，某廠家準(zhǔn)備將污水從 A 處引到污水處理容器 PQ中，該怎樣鋪設(shè)排水管道最節(jié)省材料？嘗試將管道路線在圖中標(biāo)注出來，并闡明原因.

分析 上述兩個情境與學(xué)生的生活以及教學(xué)內(nèi)容都相關(guān)，如此設(shè)計可激活學(xué)生既有的部分認(rèn)知，增強(qiáng)他們對生活與數(shù)學(xué)事實之間聯(lián)系的感知，為接下來的深入探索提供素材 . 情境 1 能有效激發(fā)學(xué)生的意識，使他們深刻理解“兩點間線段最短”的幾何原理，從而為后續(xù)探索“最小值”問題奠定堅實的基礎(chǔ).對于情境 2，過點 A 作 PQ 的垂線，垂足為B，所獲得的線段 AB 即該情境的解.此設(shè)計旨在深化學(xué)生對點到直線距離最短問題的理解.這兩個情境均為知識的生長點，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與理性精神具有重要意義.

2.明晰任務(wù)，逐層拔高思維

基于任務(wù)驅(qū)動展開課堂教學(xué)，可增進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)與協(xié)同合作的效率.學(xué)生帶著明確的目的去探索課堂教學(xué)內(nèi)容，不僅能保持原有的探索興趣，還能進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī).本節(jié)課主要借助“兩點間線段最短”這一核心理念探索“飲牛”問題，學(xué)生的思維可在各個模型的探索與構(gòu)建中螺旋式上升.

（1） 根據(jù)直線兩側(cè)的兩定點探尋一動點

如圖 3，已知 A，B 兩地之間有一條河流，牧童牽著牛由 A 地出發(fā)，到河邊飲水，而后將牛牽至 B 地，請幫他設(shè)計一條最短的路線，并說明理由.

本題可將 A，B 兩地視為位于直線 l 兩側(cè)的兩個定點，想要探尋直線l 上與這兩點距離最近的位置，僅需依據(jù)“兩點間線段最短”這一定理連接 AB ，與直線 l 的交點 P 就是所求的答案（見圖4）.

（2）借助類比分析法選址造橋接著上一個問題，若河流的寬度為 a 米，想在這條河面上建一座橋，保持橋面與河岸為垂直關(guān)系，牧童同樣從 A 地出發(fā)，牛飲完水后去往 B 地.將橋建在什么位置，可使牧童的行程最短？

要求學(xué)生先憑借想象畫出簡明的圖示，隨后再進(jìn)行深入的分析.如圖 5，根據(jù)題設(shè)條件明確本題旨在探索如何使 AC + DC + BD 的值最小 . 鑒于 DC = a 為定值，故本題求的是 AC + BD 的最小值.類比將河流理 解 為 直 線 的 模 型 ， 需 將 線 段AC，BD 拆解并重新組合.忽略河寬，只需將河岸一側(cè)的線段直接平移，使之與對岸線段無縫對接即可.平移過程可借助幾何畫板來演示，將點A 平移至點 A 1 處，形成的圖形與圖4類似.此時要探索的是點 A 1 與點 B 之間的最短距離.

設(shè)計意圖 從根本上而言，此問旨在深化學(xué)生對“基于直線兩側(cè)固定點，探索直線上移動點，并通過線段和求解最小值”這一策略的領(lǐng)悟 . 在探索過程中，學(xué)生體驗了“平移不變量”的奧秘，并掌握了聚攏與分散線條策略的實際運(yùn)用.這一過程猶如一把鑰匙，為學(xué)生打開了思維的大門，進(jìn)一步充實并強(qiáng)化了他們的直觀想象能力.

（3） 由直線同側(cè)的兩定點探尋一動點

如圖 6，已知 A，B 兩地位于河流（直線 l ）的同一側(cè)，牧童準(zhǔn)備由A 地出發(fā)到河邊飲牛，而后去往 B地，請在河流 （直線 l ） 上找一點P ，使牧童飲牛的行程最短.

如圖 7，作點 A 關(guān)于直線 l 對稱的點 A' ，連接 BA' 與直線 l 相交于點P .基于軸對稱的性質(zhì)可知 AP = A'P ，則 AP + BP = A'B .另外，再取點 P' ，分別連接 AP'，BP' .同樣基于軸對稱的 性 質(zhì) 可 知 AP' = A'P' ， 則 AP' +BP' = A'P' + P'B . 顯 然 ， A'P + BP最小.

分析 解決此問題主要運(yùn)用了“作軸對稱，拉直線段”的方法，解題精髓在于“兩點間線段最短”的原理.學(xué)生在具體明確的任務(wù)中深入探索，借助變式應(yīng)用與類比思想的雙重助力，自主提煉出數(shù)學(xué)模型，為數(shù)學(xué)思維的全面發(fā)展注入了強(qiáng)勁動力.

3.延伸拓展，開闊數(shù)學(xué)思維

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)，在注重學(xué)生知識與技能扎實掌握的同時，尤為強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)思維的啟迪、思想方法的引導(dǎo)以及價值觀的塑造.想要利用課堂激活學(xué)生的思維，發(fā)揮學(xué)生思維的創(chuàng)造性，教師可基于學(xué)生客觀存在的差異性，實施恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與點撥，旨在拓寬學(xué)生的視野，強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.例題的應(yīng)用，可達(dá)成這一目標(biāo).

例 1 如圖 8，若 ∠AOB 內(nèi)拴著一頭牛，牧童準(zhǔn)備先將牛牽到 OB 處吃草，而后再牽到 OA 處飲水，最后返回到 P 處，如何設(shè)計行程可使牧童行走的路程最短？

此例同樣需要引導(dǎo)學(xué)生畫出行程圖，并聯(lián)系課堂所學(xué)的探索方法，通過作軸對稱來拉直線段，再結(jié)合“兩點間線段距離最短”這一核心理念展開剖析，從翻折中探尋問題的解答路徑（過程略）.

例2 如圖9，已知 △ABC 為銳角三角形，且 AB＜AC ， AD 為 ∠BAC的平分線，與 BC 邊相交于點 D ，點M，N 分別為線段 AD，AB 上的動點，則 MB + MN 的最小值是多少？

本題難度略有增加，同樣需要學(xué)生畫出草圖，展開分析.在解決此題的過程中，學(xué)生展現(xiàn)了兩種解題思路：第一種，作點 B 關(guān)于 AD 對稱的點 B' ；第二種，預(yù)設(shè)點 N ，作點 N 關(guān)于 AD 對稱的點 N' .這兩種思路都立足于“角平分線的對稱性”這一原理，均可探尋到問題的答案.學(xué)生親歷解題過程，一致認(rèn)為第一種思路更簡便，因為第二種思路中的預(yù)設(shè)點 N 為動點，其位置不確定，給解題過程增添了不必要的困擾與復(fù)雜性.值得注意的是，在作對稱點時，需關(guān)注“垂線段最短”這一定理.

分析 上述兩道例題所涉及的元素相當(dāng)多，若想讓學(xué)生獨(dú)立完成，確實存在較大障礙.為此，教師引導(dǎo)學(xué)生先結(jié)合題設(shè)條件在草稿紙上畫出草圖，再根據(jù)本節(jié)課的核心知識點“垂線段最短”和“兩點間線段最短”展開探究，將未知的問題轉(zhuǎn)化為認(rèn)知范圍內(nèi)的模型.這種基于現(xiàn)象挖掘本質(zhì)的教學(xué)模式，不僅能促使學(xué)生順利解決問題，還能提升學(xué)生的思維層次.

4.總結(jié)歸納，完善思維結(jié)構(gòu)

學(xué)生在本節(jié)課親歷了動手操作、直觀想象與邏輯推理等過程，不僅自主探尋到解決問題常用的方法，還在解題過程中自主抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，為構(gòu)建普遍適用的解題策略奠定了堅實的基礎(chǔ).同時，課堂還涉及數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、類比分析等思想方法，這些思想方法是促進(jìn)學(xué)生思維長遠(yuǎn)發(fā)展的根本.課堂尾聲，教師要求學(xué)生自主歸納本節(jié)課的核心知識點、思想方法等，并構(gòu)建思維導(dǎo)圖.

在這個問題的驅(qū)動下，學(xué)生自主總結(jié)解決此類問題的基本方法：若兩個定點位于直線的同側(cè)，不論已知條件與未知條件怎么轉(zhuǎn)換，均可借助軸對稱的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為兩定點分別位于直線兩側(cè)的情況進(jìn)行分析（具體思維過程見圖10）.

分析 課堂教學(xué)過程的回顧、梳理與總結(jié)，促使學(xué)生學(xué)會從整體的視角來觀察與分析問題，并能基于不同的維度對教學(xué)過程進(jìn)行反思與提煉.構(gòu)建思維導(dǎo)圖，學(xué)生不僅能夠獲得結(jié)構(gòu)化的思維方式，還能顯著提升自身的總結(jié)能力，并提煉出數(shù)學(xué)思想方法.這為學(xué)生增進(jìn)學(xué)力、發(fā)展核心素養(yǎng)奠定了堅實的基礎(chǔ).幾點感悟

1.問題導(dǎo)向可促進(jìn)思維的生成問題對于一節(jié)數(shù)學(xué)課來說具有舉足輕重的作用，學(xué)生的思維常在問題的驅(qū)動下發(fā)展.教師在課堂上結(jié)合學(xué)情與教情，精心設(shè)計問題情境，不僅能拉近學(xué)生與探究內(nèi)容的距離，還能促使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，為發(fā)展概括與抽象能力夯實基礎(chǔ).學(xué)生在課堂中的思維廣度、靈敏度以及深度，都可體現(xiàn)在數(shù)學(xué)概括上.因此，借助課堂訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與概括能力是發(fā)展思維的基本途徑.新課標(biāo)著重強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生親歷“數(shù)學(xué)化”的過程，這要求教師在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上加強(qiáng)探究性引導(dǎo)的強(qiáng)度，以規(guī)避低效重復(fù)且缺乏教育價值的教學(xué).

本節(jié)課，教師在課堂上提出的問題數(shù)量并不多，但每一個問題都承載著至關(guān)重要的作用.例如課堂伊始，借助低起點的問題引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，并將生活實際抽象為數(shù)學(xué)問題.隨著問題的逐步浮現(xiàn)，難度層層加碼，學(xué)生的思維緊隨著問題的深入剖析而逐級攀登.課堂尾聲，鼓勵學(xué)生對課堂教學(xué)活動進(jìn)行歸納總結(jié)，凸顯了數(shù)學(xué)抽象概括的意義，此為思維的升華過程，對學(xué)力的發(fā)展具有重要意義.

2.搭建探究框架可完善學(xué)生的思維

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用規(guī)范的語言描述數(shù)學(xué)現(xiàn)象、定義或模型等，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從一類題的解決中提煉一般性的解題方法，并理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.帶領(lǐng)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，觀察問題背后的共性特征，不僅能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)抽象的一致性產(chǎn)生深刻理解，還能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力，聚合思維，為培育核心素養(yǎng)夯實基礎(chǔ).

本節(jié)課探究的每一個問題都離不開兩個核心原理，即“兩點間線段最短”“垂線段最短”.在這兩個核心原理的引領(lǐng)下，學(xué)生通過畫圖、思考與總結(jié)，不僅成功抽象出了多個數(shù)學(xué)模型，還深入提煉了數(shù)學(xué)思想方法與解題技巧.這充分說明，教師在課前精心構(gòu)建的探究框架，對于提升課堂教學(xué)效率具有顯著作用，并且能夠有效地促進(jìn)學(xué)生思維的完善與發(fā)展.

3.打開思維束縛可凸顯教學(xué)智慧

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教學(xué)，注重從整體視角及多維度引導(dǎo)學(xué)生理解知識間的聯(lián)系，并能從實例中明確推理規(guī)則.這要求教師為學(xué)生構(gòu)建自主探索的平臺，采用多樣化的教學(xué)方法激發(fā)學(xué)生從不同角度深入思考與探索問題，從而有效避免照本宣科的教學(xué)模式.

本節(jié)課，雖然核心問題是由教師提出來的，但對問題的思考與探索，都由學(xué)生自主完成.教師在適當(dāng)?shù)臅r候加以點撥，以進(jìn)一步開發(fā)學(xué)生的思維，避免出現(xiàn)鉆牛角尖的情況.例如例2的探索，教師給予學(xué)生充足的時間與空間，使他們自主探尋出了兩種解題思路，經(jīng)類比分析發(fā)現(xiàn)第一種思路更簡便.整個教學(xué)過程是在自由、民主的課堂氛圍中展開的，這充分體現(xiàn)，在打破思維束縛之后，學(xué)生的思維寬度與深度均得到了顯著的拓展與深化.

數(shù)學(xué)是思維的體操，教師應(yīng)將思維的發(fā)展作為教學(xué)目標(biāo)之一.讓學(xué)生在課堂中扎實掌握基礎(chǔ)知識與技能，學(xué)會有效思考問題的策略，并培育出堅定的理性精神，這不僅是新課標(biāo)對教師提出的明確要求，也是核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù).