數學學習內容結構化的教學認知

摘? 要：學習內容結構化是課程標準的重要理念，是體現知識整體性學習的關鍵形式，但課堂落實缺乏有效的組織形式. 知識聯系、認知路徑、數學觀念結構化是學習內容結構化的主要策略，是增強知識牢固性、促進知識生長與高效遷移、加強知識整體性的有力手段，是實現從知識教學向素養培育轉變的關鍵.

關鍵詞：內容結構化；教學策略；教學意義

中圖分類號：G632???? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1673-8284（2024）01-0017-07

引用格式：侯寶坤. 數學學習內容結構化的教學認知［J］. 中國數學教育（高中版），2024（1）：

17-22，38.

作者簡介：侯寶坤（1973— ），男，正高級教師，主要從事數學教育教學研究.

一、高中數學學習內容結構化的背景

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）的課程目標指出，數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，這些素養是相互交融的有機整體，要關注核心素養的綜合性和整體性. 學習內容結構化是修訂課程標準的重要理念. 為此，高中數學新教材的內容及編排結構都進行了調整，理解和實施學習內容的結構化有助于準確落實課程標準精神，實現由“教知識”向“育素養”轉變. 學生對數學的理解不僅包含對數學知識的理解，還包含對數學思維方式和思想觀念的理解，這種理解應當是整體性的結構化理解.

現有人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版新教材的章末小結中都有“本章知識結構”，體現了新課程對知識結構化的重視. 但是這些結構圖基本是知識教學順序的概括再現，是線性排列，主要集中在已學知識的先后順序上，未能彰顯知識聯系的復雜性和緊密性. 同時，結構化的對象僅體現在知識層面上，形式單一，未能突出數學思維的特征和人們認識數學的個人體驗. 目前，教師對單元教學設計已經有了新的認識，有加強知識聯系的初步行動，但是學習內容結構化仍顯不足，重視程度還不夠. 教學中多維度、多時段、高頻率進行學習內容結構化是實現核心素養培育的關鍵，也是迫切需要加強的教學工作.

二、學習內容結構化的內涵與形式

結構化是指將所學知識加以歸納統整，并將其條理化、綱領化. 學習內容結構化是將已學知識和即將要學習的知識按照某種邏輯順序組織到一起，并找出知識間存在的各種聯系，使之成為一個聯系緊密的知識群體，構成一個結點豐富的知識網絡. 心理學研究表明，將散落各處的知識匯聚、結構化，可以增強學習的牢固性，加大知識存儲，提高知識的檢索速度和有效提取機會. 高中數學學習內容結構化，就是根據所學知識的數學功能，將知識聯系起來，形成知識圖式的網絡系統，從而強化學生對知識體系的整體性認知，提高學生對知識的記憶與理解，增加知識多方位提取與遷移的路徑，促進知識創新.

高中數學學習內容結構化主要有：知識聯系結構化、認知路徑結構化、數學觀念結構化. 知識聯系結構化指依據數學知識的內在邏輯，通過核心知識（概念）對有關聯的知識進行匯聚，形成知識網絡；認知路徑結構化指借助學科專家認識數學對象所形成的典型認知路徑來組織知識的學習順序，讓學生體會數學研究的一般方法和典型范式，學會認知方法，提高學習能力；數學觀念結構化指對數學知識進行更加抽象地概括和總結，尋找具有廣泛指導意義的學科觀念，這些觀念可以是歷史形成的數學思想、方法，也可以是個人學科理解、學習經驗的高度概括和凝練.

三、學習內容結構化的教學策略

教學中既要重視靜態知識的聯系，更要重視知識結構的動態形成過程. 在重視知識結構化的同時，重視認知過程和個人學科觀念的結構化. 教學中，依據不同學習內容的特征，構建結構化的知識圖譜，幫助學生形成網絡化的知識結構和開放式的認知模式.

1. 知識聯系視角下的學習內容結構化

高中數學學習內容豐富，體系復雜，涉及不同的數學分支. 通過引導學生尋找知識之間的“親緣關系”，建立聯系緊密、有序多級的“知識譜系”，厘清知識之間有價值的聯系. 幫助學生對學習內容進行結構化處理，建立知識之間的聯系，有利于學生條理清晰地掌握所學知識，更好地理解和應用知識. 以滬教版《普通高中教科書·數學》中函數知識的學習為例，在高三階段復習函數的概念時，教師與學生一起梳理函數與相關知識的聯系，共同繪制基于知識聯系的結構圖，如圖1所示.

尋找函數親緣關系的過程就是對相應知識理解深化的過程. 在聯系方式具體化的過程中，會涉及對多個知識點的理解和溝通，方法的選擇，思想的領悟. 例如，對函數[y=2x4x+1]的值域的求解，在上述知識聯系結構化的視角下，可以選擇尋找常用函數[gx=2x]，[fx=xx2+1]進行換元轉化，也可以用求導、定義的視角分析單調性來處理，還可以在方程[y2x2-2x+y=0]有解的視角下分析逆對應的性質，甚至可以借助軟件畫出函數圖象求解.

通過對函數知識結構化的理解，學生更能體會“對應法則”這個核心知識的連接與統帥作用，函數的對應規律決定以什么方式具體對應，具有怎樣的性質，性質反過來也能影響三要素的特征. 其中，單調性是性質的核心，連接最為廣泛，是函數動態特征的體現；奇偶性、周期性是函數研究工作量減小的關鍵；零點、極值、最值反映函數值的特殊情形. 特殊函數既是性質應用的載體，也是概念和性質的抽象基礎，揭示了函數的研究方法——圍繞要素研究性質. 通過結構化將高中階段與函數有關的知識融為一體，可以深刻理解函數知識體系，系統、深入地認識函數在不等式、方程、幾何、概率與統計等各個知識模塊的滲透和應用，體悟函數研究中蘊含的從特殊到一般、從一般到特殊、宏觀與微觀結合、數形結合等思想方法，明晰函數在高中數學中的核心地位.

2. 認知路徑視角下的學習內容結構化

認知路徑指依據數學知識的組成和邏輯順序，對其本質特征和發展變化的規律進行梳理，進而形成相對穩定的認識與研究路線. 為發展關鍵能力、培育核心素養、提升學生學習能力，教師有必要通過學習活動引導學生梳理認知的邏輯鏈條，提煉關鍵的認知環節，將知識依據邏輯發展順序緊密地組織起來，用模式化的思想，構建典型的、穩定的具有示范功能、可重復再生的認知模式，幫助學生解決“從哪想”和“怎樣想”的問題，從而提高學生的自主學習能力. 典型的認知路徑結構化有概念認知結構化和解題思路結構化.

（1）概念認知結構化.

概念是數學研究的基本單元，是相關數學知識發展的原點. 數學概念包括組成概念的要素（數學對象）和要素間的聯系方式. 數學概念給出的是一類對象的共同本質特征，是充要條件. 判斷是概念的充分條件，性質是概念的必要條件，它們的逆命題為真時，就可以形成一組與原概念等價的概念形式. 判斷與性質是理解概念的關鍵，應用則是概念的價值所在. 基于上述理解，可以構建概念形成與理解的認知路徑結構，如圖2所示.

通過函數單調性的學習，檢驗高一學生概念結構化的認知過程，教師讓學生畫出函數[y=2x-3]，[y=x3]，[y=-3xx>0]的圖象，觀察并歸納圖象的共同特征，進一步抽象為自變量與函數值之間的代數關系，從而形成“增函數”的概念. 然后通過例子[y=-3x]，[y=x2-2x-1]進行反思，形成更廣泛的“單調增”“單調減”的概念. 依據概念結構化的認知模式，通過函數的組合，學生還主動研究了[y=x3-3x，y=-32x-3x，y=-3x2-2x-1，][y=x3+x2-2x-1]等和函數、積函數和復合函數的單調性，既加深了定義判斷價值，又形成了新的判斷方法. 根據單調性，學生還畫出了上述函數的草圖，順勢研究了函數的最值和解的情況，體會了單調性的應用價值. 根據自變量增量與函數值增量的符號關系，發現了新的等價概念，為導數概念的建立和應用埋下了伏筆. 認知過程結構化的推進過程如圖3所示.

（2）解題思路結構化.

數學概念的認知是數學學習的起點，是奠基工程. 而解題教學則是學生每天都要面對的問題，是直接感受學習價值的過程，是提振學習信心的關鍵，是點燃數學學習的“種子工程”. 通過解題既能將抽象的概念、原理具體化，也能將方法熟練化、思想領悟深刻化. 借助波利亞的解題表和喻平的CPFS理論，構建有指導意義的解題思路結構化認知路徑，如圖4所示.

依據解題思路結構化可以迅速打開學生的思維，聯通更廣泛的知識，發現更多解題視角，形成各種各樣的突破路徑. 例如，對于下面這道題目，學生用解題思路圖探索，形成了許多想法，由單一的“就題論題”上升到了“就題論道”.

題目? 已知[fx=x2+ax x≠ 0，常數a∈R].

（1）討論函數[fx]奇偶性，并說明理由；

（2）若函數[fx]在[2，+∞]上為增函數，求[a]的取值范圍.

對于該題，詳細解題過程省略，學生解題思路結構圖，如圖5所示.

利用解題思路圖能跳出問題想方法，更容易掌握通性通法，避免亦步亦趨、支離破碎的解題模仿；結構化解題使學生站在更高的視角考慮問題，解決方法更具有一般價值，應用也更加廣泛.

3. 數學觀念視角下的學習內容結構化

觀念問題是人類認識與理解的基本問題，影響每個人對認知的理解與實踐活動. 數學觀念是學生對數學知識的概括性認識，反映了學生對數學的基本看法，潛移默化地影響著個體學習數學的行為. 數學觀念通常是具有極強的解釋力和凝聚力的核心概念和數學思想，以及學生個人形成的深刻體悟. 數學觀念強的人會主動運用數學知識、數學方法及數學思想思考和處理遇到的問題，《標準》提出的“會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”“數學是研究數量關系與空間形式的科學”“數學核心素養”等都是典型的數學觀念.

一類數學觀念是在數學發展過程中磨礪、提煉的，貫穿數學某個階段、分支或整個數學發展的核心概念，如函數、極限、隨機現象等；也有前輩總結的，對數學學習具有方法指引價值，對認知有方法論意義的數學思想，如公理化思想、模型化思想、函數與方程思想、數形結合思想等. 方程是貫穿數學發展過程的重要概念，是有創新價值的核心知識和基本數學思想，將其作為核心的數學觀念，可以統領高中數學眾多模塊的知識. 方程既能反映客觀世界的宏觀現象，也能刻畫客觀世界的微觀機理；既能反映靜態的平衡特征，也能揭示動態的依存關系；既能建立數量聯系，也能描繪圖形關系. 通過圖6所示的方程觀念結構化過程，將高中所學知識聚攏起來，形成一個從相等到不等、從實數到復數、從代數到幾何、從數到形、從平面到空間的整體結構，實現知識與方法的融會貫通，突破模塊界限，實現知識跨越. 利用數學觀念結構化的統帥功能，能夠引導學生轉變方式、優化策略，增強學習的全局意識，融知識、方法、思想于一體，提高學習質量，促進知識和思維的多維增值.

還有一類數學觀念則是學生個人體悟形成的關于知識的概括性理解. 這類數學觀念的形成是學生對知識理解的關鍵，是學生思維的結晶、成果的凝聚，對后續認知活動的思維和行動方式有較大影響.“單個對象研性質，多個對象尋關系”是筆者研究數學問題形成的基本觀念. 除了幾個樸素的概念外，其他數學概念與對象都是在多個知識關聯的基礎上形成的. 數學研究的重點是數學對象的關系，創新點在于通過關聯不同對象形成研究內容. 關系是數學研究中最重要的內容，奠定了關系觀念就抓住了數學學習的靈魂. 基于數學關系觀念結構化，形成了如圖7所示的數學學習結構化圖式.

對實數[a，b]，基于實數運算關系有[a2+1b2+1=][ab2+a2+b2+1]. 如果繼續基于運算關系并加入邏輯關系的否定，對[a，b∈C]，上述運算依然正確. 如果[a，b]為向量a，b，就變成了[a2+1 · b2+1=][a2b2+a2+b2+1≥][a ? b2+a2+b2+1]. 基于數量關系，[a2+1b2+1=][ab2+a2+b2+1]是等量關系，如果用[a2+b2≥ ±2ab]進行放縮，就得到[a2+1b2+1≥ ab±12]，對右側取不同組合可以得到6個不等式. 基于強弱抽象關系，也可以得到[a2+1b2+1c2+1≥ ab+bc+ca-12]等一系列不等式. 基于邏輯關系，如果[a2+1b2+1

基于關系觀念結構化的學習，由于各種關系的加入，思維一直處于多維開放、各方關聯的狀態，一個簡單對象涉及的知識也變得豐富了，不同的知識交融在一起，促進了知識理解的深入、深刻，單一知識的學習不再是碎片化狀態，知識和方法也獲得了更多的創新機會，關系結構化學習更容易找到知識的內核，提高知識的凝聚力.

四、學習內容結構化的教學意義

1. 學習內容結構化，使知識更牢固，更易于提取

對于單個知識的學習，學生更傾向于記憶而非理解，很容易遺忘. 要想知識不被遺忘，最好的方式就是提高知識的使用頻率，將其嵌入系統中，通過其他知識的激發，不斷帶動，使其經常處于“工作狀態”. 結構化的學習使知識之間建立了邏輯聯系，捆綁在一起，有重復喚醒的機會，在結構中只要有結點連接，就有被喚醒的可能，結構化知識的牢固性遠勝于離散的知識點. 同時，結構化知識的關聯廣泛使得被喚醒的機會增加，關聯緊密使得被喚醒的強度加大，參與其他知識的學習就會更深入，也必然會促進知識理解的再深入和再深刻，從而再次拓展知識聯系的廣度和深度，進一步加深知識的牢固性和應用的易感性.

2. 學習內容結構化，促進知識的孕育與生成

對于結構化的學習內容，學生能自覺關注知識的內部結構，主動挖掘其構成要素，進而促進對知識的深入理解. 例如，函數概念中蘊含了自變量與函數值的對應關系，自變量與函數值到底是怎樣對應的？宏觀表現與微觀機理是什么？這些就孕育了對單調性和對稱性的探求. 由于結構化的關聯廣泛，易于從橫向上融通思考，生長出新的綜合性知識. 從函數單調性和奇偶性的并列關系去綜合考量，會生成奇函數和偶函數的單調性規律. 如果跳脫到導函數，又可以生成導函數與原函數對稱性關系的探求，從而生成更具跨度與深度的知識. 結構化的學習知識縱橫捭闔，可以觸動思維發散與匯聚，形成知識碰撞和融會貫通，形成新的知識生長點和思維激發點，從而帶動新一輪學習活動的開展.

3. 學習內容結構化，實現知識的高效遷移

結構化的學習內容，形成的思考路徑具有典型性、可復制性，是具有指導意義的通性通法，在新情境中更容易被聯想，更容易發散到其他知識，也具有靈活的變通性，更適用于遷移到新情境中使用.

要學到整體化的知識，就必須讓學生在結構化的環境下領略知識的全貌，才能抓住具有統帥作用的核心知識，才能領悟數學思想與方法的精髓，進而實現由一到萬的遷移. 通過結構化的知識學習，學生能主動捕捉知識關聯，對同類知識進行歸納形成有普適性功能的解決思路和有指導價值的學科觀念，從而帶來知識的高效遷移.

五、結束語

基于學習內容結構化的教學，采取“總—分—總”的單元教學策略，學習活動始終處于“先見森林，后見樹木”的狀態. 學生先對知識有一個整體式的框架認知，后續學習就容易找到有學習價值的知識，不會迷失學習的方向. 在新授課教學中，不僅要落實每個知識點的學習，更要善于將這些知識點組織起來，凝聚在一個系統中，強調知識的聯系，在系統中認識知識的地位與功能，從知識的相互作用中體會知識的價值，形成知識應用的典型路徑，通過所學知識的結構化幫助學生掌握“從哪進”“怎樣行”“如何出”的思維方式，逐步形成基于個人深刻理解的學習策略和數學觀念. 在復習課教學中，通過引導學生繪制概念圖、方法流程圖等策略，診斷學生的知識結構化水平，同時助力學生將零散的知識整合到結構中，增加學生的知識容量和記憶的牢固性，提高應用過程中知識檢索的速度；增強學生已有知識結構化，在問題解決的過程中著力于認知思路的結構化，打造準確、快捷的求解路徑，提高思維的簡約性；讓學生在結構關聯的過程中提煉有統攝作用的數學大概念和學科觀念，形成具有個體特征的數學學習思維和關鍵能力，在結構化學習的過程中提升數學核心素養.

參考文獻：

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