新課改下變式教學在數(shù)學課堂中的實踐探索

［摘 要］隨著高中新課改和高考新改革的實施，數(shù)學課堂面臨“內(nèi)容多、時間緊”的挑戰(zhàn)，學生由于跟不上教師的教學進度，數(shù)學知識掌握不扎實，因此難以應(yīng)對考試中的綜合性題型。在此情況下，教師可采用變式教學策略。文章結(jié)合具體案例，探討新課改下變式教學在數(shù)學課堂中的實踐。

［關(guān)鍵詞］變式教學；新課改；數(shù)學課堂

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）35-0028-03

一、變式教學的內(nèi)涵以及實施意義

變式教學涵蓋知識形成過程的多種變式形式，包括問題設(shè)計的變式、基本概念的變式、定理和公式的變式，以及例題和習題的變式（如一題多解、一法多用、一題多變、多題歸一等）。

變式教學通過變式訓練，能夠使學生舉一反三，提高學習興趣，調(diào)動學習積極性。變式教學對學生掌握知識、提升能力和發(fā)展思維等起到極其重要的作用。它通過多層次、多向性的交互過程使教學結(jié)構(gòu)發(fā)生質(zhì)的變化，為課堂教學注入生機和活力。

在新課改下，將變式教學引入數(shù)學課堂，能夠極大地促進學生的學習和發(fā)展。在數(shù)學變式教學中，教師應(yīng)有意識地引導學生從“變”的現(xiàn)象中探尋“不變”的本質(zhì)，通過引導學生運用類比、聯(lián)想、特殊化和一般化等思維方法對基本問題進行變式處理，使學生在理解問題本質(zhì)的同時能夠拓展數(shù)學思維。

二、變式教學在數(shù)學課堂中的實踐

（一）變條件，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性

［例1］若[sinα=-45]，且[α]是第三象限角，求[cosα]的值。

分析：本例旨在讓學生直接利用剛學習的三角函數(shù)關(guān)系解決[sinα]、cos[α]、[tanα]中“知一求二”問題。

變式1：若[sinα=-45]，求[cosα]的值。

分析：由于角[α]可能位于兩個象限，因此需分類討論，以拓寬學生思維，培養(yǎng)其分類討論的能力。

變式2：若[tanα=2]，求[cosα]的值。

分析：本變式旨在讓學生探索同角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用的本質(zhì)，即解方程組思想的運用。通過條件的變式，幫助學生更好地理解如何應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。

［例2］ [f（x）]是R上的奇函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞]上單調(diào)遞增，求[f（x+1）lt;f（2-x）]的解集。

分析：本例旨在訓練學生對函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合運用的能力。

變式1：[f（x）]是奇函數(shù)，在[0，2]上單調(diào)遞增，求[f（x+1）lt;f（2-x）]的解集。

分析：該變式旨在讓學生認識到，函數(shù)的性質(zhì)是建立在存在性的基礎(chǔ)之上的，凸顯了定義域的重要性。

變式2：[f（x）]是偶函數(shù)，在[0，2]上單調(diào)遞增，求[f（x+1）lt;f（2-x）]的解集。

分析：該變式旨在讓學生明白偶函數(shù)和奇函數(shù)的差異，及求解方法各不相同，需分類討論或取絕對值。通過對比發(fā)現(xiàn)，應(yīng)盡量避開分類討論，優(yōu)先采用絕對值方法。

變式3：[f（x）]是偶函數(shù)，在[-2，0]上單調(diào)遞增，求[f（x+1）lt;f（2-x）]的解集。

分析：該變式旨在讓學生避坑，即取絕對值后需考慮函數(shù)正向的單調(diào)性，從而省去函數(shù)符號[f]。

綜上，條件的變式讓學生進一步掌握解題技巧，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學邏輯思維，同時體驗數(shù)學的美妙，明白解題的本質(zhì)在于去掉函數(shù)符號[f]。

（二）變目標，提高學生的學習興趣

［例3］若[tanα=2]，求[cosα]的值。

分析：通過本例學生已經(jīng)掌握了運用同角三角函數(shù)關(guān)系求解已知一個三角值求同角另兩個三角值的方法。

變式1：若[tanα=2]，求[sinα+cosαsinα-cosα]的值。

分析：此變式題若用常規(guī)方法解答，運算量大。因此，教師可引導學生發(fā)散思維，探討新解法，如解方程組（需分類討論）、定義法、切化弦代入法、弦化切法（上下除以[cosα]）。最后，引導學生優(yōu)選最有效方法，如弦化切法。

變式2：若[tanα=2]，則[sinαcosα=]" " " " " " " " "。

分析：進一步鞏固弦化切法，但要注意先將目標化為齊次分式再使用。

［例4］求關(guān)于[x]的不等式[x2+（1-m）x-mlt;0]的解集。

分析：本題屬于含參二次不等式解集問題，可進行因式分解，故按方程根的大小分三類討論。

變式1：求關(guān)于[x]的不等式[mx2+（1-m）x-1lt;0]的解集。

分析：該變式難度大主要原因是二次項系數(shù)含參。因此，應(yīng)優(yōu)先考慮根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，將其分三大類進行討論。在可能的情況下對表達式進行因式分解。然后，在每一大類下根據(jù)相應(yīng)方程根的大小，進一步細分為若干小類進行討論。

變式2：求關(guān)于[x]的不等式[x2-mx-1lt;0]的解集。

分析：該變式的難點在于表達式不能因式分解。因此，需根據(jù)方程的根的判別式，將其分為三類情況進行討論。

變式3：求關(guān)于[x]的不等式[mx2-x-1lt;0]的解集。

分析：該變式的難點在于二次函數(shù)的開口方向未知，需分三大類進行討論，且不能因式分解，需按根的判別式再分小類進行討論。根的大小比較與二次函數(shù)的開口方向密切相關(guān)。

以上一系列變式題由易到難，層次分明，讓學生領(lǐng)略數(shù)學變式之美，提高學習興趣。

（三）變方法，提升學生的思維能力

［例5］已知[sinα+cosα=15]，[0lt;αlt;π]，則[tanα=]" " " " " " " " " " " " " " " " "。

解法1：對等式兩邊平方得[2sinαcosα=-2425lt;0]，所以得[sinα-cosα=75]，聯(lián)立已知條件，解得[sinα=45]，[cosα=-35]，所以[tanα=-43]。

解法2：前面步驟同解法1，得[sinα-cosα=75]，所以[sinα+cosαsinα-cosα=17]，分子分母同除以[cosα]，得[tanα+1tanα-1=17]，解得[tanα=-43]。

解法3：前面步驟同解法1，得[2sinαcosα=-2425]，所以[sinαcosαsinα2+cosα2=-1225]，分子分母同除以[cos2α]，解得[tanα=-43]。

在教學過程中，教師經(jīng)常采用一題多解的方式講授。當然，更多時候教師對同一例題不會單純地進行條件、方法、目標的變換，而是進行綜合變式，由易到難，使學生更容易接受和理解。

（四）綜合變式，由易到難，層層遞進，培養(yǎng)學生的整體思維

［例6］在[△ABC]中，已知[∠A=π3]，[a=2]，求周長的取值范圍。

分析：該題有兩種解題方法。一是用余弦定理建立邊的關(guān)系，結(jié)合基本不等式和三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，求出周長的取值范圍；二是用正弦定理將周長轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角化簡及三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象，求得周長的取值范圍。

變式1：在銳角[△ABC]中，已知[∠A=π3]，[a=2]，求周長的取值范圍。

分析：當條件變?yōu)樘厥馊切螘r，第一種方法運算不便，宜采用第二種方法，即利用三角化簡及三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象求解。

變式2：在銳角[△ABC]中，已知[∠A=π3]，[b=2]，求周長的取值范圍。

分析：該變式旨在讓學生靈活掌握正弦定理在轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用。

變式3：在銳角[△ABC]中，已知[∠A=π3]，[a=2]，求面積的取值范圍。

分析：該變式旨在讓學生掌握三角化簡過程中遇到進階計算難度時知道該保持怎樣的心態(tài)，以及提高學生的計算能力。

變式4：在銳角[△ABC]中，已知[∠A=π3]，[a=2]，求[cb]的取值范圍。

分析：該變式旨在讓學生在整理目標和化簡的過程中遇到非常規(guī)三角化簡時掌握化弦為切的技巧，并利用正切函數(shù)圖象求解目標的取值范圍。

［例7］[a]，[b]都是正數(shù)，[a+2b=4]，則[ab]的最大值是" " " " " " " " " " " 。

分析：該例題主要考查基本不等式的應(yīng)用，即和定積有最小值。

變式1：[a]，[b]都是正數(shù)，[a+2b=ab]，則[ab]的最小值是" " " " " " " " " " " 。

分析：該變式較例題稍難，因它不僅需要運用和定積求最小值，還要求根據(jù)條件向目標方向化簡。由已知條件及基本不等式，可得[ab=a+2b≥22ab]，進而ab的最小值通過解關(guān)于[ab]的二次不等式求得。

變式2：[a]，[b]都是正數(shù)，[a+2b=ab]，則[a+2b]的最小值是" " " " " " " " " " " 。

分析：該變式引導學生觀察目標，選用和定積最大的基本不等式[a+2b=ab=12·a·（2b）≤12·a+2b22]，并通過解不等式求得。教師可引導學生思考其他方法，如先化簡已知條件為[1b+2a=1]，再運用“巧用1”的技巧求解。

變式3：[a]，[b]都是正數(shù)，[a+2b=ab]，則[a+3b]的最小值是" " " " " " nbsp; " " " " 。

分析：該變式旨在讓學生體會到變式2中第一種方法的不便，從而選擇第二種方法。

變式4：[a]，[b]都是正數(shù)，[a+2b+ab=8]，則[a+2b]的最小值是" " " " " " " " " " " 。

變式5：[a]，[b]都是正數(shù)，[a+2b+ab=8]，則，[ab]的最大值是" " " " " " " " " " " 。

分析：變式4和變式5旨在鞏固變式1和變式2的第一種方法，但是運算量更大，因為需要解二次不等式。如變式4中[a+2b+ab=8≤a+2b+12·a+2b22]，將[a+2b]作為整體，進行因式分解后解二次不等式求得。變式5方法相同，即[a+2b+ab=8≥22ab+ab]，把[ab]當作整體，進行因式分解后解二次不等式求得。

變式6：[a]，[b]都是正數(shù)，[6+1a+9b=a+b]，則[a+b]的最小值是" " " " " " " " " " " 。

分析：該變式同時變換了條件和目標，需類比“巧用1”的方法，對目標進行平方處理，即[（a+b）2=（a+b）（a+b）=（a+b）6+1a+9b]，然后展開括號，利用基本不等式求得。

以上例題經(jīng)過一系列條件和目標的變式，由易到難，層層遞進，旨在拓寬學生思維，使其理解同一背景下的題目萬變不離其宗的數(shù)學思想。此過程讓學生體會到知識點從分塊到整合的奇妙變化，既能提高學生的學習興趣，又能培養(yǎng)學生的整體思維。

三、變式教學在數(shù)學課堂中應(yīng)用應(yīng)注意的問題

在數(shù)學教學中，教師應(yīng)恰當把握變式教學的度，因材施教。若過度變式，會加重學生的心理負擔和學習壓力，引發(fā)逆反心理和厭學情緒。教師應(yīng)由易到難，層層遞進地進行變式，避免一步到位，以免學生產(chǎn)生挫敗感和畏難心理，從而降低學生的學習效率。數(shù)學變式教學應(yīng)基于教材，有目的、突出重點地進行。在教學過程中，教師需根據(jù)實際情況，針對不同層次的學生設(shè)計不同的變式教學內(nèi)容。

綜上可知，在數(shù)學課堂中，變式教學能有效解決學生對概念理解不深的問題，及通過不同表述和解釋，促進學生深入理解數(shù)學概念，掌握知識。它不僅能幫助學生從多維度理解公式和結(jié)論，探索多種求解方法，還能激發(fā)學生的數(shù)學思維，提高他們解決問題的能力，并讓他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的規(guī)律和美感，從而更加喜歡數(shù)學，提高對數(shù)學的興趣。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

[2]" 牛勝玉.高中數(shù)學萬能解題模板[M].沈陽：遼寧教育出版社，2014.

[3]" 蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學：一題多解與一題多變：第二版[M].杭州：浙江大學出版社，2018.

（責任編輯" " 黃春香）