基于“四個理解”的“冪函數”教學設計

王立波

摘要： 冪函數是學生在高中階段最先接觸到的基本初等函數，為后續學習其他函數起到了示范性的作用.本文中基于“四個理解”角度對冪函數的教學目標、教學重難點、教學方法、教學過程進行了細致的解讀.

關鍵詞：四個理解；數學教學；冪函數

章建躍博士在“中小學數學課程核心內容及其教學的研究”中提出：改進課堂教學需基于理解數學、理解學生、理解技術、理解教學實施＼.本文中在把握數學本質的同時，立足數學核心素養并基于“四個理解”對“冪函數”一課進行教學設計.

1 理解數學，設定教學目標

確定教學目標的方向舵是以理解數學為前提的.在冪函數的教學中，教師可以把重心放在對章節結構的把握和對內容的清晰認識上，以便建立起研究冪函數的一般思路：定義—圖象與性質—應用.冪函數也是學生進入高中階段學習的第一類具體函數，對后面指數函數、對數函數、三角函數等的學習起到領頭羊的作用，從而可以實現數學知識的自然延拓.

在“冪函數”的教學中，教師也要注重對上、下位知識的把握.冪函數概念形成的上位知識是學生實現從“變量說”到“對應說”的一次思維跨越，學生可以從具體的實際情境中抽象出以前接觸過的幾種函數模型；冪函數的下位知識是學生能根據抽象出的幾種函數模型進行歸納概括，并將前面學習到的函數的具體性質（單調性、奇偶性等）引申到冪函數的研究中，借助函數圖象去高度概括和抽象.同時，對于高一的學生來說，他們在初中已經學習過幾種函數模型，并且已經掌握了函數的概念和性質.

基于此，本節課的教學目標設定為：根據定義正確判斷冪函數，會畫簡單冪函數的圖象；經歷作圖、觀察，能歸納總結出冪函數的性質，進一步滲透數形結合思想，培養抽象概括能力；通過生活實例引入冪函數的概念，體會數學在實際生活中的應用；利用幾何畫板了解冪函數圖象的變化規律.

2 理解學生，明晰教學重難點

在教學中，學生是課堂的主體，教師只是起著一定的引導作用.因此，教師要把學生看成一個個有思想的個體，不能對學生進行“填鴨式”教育.對于數學教學，要看學生的知識儲備是否充足，思維上對知識的理解是否有障礙，這就要求數學教師需要有一定的知識儲備，教學生用數學知識去解決問題.

教學設計時，首先要了解學生已具備的知識結構，然后再通過新課來獲得新知識，在后續的學習中不斷強化知識水平，從而提高學生的知識儲備＼.

因此，確定本節課的教學重點是歸納總結出冪函數的概念和性質.通過對五個簡單冪函數的研究，在研究過程中做到對知識系統的擴充，從而確定研究基本初等函數的思路，為后續函數的學習奠定基礎.教學難點在于借助五個函數圖象來研究簡單冪函數的性質，歸納總結出指數α對一般冪函數的圖象以及性質的影響.

3 理解技術，升華教學內容

高中數學是比較抽象的，可以將信息技術融入到教學的過程中，使其成為教學的一種工具，并與數學學習相輔相成，幫助學生更好地吸收消化所學內容.教師要在“理解數學”的基礎上“理解技術”，通過借助一些數學軟件來輔助教學，以很好地培養學生的數學抽象、直觀想象等數學學科核心素養.當數學“不能動”的時候，借助信息技術輔助教學，可以讓學生非常直觀地感受到、理解到、想象到，從而讓這些知識躍然紙上，活靈活現，更利于學生接受.借助信息技術來輔助教學，能使死板抽象的知識成為發展學生直觀想象素養的點睛之筆.

對于“冪函數”這節課，教師可以借助幾何畫板等軟件來輔助教學，利用信息技術來解決學生的困惑，通過動態的函數圖象來提高學生對函數圖象的認識，進而得到冪函數的性質，化抽象為具體，從而有效地促進教學，提高教學效率.

4 理解教學，精設教學過程

4.1 創設情境，講授新知

我們知道，函數可以來刻畫現實世界中的實際問題，先來看幾個實例：

（1）在疫情期間，某學校以1元/包的價格購買了w包口罩，那么學校需要支付的金額p是多少？

（2）某市建造的方艙醫院的俯視圖為正方形，其邊長為a，那么該正方形的面積S是多少？

（3）韓紅為山區孩子捐贈了很多文具，其中粉筆盒（正方體）的棱長為b，那么粉筆盒的體積V是多少？

（4）魔方一面的面積為S，那么這個魔方的棱長c是多少？

（5）如果醫院的救護車t s內行進了1 km，那么救護車的平均速度v是多少？

師生活動：從學生熟悉的、關心的生活實例出發，充分激發學生的好奇心.學生思考后得到相應的關系式.

4.2 概念構建，突破難點

問題1? 由以上實例得到的這五個關系式，它們是函數關系嗎？并說明理由.

師生活動：通過觀察思考，學生能得出這幾個式子是函數關系.在相應的取值范圍內，對于每一個確定的w，經過對應關系后，都有唯一確定的p與之對應.接著引導學生將自變量用字母x來代替，因變量用字母y來代替.

問題2? 觀察這五個函數的解析式，從自變量、函數值和解析式的結構特征來看，它們有什么共同特征？請同學們按小組討論.

師生活動：通過觀察并討論，學生歸納出共同特征——解析式都是冪的形式，其中底數為自變量，指數是常數，冪值前面的系數都是1.接著，在教師的點撥下，將它們表示成y=xa的形式，并命名為“冪函數”，其中x是自變量，α是常數.

問題3? 判斷下列函數是否為冪函數？如果不是，說明理由.

（1）y=x－2.1;? （2）y=3x3;

（3）y=3x;（4）y=x2+x.

師生活動：學生獨立完成之后展示交流，教師規范注意事項.

y=x－2.1是冪函數，冪的指數除了取整數外，還可以取其他實數.

y=3x3不是冪函數，xa前面的系數應該是1.

y=3x不是冪函數，冪函數的底數只能是自變量x，指數應該是常數.

y=x2+x不是冪函數，冪函數只有一項.

4.3 類比探索，整體認知

問題4? 在初中我們已經學習過幾種函數，結合以往學習函數的經驗，知道了一個函數的定義后，接下來研究什么呢？

追問1：在研究函數的圖象和性質之前，應先明確什么？

追問2：作出函數圖象以后，可以研究哪些內容？

師生活動：教師幻燈片動態展示研究路徑，如圖1.

問題5? 對于冪函數，我們只研究α=1，2，3，圖2

12，－1時的圖象與性質.這5個函數中有沒有你熟悉的函數？

利用幾何畫板畫出學生熟悉的三個函數的圖象，如圖2.請學生填寫表1.

表1

y=x

y=x2

y=x－1

定義域

值域

奇偶性

單調性

問題6? 如何畫出y=x3的圖象？

師生活動：學生能說出畫函數圖象的一般思路是列表、描點、連線.在教師的點撥下，學生能說出先畫出它在［0，+∞）上的圖象，再利用奇函數的圖象對稱性畫出整個定義域上的函數圖象.因此，作圖時可先根據解析式初步判斷函數的性質，進而簡化作圖過程.

對于y=x3而言，可以得出它的定義域為R，是一個奇函數，圖象關于原點對稱.

因此，可以先畫出它在［0，+∞）上的圖象，然后根據奇偶性畫出它在（－∞，0］上的圖象.根據圖象可以看出，它的值域為R，是在R上單調遞增.

對于y=x12而言，類比y=x3，根據解析式可以得到它的定義域是［0，+∞），是一個非奇非偶函數.畫出圖象之后，可以得到它的值域是［0，+∞），且在區間［0，+∞）上單調遞增.

問題7? 利用幾何畫板，把五個函數圖象放在同一個平面直角坐標系中，如圖3.觀察這五個函數圖象，請大家填寫表2，然后思考它們有哪些共同的性質？有哪些不同點？

表2

y=x

y=x2

y=x3

y=x－1

y=x12

定義域

值 域

奇偶性

單調性

師生活動：通過觀察，學生發現五個圖象都經過點（1，1），第四象限沒有圖象.學生能答出冪函數是形如y=xα的函數，當自變量x取1時，1的任何次方都是1;當x取正數時，不論α為何數，對應的函數值都是大于0的數，所以第四象限沒有圖象.函數y=x，y=x3，y=x－1是奇函數，函數y=x2是偶函數.

問題8? 是否可以對常數α進行分類？怎么分？

師生活動：學生先獨立思考，再分小組討論，最后師生共同總結.

當α為奇數時，函數y=xα是奇函數；當α為偶數時，函數y=xα是偶函數.

在（0，+∞）上，函數y=x，y=x2，y=x3，y=x12單調遞增；在（0，+∞）上，函數y=x－1單調遞減.因此，可以歸納為：在區間（0，+∞）上，當α>0時，y=xα單調遞增；當α<0時，y=xα單調遞減.

4.4 課時小結，知識建構

問題9? 本節課你學到了哪些知識？獲得了怎樣的研究問題的經驗？（學生自主總結后回答.）

4.5 布置作業，回歸拓展

必做題：教材第91頁的練習.

拓展題：自主探究一般冪函數是否具有上述性質，并寫出研究報告.

在新課程改革的背景下，教師“理解數學”，有利于把握整節課的教學脈絡，完善學生的認知結構；教師“理解學生”，關注學生的最近發展區，有利于選擇恰當的教學方法；教師“理解技術”，借助信息技術輔助教學，有利于學生認清知識的本質；教師“理解教學”，有助于實現教與學的內在統一.基于“四個理解”進行教學設計，是有效落實數學核心素養的關鍵所在.

參考文獻：

[1]章建躍.“第六屆全國高中青年數學教師優秀課觀摩與展示活動”總結暨大會報告 發揮數學的內在力量為學生謀取長期利益＼.中國數學教育，2013（Z2）：3-6，9，2，97.

[2]王琦，雷曉莉.“冪函數”教學設計＼.中國數學教育，2020（24）：14-18.