搭建適切支架 優化通性通法 培養批判性思維

［摘 要］文章以一道“平面向量數量積”習題為例，具體闡述如何通過搭建適切的問題支架、工具支架和活動支架等來優化通性通法，從而培養學生的批判性思維。

［關鍵詞］適切支架；通性通法；批判性思維

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）35-0010-06

羅增儒教授認為“數學思維問題是數學教育的核心問題”[1]。斯托利亞爾在其著作《數學教育學》中指出：數學教學是數學（思維）活動的教學。他在列舉數學教育目的時，把發展學生的數學思維放在第一位[2]。波利亞指出：“中學數學教學首要的任務就是加強解題訓練。”他還有一句名言：“掌握數學就是意味著善于解題。”[3]解題教學不僅是運用知識與方法的有效途徑，更是培養學生理性思維，尤其是批判性思維的重要平臺。本文以一道“平面向量數量積”習題為例，聚焦條件的轉化和方法的優化，具體闡述如何通過搭建適切的支架來優化通性通法，以有效培養學生的批判性思維。

一、通性通法分析

蘇教版高中數學教材必修第二冊給出了平面向量數量積的定義，即[a?b=a bcosθ]，這也是求平面向量數量積的第一種方法——定義法。求平面向量數量積的第二種方法為坐標法，即[a?b=x1x2+y1y2]。由教材介紹的投影向量的概念，推導出[a?b]=[OA1?b=OA1 bcosθ]（其中[θ等于0或π]），這是求平面向量數量積的第三種方法——投影向量法。最后，根據平面向量基本定理，將未知的向量用已知的基底表示，再通過定義求解平面向量數量積，不妨稱這種方法為第四種方法——基底法。

二、課堂教學過程

（一）引入習題

［例題］如圖1，在平面四邊形[ABCD]中，已知[AB=3，DC=2]，[E]，[F]分別是邊[AD]，[BC]上的中點。若向量[AB]與[DC]的夾角為[60°]，則[AB·EF]的值為" " " " " " " 。（改編自蘇教版高中數學教材必修第二冊第19頁第7題）

設計意圖：引導學生在復雜情境下運用定義法、基底法、投影向量法（針對特殊數據）、坐標法等多種方法并優化方法求平面向量數量積。

（二）開展教學

由于本題直接運用定義法不便捷，故主要采用基底法、坐標法、投影向量法和極限法求解。通過對各種方法的反復比較和深入分析，加深學生對平面向量數量積概念的理解，并優化他們對相關方法的運用。

1.優化通性通法

（1）優化基底法——善用比例點，從四邊形走向三角形

生1：將[EF]轉化為[AB，DC]。[AB·EF=AB·（ED+DC+CF）=AB·12（AD+CB）+DC）=AB·12AB+12DC=12AB2+12AB·DC=6]。

師：這個方法實際上是將未知向量轉化為基底向量[AB]與[DC]。也有一些同學連接[EB]，[EC]，利用平面向量基本定理得[EF=12EB+12EC=12（EA+AB）+12（ED+DC）]，這樣處理就方便多了。

師：在上述轉化中最關鍵的結論是什么呢？

生齊：應該是[EF=12（AB+DC）]。

師：其實這是課本上的一個結論。（轉向生2）你覺得上述解法如何？

生2：我想不到這個結論，但我肯定會嘗試往這兩個向量的方向去思考。

師：嗯，好的。那這道題還有沒有其他解法呢？（稍作停頓）注意[E]，[F]的位置。

生3：連接[BD]，取[BD]的中點[G]，連接[GE]，[GF]，如圖2所示。這樣，[AB·EF=AB·12AB+12DC=12AB2+AB·12DC=6]。

師：你是怎么想到的？

生3：[E]，[F]是中點讓我想起了初中學過的平面幾何，這樣構造中位線就可以了。

師：這個想法怎么樣？（學生紛紛點頭贊許）

師：借助中位線，我們可以將[AB，DC]平移到三角形[EFG]中，這樣處理更快，且比第一種方法更直觀、更易理解。

（2）優化坐標法——善用特殊角，從一般點轉向特殊點

師：如果先利用“向量[AB]與[DC]的夾角為[60°]”這個條件，大家有沒有什么聯想？

（隨機提問一名學生）

生4：這個夾角比較特殊，讓我想到了建立坐標系，但是我沒能成功構建出來。

師：那你覺得難在哪里？

生4：難在圖中這個夾角并沒有明顯體現出來。

師：[60°]夾角在圖中沒有明顯體現，那我們該如何處理呢？

（有學生提到可以延長線段，教師順勢在原圖上延長[BA]，[CD]，使其交于一點）

師：請各小組討論，看能否通過建立坐標系進行處理？

（2分鐘后，課堂逐漸安靜下來，各小組開始分別展示）

生5：為了便于計算，我將[BA]，[CD]延長線的交點設為坐標系的原點，并將[AB]置于[x]軸的正半軸上，建立如圖3所示的坐標系。這樣，[D，C]就在定直線y=[3]x上。設[A（a，0）]，則[Ba+3，0]，[AB=（3，0）]，設[D（m，3m）]，則[C（m+1，3（m+1））]，由[AD=2AE]，[BC=2BF]，分別求得[Em+a2，32m]，[Fm+a+42，32（m+1）]，[EF=2，32]，所以[AB·EF=3×2+0×32=6]。

師：大家覺得生5的思路怎么樣？

（大部分學生投來贊許的目光）

師：看看，結果與[m]、[a]有關系嗎？能否對生5的思路進行優化？

生6：其實不用那么麻煩。我們不妨令[A（1，0）]，[B（4，0）]，[AB=（3，0）]，[D，C]在直線[y=3x]上，令[D（1，3）]，由[DC=2]，可設[C（2，23）]，由[AD=2AE?E1，32]，[BC=2AF?F（3，3）]，所以[EF=2，32]，所以[AB·EF=3×2+0×32=6]。

（教室內掌聲響起）

師：你怎么會想到這樣的建系方式呢？很特別，點[A]的坐標也太特殊了。

生6：我在分析過程中發現，圖3中點[A]，[D]的位置并不明晰。為便于計算，我先假定點[A]的位置，記為[A（1，0）]，這樣點[B]的位置也就自然確定了。[D，C]在定直線y=[3]x上運動，結果仍然相同。基于這樣的想法，我嘗試把點[D]也放到特殊的位置上，于是就有了上述做法。

師：哪位同學愿意分享自己的學習體會？

生7：在建系的基礎上對圖形的位置進行特殊化處理，可以讓運算變得更加簡單。

師：很好，你的發現很有價值。這樣，我們就可以把定性問題轉化為定量問題，或者將一般的定量問題轉化為更為精準的定量問題。

（3）優化投影向量法——善用化歸路徑，從常規圖轉向直觀圖

師：還有其他破題角度嗎？

（學生感到很驚訝，原本以為對這道題的研究已經結束了，但教師的提醒又讓他們的思緒回到了問題上）

師：我們已經讀完了所有的條件，看來只能在題目要求的[AB·EF]上找突破口了。

（教師再次提醒大家）

師：剛才我們已經分別用基底法和坐標法求[AB·EF]，大家還記得另一種方法叫什么嗎？

生齊：投影向量法。

師：這個方法平時用得不多，因此不太容易成為我們的第一選擇。今天，我們就來投投影，找找投影向量，看看能否有新的突破。

（教師開始巡視，觀察學生的反應和解題進展）

師：我發現不少同學在原圖上直接作投影，但似乎進行得不太順利。確實，直接在原圖上找投影向量不太直觀。那么，你最習慣用什么樣的方法來作投影向量呢？別忘了之前提到的“突破”常規哦。

生7（走到講臺前，在黑板上畫了一個新的圖形，標記為圖4）：為了更直觀地展示，我把其中較長的線段[AB]畫平，然后根據平面向量數量積的幾何意義來求解。我分別過點[E，D，C，F]向[AB]邊作投影，垂足分別為點[M，P，Q，N]，則[EF]在[AB]上的投影為[EFcosθ=MN]，[MN=MP+PQ+QN]，[PQ=DCcos60°=1]。又由相似比可得[AMMP=AEED=BNNQ=BFCF=1]，所以[MP+NQ=12（AP+BQ）=12（AB-PQ）=12×（3-1）=1]，所以[MN=1+1=2]，所以[AB·EF=3×2=6]。

（教室里響起一陣掌聲）

師：哪位同學愿意談談對這個解法的思考？

生8：有點意外，但又合乎情理。

師：此話怎講？

生8：說意外，是因為我們平時不太習慣直接運用平面向量數量積的幾何意義來解題，但從剛才的解題過程可以看出，這種方法確實很方便，也很合乎情理。因為平面向量數量積的幾何意義正是其定義的重要組成部分，也是我們處理平面向量問題的一種重要手段，我們確實應該多往這個方向去思考。

生3（突然插話）：如果是這樣的話，我剛才的做法還可以再優化一下。因為在圖2的[△EGF]中[∠EGF=120°]，[EG=32]，[GF=1]，所以[AB·EF=2EG?EF]，只要用投影向量法就能立即得到答案[AB·EF=2EG?EF=2×32×（EG+GF·cos60°）=2×32×32+1×12=6]。

師：看來大家收獲不斷呢！生3已經能夠靈活運用生7的方法去優化自己的解法，非常難得。

師：其實，我在批閱作業時也發現有同學有這樣的想法。可能是受到原題中圖形形狀的影響，導致直觀性得不到體現，解題過程受阻。因此，將圖形轉換到合適的狀態，能更直觀地分析問題。大家要重視這一現象，學會靈活運用不同的方法去解決問題。

（4）巧用極限法——善用影響度，從常規圖轉向極限圖

師：還有沒有其他思路？請大家再次突破自己認識的局限，仔細揣摩圖3的作圖細節，看看能否有新的發現。別忘了，這只是一道填空題（邊說邊將目光投向圖3，并用手勢張合來輔助說明）。

生9：我發現在圖3中，[AD]的長短對計算結果影響不大。

師：你有什么具體的想法嗎？

生9：我索性取[AD]為0（即讓[A，D，E]重合），得到圖5。大家一起來試算一下，看看結果會怎么樣。此時[AB·EF=AB·AF=AB·12AB+12AC=12×9+12×3×2×12=6]。

師：這用的是什么方法？

生齊：極限法。

師：極限法我們之前提到過，它看似簡潔，但并不是所有的問題都能用這種方法解決。

師：同學們，剛才大家從多個角度對這道向量題進行了深入剖析，讓它煥發出了新的光彩，展現出了獨特的魅力。同時我們也從中體會到了深入分析和合作交流的重要性。

師（反問）：如果將例題中的[F點]由[BC]上的中點改為靠近點[B]的三分之一點（如圖6），其他條件不變，能求出[AB·EF]的值嗎？

（學生紛紛開始討論）

生10（興奮地）：我用極限法做出了，答案是7。（下面有不少學生附和）

生11（平靜地）：我是用生1提到的基底法做的，但只化到[AB·EF=AB·（ED+DC+CF）=AB·12AD+DC+23CB=AB·12（AD+DC+CB）+12DC+16CB=AB·12AB+12DC+16CB=12AB·AB+12AB·DC+16AB·CB=6+16AB·CB]，就再也算不下去了。

生12（面露難色）：我想用生3所說的基底法來做，但無法將三條邊整合到一個三角形中，所以解不出來。

生13：我是用生6所說的特殊建系方法計算的，解出來的答案也是7。

生14：我是用生5所說的一般建系方法計算的，但在計算過程中發現[EF=-m6+a6+73，-36m+33]，[AB=（3，0）]，所以[AB·EF=-m2+a2+7]，但由于[m]與[a]的關系不確定，因此無法得出確切的結果。

（只有少數學生使用投影向量法）

師：現在出現了兩種觀點，一種認為有解且答案為7，另一種則認為無解。那么這道題到底能不能解？為什么？我們來反思一下上述解法，看看哪種是通性通法。

師：我們回看一下，為什么生12不能將三條邊整合到一個三角形中？為什么生14不能算出[-m2+a2]的具體值？問題的根源在哪里？各小組討論一下。

（幾分鐘后）

生12：我明白了，因為在選擇基底時，所選的兩個對應比例點的系數不一樣，所以無法將三條邊整合到一個三角形中。

師：對的。正是例題中的兩個比例點系數一樣，才使得那些“妙手”級解法能夠發揮作用。因此，解題時要認真審題，扎實掌握“本手”級解法，即基礎解法，同時分析出“妙手”級解法能否在特定情境下使用，而不能機械地模仿，否則可能會讓“妙手”變“俗手”。

2.反思通性通法

師：剛才大家開動了腦筋，用多種方法解決了例題，真不錯。現在，大家有什么心得體會呢？你們覺得哪種方法比較好？大家先小組內交流一下，稍后派代表進行分享。

生13：我覺得基底法雖然有點復雜，但只要目標明確，還是可行的。如果對應比例點的系數一樣，把三條邊整合到一個三角形中求解更好。若題目中有特殊的角度，則優先考慮坐標法。

生14：我覺得投影向量法也很簡潔明了，關鍵是要有這個意識。至于極限法，雖然它很好用，但具有一定的特殊性，使用時要特別小心，以免出錯。

生15：我覺得每一種方法都是基礎且重要的，但關鍵是要根據實際情境靈活使用。當條件不足時，我們要想方設法轉化條件再對應使用。

師：生13和生14兩位同學對各種方法進行了簡要評價，而生15則講得更深刻。他提到我們在面對復雜問題時，要強化解題意識，善于開動腦筋，積極創設條件，靈活運用各種方法。

3.開展變式訓練

【變式題】如圖7，已知平面凸四邊形[ABCD]，點[E]，[F]分別在[AD]和[BC]上，滿足[AE=2ED]，[BF=2FC]，且[EF=2]，[AB]與[DC]的夾角為[π3]，設[AB=m]，[DC=n]，則[m+2n]的最大值為" " " " " "。（改編自例題，難度適中）

設計意圖：本題作為例題的引申，涉及的解題方法與例題相似但有所完善。只要在其中選擇一種較為快捷的方法，便能得到[m 與n]的一個關系式，再運用基本不等式進行求解即可。本題雖然從表面上看并未直接涉及平面向量數量積，但實際上蘊含著平面向量數量積的運算。

分析：運用上述解題方法求解，都能得到[m2+4n2+2mn=36]，其中最為快捷的當屬“妙手”級解法——極限法。因為[AE=2ED]，[BF=2FC]，滿足[E]，[F]分別在[AD]和[BC]上的對應位置一致（比例點的系數一樣），所以利用基本不等式即可得到答案[43]（限于篇幅，此處不再詳述具體過程）。

4.進行跟蹤訓練

（1）已知正三角形[ABC]的邊長為2，[D]是[BC]的中點，[E]是[BC]的一個三等分點，求[AD·AE]。

（2）已知平面凸四邊形[ABCD]，[P，Q]分別是對角線[AC]和[BD]的中點，設[BC=m]，[AD=n]，[CB]與[AD]的夾角為[π2]，[PQ=1]，則[m+n]的最大值為" " " " " " "。

設計意圖：上述訓練題（1）（2）是例題和變式題的跟蹤訓練，旨在讓學生進一步掌握解題方法，練就解題技能，并落實“四基”和“四能”要求。

三、課堂教學反思

本課的核心在于重點培養學生的批判性思維。批判性思維是一種科學且具有反思性的思維方式，它始于質疑與提問，通過搜集證據、分析推理，最終得出有說服力的結論[4]。批判性思維能力要求學生在面對各種復雜問題時獨立思考、勇于質疑，運用已有知識進行審慎思考、分析推理，得出可靠的結論。批判性思維不僅是一種重要的能力素養，更是理性思維的高度體現[5]。值得注意的是，批判性思維并非簡單地否定，而是具有建設性地思考。

（一）在優化通性通法的過程中培養批判性思維

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）明確指出：評價內容包括解決問題的方法是否為通性通法[6]。因此，解題教學應立足于通性通法，這是培養學生“四基”和“四能”的重要基石。面對難度稍高的問題，教師應引導學生深入理解題意、克服困難、不斷改進方法并尋求突破，培養他們的批判性思維。

本課介紹的前三種解法均為求解平面向量數量積的通性通法，但其直接應用均存在一定難度。第一種方法基底法需學生將[EF]轉化為[AB，DC]，雖題目已給出線段的長度和角度，但解答過程相對煩瑣。然而，觀察發現[E]，[F]的位置特殊，是兩條不同線段上比例系數相同的點，可利用平面幾何知識將[AB，DC]平移至同一個三角形內，從而優化了基底法。學生嘗試的第二種方法是坐標法，即建立坐標系進行求解。然而，本題中直接建立坐標系存在困難，原因在于[60°]不是四邊形的內角，四邊形的內角并不清楚，為此，生5、生6構造了一個三角形并將一般點位置A、D轉化為特殊點位置，從而優化了坐標法。第三種方法是投影向量法，部分學生嘗試運用但未成功，主要原因是原圖作圖不直觀。經分析，將常規圖轉換成直觀圖，可成功找到投影向量，從而優化投影向量法。這三種解法均是優化了的通性通法，能得出更貼合題意的通解。這一過程不僅形成了有效的解題模型，提高了學生的思維效率，更培養了學生的批判性思維。

極限法是一種常被忽視的通性通法。學生鮮少考慮此法，但經啟發后，他們大膽改進，實現了突破。那么，極限法是否具有普適性呢？課上，教師通過稍微改變例題中點[F]的位置，有的同學得出了“結果”，但經其他方法驗證后發現這一結果是錯誤的，這讓學生對極限法的使用條件有了深刻的理解，很好地培養了他們的批判性思維。

（二）在適切支架的助力下培養批判性思維

布魯納和羅斯用“支架”來隱喻在學習中，更有能力的他人為學習者提供的有效指導或干預。筆者認為，教學中的“支架”是教師根據學情，為幫助學生掌握新知識、提高新認識、訓練新技能等而特別設計的輔助工具，一旦學習任務完成即可撤去。因此，在適切支架的助力下，能夠更有效地培養學生的批判性思維。

本課主要運用了三種支架：問題支架、工具支架和活動支架。

在“注意[E]，[F]的位置”的啟發下，學生由中點聯想到中位線，成功將研究對象從四邊形轉化為三角形，從而順利解題。

在“結果與[m]、a有關系嗎？能否對生5的思路進行優化？”的提醒下，學生將[A]，[D]位置特殊化（[AD⊥AB]），考慮到題目為填空題，學生甚至直接預設了坐標，極大地減少了運算量。

在“你最習慣用什么樣的方法來作投影向量呢？別忘了之前提到的是‘突破’常規哦”的暗示下，學生成功地將常規圖轉化為直觀圖，從而快速地找到了投影向量。

在“仔細揣摩圖3的作圖細節，看看能否有新的發現。”的引導下，學生觀察到[AD]的長度對計算結果的影響不大，這一發現為他們大膽突破提供了依據。

在“如果將例題中的[F點]由[BC]上的中點改為[靠近點B的三分之一點]，其他條件不變，能求出[AB·EF]的值嗎？”的反問下，學生由喜悅回歸理性，再次探尋問題的本質。

這五個問題支架的巧妙搭建，有效促進了學生的理性思維，特別是批判性思維的培養。

在本課，教師運用了工具支架，特別是適時繪制的符合題意的圖形，這些圖形構成了研究問題的關鍵載體。從四邊形到三角形，從一般坐標系到特殊坐標系，從常規圖到直觀圖，再到極限圖，教師結合這些工具進行解題分析，從而有效培養學生的批判性思維。

此外，在構建合理的坐標系的過程中，以及在運用極限法解答變式題出現答案分歧時，教師根據學情安排了小組活動。學生在充分思考的基礎上進行組內思維碰撞，相互啟迪，積極反思。這樣既便于較快地發現問題本質，又為培養批判性思維提供了有力支持。

（三）在多元化評價中培養批判性思維

《課標》指出：教學評價是數學教學活動的重要組成部分。教學評價的主體應多元化，在多元評價的過程中，要重視教師與學生之間、學生與學生之間的溝通交流，努力營造良好的學習氛圍[7]。

本課教學過程中的即時評價是應時而生的。有教師對學生思路的認可，有學生對同學思考的簡單認可，有學生對四種解法的中肯評價，更有教師分享的對每一種解法的深刻理解。

此外，本課還設計了隨堂的針對性變式訓練和可延時的跟蹤訓練，作為展現學生的學習成效的評價方式。學生在實踐中展示所學，反思問題，進一步培養了批判性思維。

筆者認為，教師對學生課堂表現的即時有效的評價是推進學生批判性思維培養的關鍵手段，它能促使學生深刻反思、深入再思。然而，評價要避免泛化，不能簡單停留在好與不好、對與不對、優與不優的表面判斷上，應觸及問題的本質，以促進學生思維的發展。比如，在坐標法的優化過程中，學生的評價體會是“在建系的基礎上對圖形的位置進行特殊化處理，可以讓運算變得更加簡單”，而教師則從更深層次進行評價指導，指出“可以把定性問題轉化為定量問題，或者將一般的定量問題轉化為更為精準的定量問題”。又如，在極限法的變式練習中，當學生簡單地模仿例題得到答案“7”，但用其他方法驗算難以得到相同答案時，教師的評價直接點出了問題的癥結所在：“例題中的兩個比例點系數一樣”，并強調“解題時要認真審題，扎實掌握‘本手’級解法，分析出‘妙手’級解法能否在特殊情境下使用，而不能機械地模仿，否則可能會讓‘妙手’”變‘俗手’”。這樣的評價進一步促進了學生批判性思維的形成。

另外，教師還需創設生態課堂的教學情境，以促使學生敢于發言、樂于分享，真實地表達自己的想法，并獲取第一手反思評價的素材。同時，這也是培養學生批判性思維的重要前提和基礎。

綜上可知，本節課雖僅圍繞一道填空題展開講評，但其價值遠超一題多解。筆者認為，解題教學的立足點在于通性通法，核心在于通過搭建適切的支架來優化這些方法，而最終目的在于培養學生的理性思維，尤其是批判性思維。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

［1］" 羅增儒.數學解題學引論［M］.2版.西安：陜西師范大學出版社，2001：11.

［2］" 斯托利亞爾.數學教育學［M］.北京：人民教育出版社，1984：28.

［3］" 波利亞.數學的發現：第二卷［M］.劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.呼和浩特：內蒙古人民出版社，1982：序言.

［4］" 中國高考報告學術委員會.中國高考報告：2024［M］.北京：新華出版社，2023：174.

［5］" 中國高考報告學術委員會.中國高考報告：2023［M］.北京：新華出版社，2022：145.

［6］［7］" 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020：84-86.

（責任編輯" " 黃春香）