理解中小學內容要求差異，發展理性思維

摘要：小學和初中的課程內容中存在許多相同的知識，這些相同知識的差異化教學體現了認知水平的階段性，是發展學生理性思維的關鍵.文章以等式的性質教學為例，對比中小學課標內容要求、學業要求的描述的內涵差異，確定教學處理的關鍵點，從抽象水平以及學科觀念滲透的角度呈現差異化教學處理.

關鍵詞：等式的性質；差異化教學；理性思維

小學和初中的課程內容體系里，存在許多相同知識但要求不同的內容，體現在這些知識的描述結果目標及過程目標的行為動詞的差異，由于行為動詞的不同，導向了學業要求和教學建議也產生了相應的分化.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）提出：核心素養具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現.小學階段側重對經驗的感悟，初中階段側重對概念的理解[1].可見，初中階段在處理小學已學習過的知識時，需要更加“理性”，體現在概念的抽象水平、技能操作原理、結論驗證或論證方式、學習內容本質理解等方面.如何深刻理解同一知識的內容要求差異，設置相應的教學目標和設計教學過程，從而進一步發展學生理性思維是值得實踐和思考的問題.下面以“等式的性質”的教學設計為例進行說明.

1 教學內容分析

“等式的性質”選自人教版《義務教育教科書·數學》七年級上冊第三章“一元一次方程”的第2節，《標準》中的內容要求和學業要求如表1所示.

根據《標準》的有關行為動詞分類，小學階段要求能夠在生活或數學的情境中感受等式性質的內涵和特征，等式基本性質的描述主要以文字語言形式呈現；初中階段要求多角度理解和表征等式性質的本質，并且有能應用于等式變形的技能要求.基于描述的不同，中學階段的多角度可從數系擴充的視角出發，經歷借助生活或數學情境進一步理解等式左右兩邊進行相同的運算，等式的不變性就是等式的性質，在數學情境中說明不變性滲透代數推理，從而進一步抽象，用符號表達等式性質，最后形成技能用于一元一次方程的求解的學習全過程.將此學習的路徑拓展到未來學習不等式的性質及分式的基本性質也有遷移的價值，

基于以上分析，發展理性思維的關鍵教學點如下：

（1）從數系擴充后原來的運算性質是否成立出發，感受再次研究等式性質的必要性，感悟代數發展的一致性；

（2）通過觀察一元一次方程和方程解的形式變換，感知等式的性質本質上是對等式兩邊進行相同的運算后的不變性，基于這個認識，有向有序地展開探究活動；

（3）在數學情境中，通過舉例、運算、代數推理驗證等活動，感受結論的合理性或正確性；

（4）理解符號的各種意義，經歷等式符號化，以及等式的性質從文字語言的表述轉化為符號表達的過程，感受符號表達的一般性、準確性、簡潔性；

（5）會根據一元一次方程的結構特征，選擇合理簡潔的等式變形步驟解方程.

2 教學目標

經歷觀察方程與方程解的關系，從代數運算驗證的角度再次理解等式性質的本質，并用文字語言和符號語言表達等式的性質，掌握等式的性質，能運用等式的基本性質進行等式的變形，感悟代數發展的一致性，發展運算能力和初步滲透代數推理.

3 教學過程設計

3.1 復習引入，體會新知學習的必要性

問題1上節課我們學習了一元一次方程的概念，你能舉出幾個簡單的一元一次方程嗎？

追問1：對于舉出的這些方程，你能得到它們的解嗎？

師生活動：讓學生舉若干一元一次方程的例子并觀察方程的解.對于形如4x＝24，x＋1＝3這樣的簡單方程，可以直接看出它們的解分別是x＝6，x＝2；對于類似－13x－5＝4的方程，要直接看出解是比較困難的.因此，接下來討論怎樣解方程.

追問2：觀察4x＝24的解為x＝6，x＋1＝3的解為x＝2，方程的解可以看成是由方程進行了什么樣的變形得到的？

追問3：在小學我們把這種變形的依據稱作什么？

問題2類比第一章有理數運算律的學習，思考為什么還要再次研究等式的性質？

師生活動：通過觀察方程與方程解的關系，理解解方程的實質是依賴等式的性質進行變形，回憶等式的性質，思考再研究等式性質的必要性.

設計意圖：引導學生初步感受解方程的實質與等式性質的實質，從解方程的需要和數系擴充的視角感受再次研究等式的必要性，發展理性思維.

3.2 等式及等式性質的符號化

問題3你能寫出幾個等式嗎？

追問1：觀察寫出的若干個等式，它們有什么共同特點？

追問2：你能用符號表示一般的等式嗎？

問題4請描述等式的性質，你能用符號表示等式的兩條性質嗎？

追問1：小學階段所學習的等式的性質中，a，b，c分別表示什么？

追問2：經過初中階段的學習，字母a，b，c還可以表示什么？數擴充到更大的范圍后，等式的性質還能成立嗎？

師生活動：通過寫出的等式，觀察等式中包含“＝”，左右兩邊形式可能不相同但值相等的特征，因此用a＝b來表示等式；回顧等式的性質的內容，將等式的性質抽象符號化，理解符號表示的意義.

設計意圖：在小學用文字語言表達等式性質的基礎上，進一步抽象符號化，感受符號表達的一般性、準確性、簡潔性，引導學生對比小學和初中的學習內容，在數系擴充的視角下發現和提出數學問題.

3.3 等式性質的再研究

問題5類比有理數運算律的學習，如何說明等式的性質在有理數的范圍內成立？

追問：你能寫出幾個算式驗證等式的性質在更大范圍內成立嗎？

問題6對于等式性質1“等式兩邊加（或減）同一數，結果仍相等”、等式的性質2“等式的兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等”，經過上面的探究，這里的等式以及等式兩邊參與運算的數可以在什么范圍內成立？

問題7如果在等式兩邊加（或減）同一個式子，等式還成立嗎？為什么？

問題8（小結）對于小學學過的運算律、運算性質等內容，在初中階段為什么還需要進一步學習？怎么開展研究？說說你的看法.

師生活動：引導學生類比有理數運算律的學習，寫出在數的范圍內符合要求的算式，對等式的性質進行驗證，對于驗證的邏輯引導學生進行說理；通過探究學習，明晰等式的性質中a，b，c的內涵.

設計意圖：滲透代數推理的規則和形式，從數學情境的角度對等式的性質在更大范圍內的數成立的合理性進行說明，感悟代數發展的一致性，并積累研究這一類問題的數學活動經驗，以用于同質內容的遷移.

3.4 等式性質的應用

例1觀察下列等式的變化，說說用了等式的什么性質？

（1）由x＝y，得x＋3＝y＋3；

（2）由x＝y，得x3＝y3；

（3）由2x＝y，a＝b，得2x－a＝y－b；

（4）由2x＝y，得x＋2＝12y＋2.

例2觀察下列等式一邊的變化，并填空：

（1）已知x－2＝y＋3，得x－6＝y＋（）；

（2）已知x＝y，得3x＋（－2）＝（）y＋（）；

（3）已知3x＝2y，得（）x＋（）＝y＋2a2.

例3利用等式的性質解一元一次方程，說明每一步變形的依據并檢驗：

（1）x＋7＝26；（2）－5x＝20；

（3）－13x－5＝4；（4）－13（x＋2）＝6.

問題9對于例3的（3）（4）兩小題，如何選擇變形的順序？說說你的看法.

師生活動：用等式的性質完成練習，并歸納用等式的性質解一元一次方程的技能操作步驟.

設計意圖：在多種情境下，使用等式的性質，促進對等式的性質內涵的理解，通過不同形式的方程引導學生會初步根據方程的結構選擇變形順序.

3.5 小結與拓展

問題10通過本節課的學習，說一說：

①等式的性質的本質是什么？依照這個觀念，對于等式的性質我們還可以研究等式的什么規律？

②為什么要再學習等式的性質？數系擴充后，原來的運算規律該如何研究？

③如何用等式的性質解一元一次方程，說說你的看法.

設計意圖：總結等式的性質的本質就是等式左右兩邊進行相同的運算，等式的不變性就是等式的性質，形成學科觀念.依據這個觀念還能提出，兩邊進行相同的乘方、絕對值運算，等式是否仍然成立；未來學習更多的運算或對應關系，等式是否仍成立.促進學生會依照學科觀念，發現和提出問題；總結提煉研究方法，用于同類問題的分析和解決.

4 結論

由于學生在不同階段認知能力發展水平不同，中小學共有的知識往往在課程標準中的內容要求、學業要求等方面存在顯著差異.差異點的處理，是發展學生理性思維的良好契機.進行教學處理時，可考慮以下幾個方面.

4.1 關注學生抽象水平的差異

首先，抽象水平體現在對所學概念、原理、法則等知識的表達.小學階段初步用數學符號表達數量，但對于概念原理和運算法則主要仍然用文字語言進行描述；中學階段的數學概念，事物的性質、關系和規律，逐步從用文字語言過渡到用符號語言表達，符號的表達能更清晰簡潔地呈現事物最本質的數量關系和空間形式，因此對符號進行運算和推理能夠獲得具有一般性的結論.

其次，抽象水平體現在知識所適用范圍的擴大.例如，數的運算律和運算法則、等式的性質等，小學階段適用范圍僅到非負有理數，而中學階段先擴大到有理數范圍，接著到實數范圍內，到高中階段甚至擴大到復數范圍，體現了運算發展的一致性.

最后，體現在結論合理性或正確性的說明.由于認知水平的限制，小學階段對于許多結論的合理性或正確性會以直觀的生活經驗或實驗操作等方式進行說明，中學階段除了原有的方式之外，還使用符號進行推理或運算.

4.2 關注“一般觀念”的滲透

一般觀念是對教學內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括，是對“數學定義方式”“幾何性質指什么”“代數性質指什么”等問題的一般性回答，是研究數學的方法論[2]，有序有向地發現和提出問題、分析和解決問題，是理性思維得到良好發展的體現.小學階段由于認知水平所限，對一個數學研究對象是如何抽象和定義、相關的性質是什么、研究的基本路徑是什么等只有初步感知，初中需要在此基礎上進一步深化.例如，一元一次方程作為代數學習的起始章節，滲透從解方程的需要提出研究等式性質的必要性，從運算的不變性理解等式的性質的本質確定研究內容和方向，從代數推理的角度說明結論的合理性，這些教學活動所形成的觀念，未來可遷移到一元一次不等式的學習中，從而更理性地展開數學學習.

4.3 關注目標行為動詞內涵的差異

對于中小學共有的知識，由于核心素養發展的階段性不同，因此描述目標的行為動詞也會有相應的差異性.能夠形成教學差異處理的關鍵在于教師對《標準》的內容要求、學業要求中結果目標行為動詞及過程目標行為動詞內涵的理解，根據其內涵，結合具體教學內容，將內容要求和學業要求細化為可操作、可觀察、可檢測的行為指標.描述學生在學習過程中通過什么思維方式發現和提出問題、分析和解決問題、會應用該知識解決什么樣的問題、形成什么樣的思想觀念等，從而在知識、技能、能力素養的教學中設計出不同思維層次的問題情境和探究活動，形成教學差異，發展學生理性思維.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]章建躍，鮑建生.深化課程改革，提高數學教育教學質量——暨“第十一屆初中青年教師優秀課展示與培訓活動”總結[J].中國數學教育，2020（7）：2-20.Z