晰錯因 明本質 悟方法

陶來舟 吳躍

摘要：試卷講評是高三教學的主流形式，是發展素養的重要土壤.文章以一道高三模考題為例，從錯誤原因、修正問題、探究本質三個方面進行分析，最后給出優化高三教學的點滴感悟.

關鍵詞：錯題；核心素養；優化教學

荊岫之玉必含纖瑕，驪龍之珠亦有微纇.一道正確（優美）的題目可以讓人賞心悅目，一道錯誤（瑕疵）的題目同樣可以令人遐想萬千.本文中筆者以一道錯題為例，晰錯因、明本質、悟方法.

1 原題呈現

例1? 若函數f（x）=ex2+e-x2+mcos x在區間［0，+∞）上單調遞增，則實數m的取值范圍為（? ）.

A.（－∞，0］ ????B.－∞，e2

C.（－∞，1］

D.－∞，12

本題是華大新高考聯盟2023屆高三下學期4月教學質量測評（新教材卷）第8題.試題以指數復合函數和余弦函數構造的新函數為載體，考查利用導數研究函數的單調性和恒成立問題，考查學生的邏輯推理和數學運算核心素養.

下面是命題組提供的參考答案：

令f′（x）=12（ex2－e-x2）－msin x=g（x），則g′（x）=14（ex2+e-x2）－mcos x≥12－mcos x，當且僅當x=0時，等號成立.

當m≤12時，g′（x）≥0，則g（x）在［0，+∞）上單調遞增，可得g（x）≥g（0）=0，故f（x）在［0，+∞）上單調遞增.

當m>12時，g″（x）=18（ex2－e-x2）+msin x在0，

π2上單調遞增，又g″（0）=0，所以g′（x）在0，π2上單調遞增.因為g′（0）=12－m<0，所以x0∈（0，+∞），當x∈［0，x0）時，g′（x）<0，則g（x）≤g（0）=0，此時f（x）在［0，x0）上單調遞減，不合題意，舍去.

所以實數m的取值范圍為－∞，12.故選：D.

2 晰錯因，以往鑒來

2.1 錯因分析

因為m=－2時，g′（π）=14（eπ2+e－π2）－2<0，所以當m≤12時，g′（x）≥0不成立.起始筆者不以為然，以為是命題組的小失誤，稍作調整即可完善解答過程.但經過一番嘗試后，卻束手無策.此時回首題干，發現當m=－25時，f（π）=eπ2+e－π2+25>0，f（2π）=eπ+e－π－25<0，因此函數f（x）在［0，+∞）上不可能單調遞增.

2.2 答案探究

既然此種解題思路不能解決問題，只能另辟蹊徑.因為當x=kπ，k∈N時，g（kπ）=12（ekπ2－e－kπ2）≥0;當x∈（2kπ，2kπ+π），k∈N時，m≤ex2－e-x22sin x；當x∈

（2kπ+π，2kπ+2π），k∈N時，m≥ex2－e-x22sin x.令函數h（x）=ex2－e-x22sin x，借助GeoGebra可得－4.61≤m≤12.

注意：－4.61為精確到0.01的近似值.顯然，上述結果-4.61≤m≤12已經超出了常規解題的能力范疇.

2.3 題目修正

此題只需稍加修正，便可物盡其用，回歸命題初衷，起到單選題的把關作用，不失為一道難得的好題.

例2? 若函數f（x）=ex2+e-x2+mcos x在區間0，π2上單調遞增，則實數m的取值范圍為（? ）.

A.（－∞，0］

B.－∞，e2

C.（－∞，1］

D.

－∞，12

此題答案為選項D，解答過程參考例1，此處省略.

3 明本質，追根溯源

題目修正為例2，看似完美解決了問題，但事與愿違，新的思考卻剛剛開始.通過參考答案，不難發現題干條件就是［0，+∞），而不是筆誤.這時不禁會想：“答案中的臨界值12是怎么來的，是什么支撐著命題組即使出現錯誤也要討論下去？”分析后不難發現，問題就出現在“端點效應”上.因為g（0）=0，且g′（0）=12－m，根據“端點效應”，只需12－m≥0，即m≤12，此時g（x）≥g（0）=0，所以函數f（x）在［0，+∞）上單調遞增.相信大多數教師（學生）都用過此方法解題，特別是客觀題，而且大多題目屢試不爽，但是為什么在此題就失效了呢？

定理? （連續函數的局部保號性）設函數f（x）在點x0連續且f（x0）>0（或f（x0）<0），則存在x0的鄰域U，對于任意給定的x∈U，有f（x）>0（或f（x）<0）＼.

根據上述定理不難找到困惑所在，“端點效應”只能在局部滿足，不能保證整體.如例1，函數f（x）在［0，+∞）上不單調，但是局部卻滿足，于是把范圍縮小到0，π2，“端點效應”就又可以“使用了”.

例3? 〔2020年新課標I卷（理科）節選〕已知函數f（x）=ex+ax2－x，當x≥0時，f（x）≥12x3+1，求a的取值范圍.

例4? （2022年新高考全國Ⅱ卷節選）已知函數f（x）=xeax－ex，當x>0時，f（x）<－1，求a的取值范圍.

例3用“端點效應”得到的范圍是必要不充分條件（解答略），例4用“端點效應”得到的范圍是充要條件（解答略）.通過以上分析不難發現，“端點效應”只能給解題提供一個大致的思考方向，得到一個必要條件，然后再結合證明判斷是否為充要條件.

4 悟方法，優化教學

試卷講評是高三教學的主流形式，是發展素養的重要土壤.教學時要善于發現問題，啟發學生思考并理解數學本質，引領學生真正喜歡數學.

4.1 激發學生善于思考，做示范者

《普通高中數學新課程標準（2017版2020年修訂）》要求：“通過高中數學課程的學習，樹立學生敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神.”2021年4月，習近平總書記在清華大學考察時強調：“教師要成為“大先生”，做學生為學、為事、為人的示范，促進學生成長為全面發展的人.”＼善于思考不能流于形式，不是教師在課堂上強調幾遍就敷衍了事；善于思考也不能放手交給學生，因為學生缺少思考經驗只會走入另一誤區.教師應該以身作則做示范者，通過精選試題、練習和精心設計教學環節引導學生去思考.

4.2 高屋建瓴指點迷津，做指導者

高中數學試題紛繁復雜，解法靈活多變，學生的思維更是光怪陸離（天馬行空）.要提高教學效率，就需要教師提高個人專業水平.《中學教師專業標準》要求數學教師要以素養為依托，通過實踐，掌握教學所需的基礎知識，提升教書育人的基本能力.以其昏昏，使人昭昭，只會讓學生越來越迷糊.以導數的教學為例，在這一模塊中，存在許多易造成解題思維障礙的問題：①知識間的不等價轉化，如“單調性與導函數的符號”“極值點與導函數的零點”等；②方法間的不等價轉化，如“端點效應”“拉格朗日中值定理”等；③存在很多高等數學知識，如“洛必達法則”“泰勒展開式”等.這些問題在學習和解題時都會給學生帶來不小的困惑，需要教師高屋建瓴指點迷津.打鐵還需自身硬，教師應該自己先搞清楚，做個明白人，才能在教學中“不畏浮云遮望眼”.

4.3 引領學生學會學習，做引路者

高三教學因為教學任務重、教學時間緊，很多都是“滿堂灌”，筆者有時也不得已而為之.“滿堂灌”的教學方式看似完成了教學任務，實際教學效果卻不佳，教師課后的心滿意足、“揚揚得意”也只是一種自我慰藉而已.講過的題目學生仍然不會，這種情況屢見不鮮，究其原因就是學生是被動的“接受者”，課堂上看似學習了很多，但真正“動手操作”的太少.因此，教師要做學生學會學習的引路者，引領學生變被動為主動，在教學中踐行“一題一課”“深度學習”等新的教學理念，讓課堂“慢下來”，讓效率“提上去”.

參考文獻：

[1]楊松林.非連續導函數的局部保號性＼.大學數學，2019，35（6）：66-69.

[2]新華社.習近平在清華大學考察時強調：堅持中國特色世界一流大學建設目標方向 為服務國家富強民族復興人民幸福貢獻力量＼.人民日報，2021-04-20（01）.