基于數(shù)學(xué)問題解決的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)與功能教學(xué)探索

中圖分類號：G434文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A論文編號：1674-2117（2025）13-0034-05

《中小學(xué)人工智能通識教育指南（2025年版）》與《中小學(xué)生成式人工智能使用指南（2025年版）》（以

下簡稱《指南》）的頒布，標(biāo)志著我國基礎(chǔ)教育領(lǐng)域在人工智能教育方面邁入了一個新的發(fā)展階段。根據(jù)國家政策，眾多以人工智能為主題的本地教材和通識課程教材相繼出現(xiàn)。在實踐操作方面，大多數(shù)教材或以人工智能算法為主，或以人工智能模型訓(xùn)練為主，但受限于運行設(shè)備性能和算力支持等硬件條件，普通學(xué)校課程實施會存在條件瓶頸。鑒于此，筆者通過初步實踐，探索了一種針對欠發(fā)達(dá)地區(qū)的基于數(shù)學(xué)問題解決的人工智能通識教育跨學(xué)科學(xué)習(xí)策略，在一定程度上彌補了學(xué)生在人工智能原理“認(rèn)知”和算法“思維”學(xué)習(xí)方面的不足，力求結(jié)合“算法”邏輯主線提高學(xué)生跨學(xué)科解決數(shù)學(xué)問題的“技能”，綜合塑造人工智能應(yīng)用“價值觀”。

通過對直線方程函數(shù)及其圖像的觀察，解析神經(jīng)元與數(shù)學(xué)問題解決中的相似過程

新一代人工智能是以基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機器學(xué)習(xí)為核心的，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)原理是通過構(gòu)建“多層感知機”，利用輸入層、隱藏層（可多層）、輸出層以及加權(quán)求和、激活函數(shù)等要素構(gòu)造數(shù)據(jù)處理模型。對該原理的學(xué)習(xí)實踐難度主要體現(xiàn)在人工智能設(shè)備性能、算力和相關(guān)算法的設(shè)計上，而非知識概念的復(fù)雜性。因此，筆者嘗試從最基礎(chǔ)的直線方程等數(shù)學(xué)問題著手，圍繞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的神經(jīng)元進(jìn)行數(shù)據(jù)處理、傳播的機制展開概念與方法的認(rèn)知學(xué)習(xí)。

1.在數(shù)學(xué)問題中，認(rèn)知“倍數(shù)”表達(dá)的線性關(guān)系

數(shù)學(xué)問題：小強每天爬樓梯到教室，他想利用樓梯規(guī)律了解教室離地面有多高。經(jīng)過抽樣測量，他發(fā)現(xiàn)除去進(jìn)樓的樓梯高10厘米之外，從第1級臺階起，每一層臺階高度都是15厘米。他共爬了30級臺階，這時樓面離地面有多高？臺階級數(shù)與高度存在什么計算關(guān)系？

經(jīng)過對第1級、第2級、第3級臺階離地高度的逐步推導(dǎo)，可總結(jié)出每一層臺階增加的高度與樓梯總高度之間存在“倍數(shù)”關(guān)系，這一關(guān)系被視為線性關(guān)系。至于門口小臺階等特殊高度，可作為“偏置”數(shù)據(jù)最后補充相加，并不將其作為計算重點。

2.直線方程與神經(jīng)元對應(yīng)要素的分析

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，直線方程本質(zhì)上是應(yīng)用線性關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)方式的表達(dá)。通過分析，可以將直線方程一般式y(tǒng)=kx+b與神經(jīng)元處理（一個數(shù)據(jù)時）輸入x、乘以權(quán)重k、再加偏置b的計算過程進(jìn)行類比。

針對前述數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入分析，題中到達(dá)的總高度是單層臺階高度的30倍，再加門口臺階的高度10，即為y =30?15+10 在直線方程中，自變量 x=15 是輸人量，斜率 k=30 是臺階數(shù)據(jù)的“權(quán)重”（倍數(shù)），而截距b ₌₁₀ 則表示對特定部分進(jìn)行微調(diào)的“偏置”。最終，計算出的y數(shù)值，可作為輸出量。通過對比分析，可繼續(xù)將這一過程表達(dá)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中某一個神經(jīng)元對一個輸入量的計算通式： WX+b₀ 其中，權(quán)重用w表示僅僅是英文“weight”的原因。

3.觀察直線方程函數(shù)，分析權(quán)重、偏置的作用

在直線方程中，斜率對直線的影響來源于通過k控制x值參與計算的比率，從而影響y值的大小及變化趨勢，可通過繪制并觀察其函數(shù)圖像來進(jìn)行分析理解，步驟如下：

第一，f（x）=wx+b運算，是輸入一個x值，加權(quán)w后產(chǎn)生函數(shù)值，如獲得任意某層臺階所處的離地總高度。

第二，在紙上繪制坐標(biāo)系，將（x，f（x）） 作為坐標(biāo)進(jìn)行畫點標(biāo)記，再將如 |（x₁，y₁），（x₁，y₂）^……（x_n，y_n） 等多個點相連，以連點作圖觀察函數(shù)圖像的樣式——直線。

第三，用豆包生成代碼并適當(dāng)修改，設(shè)計適合自己認(rèn)知水平的直線方程圖像繪制程序。然后，通過多次交互操作來變化參數(shù)繪制圖像，并進(jìn)行可視化對比觀察研究。在進(jìn)行動態(tài)觀察、分析方程各項參數(shù)的意義的過程中，觀察斜率k如何影響直線的方向，即k影響所有y值變化的規(guī)律與趨勢。注意對比觀察，不同偏置b對平行移動直線的跨度影響。

第四，通過比對程序運行時自定義參數(shù)與函數(shù)圖像變化現(xiàn)象，深入分析程序內(nèi)部關(guān)鍵代碼的相關(guān)功能，深刻理解如何利用單一神經(jīng)元來處理特定數(shù)據(jù)。在此過程中，先要理解“數(shù)據(jù)輸入”后，如何根據(jù)自變量范圍生成一系列數(shù)據(jù)并以列表（向量）形式存儲，再對計算過程中的循環(huán)結(jié)構(gòu)功能進(jìn)行分析，理解算法如何依次取出x[i]，并將它們分別乘以相同的“權(quán)重”的值w[i]，最后加上“偏置”值b，得到一組“輸出量”數(shù)據(jù)列表（向量）作為描點繪圖的各個y坐標(biāo)。值得注意的是，一個點的坐標(biāo)計算即使用一次神經(jīng)元，x列表是多次用該神經(jīng)元來產(chǎn)生更多y值，這與后面的多個x共同參與同一神經(jīng)元的一次運算并不相同。其中，偏置值b可以根據(jù)需要來使用，也可以為0，這意味著沒有特定數(shù)據(jù)需要單獨參與運算。模擬神經(jīng)元進(jìn)行加權(quán)生成多點坐標(biāo)的相關(guān)代碼示例如圖1所示。

4.探究多樣化的權(quán)重對圖像 的影響

通過觀察數(shù)學(xué)函數(shù)圖像，并與程序代碼功能對應(yīng)，進(jìn)一步探究權(quán)重W值固定對數(shù)據(jù)影響的局限性。探究如何改進(jìn)算法，輸入不同x后應(yīng)用不同權(quán)重進(jìn)行加權(quán)運算。由此，推導(dǎo)多權(quán)重的函數(shù)式f（x）=w_ix_i+b 的計算規(guī)律。觀察圖像發(fā)現(xiàn)與原直線方程比較新圖中每個點所處的斜率是變化的，那么，連點繪圖會產(chǎn)生什么線呢？同一神經(jīng)元權(quán)重不穩(wěn)定帶來的變化，可用模擬代碼表示（如圖2）。

分析可見，在利用相似神經(jīng)元處理數(shù)據(jù)時，若“權(quán)重”不同，如權(quán)重是-0.5還是0.5，則輸出值將大不相同，能夠更多樣化地影響數(shù)據(jù)運算，可見權(quán)重的重要性。

以評估模型、預(yù)測方案為例，探究多個輸入信號的“加權(quán)求和”及“激活”機制

為進(jìn)一步探索具有多個輸人量參與運算的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)，讓更多樣

本數(shù)據(jù)參與同次運算來影響結(jié)果，可設(shè)計更豐富的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探究。

1.分析數(shù)學(xué)問題中的多輸入值、權(quán)重、偏置計算

數(shù)學(xué)問題：周末，小麗做水果沙拉，需要處理三種水果，每種水果的處理時間不同，且有固定的洗盤子、搭配攪拌等時間。已知：削切1個蘋果需要2分鐘（權(quán)重 w₁=2 ；剝切1根香蕉需要1分鐘（權(quán)重 ΔW₂=1Δ ；摘切1顆草莓的蒂需要0.5分鐘（權(quán)重 W₃=0.5 ）。另外的工作固定需要10分鐘（偏置b ?10 。

若小麗做沙拉要用x1個蘋果、x2根香蕉、 x3 顆草莓，總共需要多少時間？

作為數(shù)學(xué)題，如果是小學(xué)可通過乘法、求和進(jìn)行四則運算學(xué)習(xí)，初中則可通過簡單的數(shù)列、函數(shù)學(xué)習(xí)，高中則可通過向量、矩陣、集合等運算學(xué)習(xí)。不論哪個學(xué)段，解決問題都要聚焦于“對一組數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)求和”。

2.生成程序模擬神經(jīng)元“加權(quán)求和”的算法

對多個輸入量“加權(quán)求和”可有多種算法，低年級學(xué)生可以使用傳統(tǒng)循環(huán)算法或列表內(nèi)部循環(huán)進(jìn)行 W_i*X_j 計算學(xué)習(xí)，高級學(xué)生可基于向量知識使用np.doc（x，w）函數(shù)進(jìn)行內(nèi)積計算學(xué)習(xí)。此題偏置最后只加一次，每種水果不需要偏置。用一個神經(jīng)元對多個輸入值加權(quán)、求和的模擬程序如下頁圖3所示。

3.應(yīng)用激活函數(shù)進(jìn)行函數(shù)值的分布研究

小學(xué)數(shù)學(xué)需要學(xué)習(xí)比較數(shù)據(jù)的大小，初中階段學(xué)習(xí)如何用不等式、分段函數(shù)確定數(shù)據(jù)范圍，高中階段采用數(shù)列、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、概率等知識構(gòu)造數(shù)據(jù)集及數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用等。這些都離不開數(shù)據(jù)采集、處理與控制數(shù)據(jù)變化規(guī)律等運算處理。例如，用絕對值函數(shù)可以保證獲得正值，用正弦函數(shù)則可以在-1至1的區(qū)間內(nèi)表現(xiàn)周期性振蕩規(guī)律等。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的激活函數(shù)，其作用在于描述神經(jīng)元輸出數(shù)據(jù)的特征，讓滿足特定條件的數(shù)據(jù)或其特征得以繼續(xù)傳遞至下層神經(jīng)元處理，抑或直接輸出表達(dá)類別、概率等。

例如，激活函數(shù)ReLU，英文

colors =[¹b^′ ， ∵g^′ ， 1r^′ ， ∵c^′ ， \"m^′ ，'y'，'k']#定義顏色列表

color_cycle Σ=Σ itertools.cycle（colors）#用itertools.cycle實現(xiàn)顏色循環(huán)

#生成多點的 x 數(shù)據(jù)x=[i foriinrange（int（×_range[O]），int（x_range[1]） + 1）]#生成×1＼～xn列表#直線方程：應(yīng)用同樣的權(quán)重W與偏置b x[i] +b foriinrange （len（x））] #生成y1＼～yn列表current_color next（color_cycle） #獲取當(dāng)前顏色ax.plot（x，y，f'{current_color}-'， #繪制

名為RectifiedLinearUnit，其本意即“修正線性單元”，是深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域中應(yīng)用最為廣泛的激活函數(shù)之一。函數(shù)表達(dá)式 f（x）=np maxnum Λ（0，x） ，即指當(dāng)輸入值為正時，直接輸出該值，當(dāng)輸入值為負(fù)時，則輸出0。此函數(shù)因僅需判斷數(shù)值是否大于零，在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等特征

import numpyasnp

#定義加權(quán)求和函數(shù)模擬神經(jīng)元

def f（x，w，b） ：#×、W為對應(yīng)列表，b為數(shù)值if Ien（×） 二 I=len（w） ：#校驗×、W數(shù)據(jù)量相等raiseValueError（\"輸入和權(quán)重的長度必須為3\"）s=sum（[w[i]*x[i]foriinrange（ ∣en（x））∣）+b #循環(huán)計算：對應(yīng)加權(quán)，列表求和 （2 井向量計算：dot為向量內(nèi)積計算，對應(yīng)數(shù)據(jù)相乘returns

w=[2 ，1，0.5] 井處理每類一個水果的不同用時作權(quán)重

（2 x=[3 ，2，10] #使用的不同水果數(shù)量

（20 #其他時間

t=f（x ，w，10） #執(zhí)行加權(quán)求和

print（'做沙拉的總時間：'，t）

提取任務(wù)中優(yōu)勢明顯。探究該函數(shù)圖像的主要代碼示例如圖4所示。

再如，Sigmoid激活函數(shù)是利用指數(shù)函數(shù)巧妙構(gòu)造運算，讓輸出值范圍在0～1之間，具有平滑可導(dǎo)的特性，在輸入、權(quán)重、輸出等計算中都經(jīng)常使用。在機器學(xué)習(xí)中，往往在最后用激活函數(shù)Sigmoid將模型的輸出映射到0到1之間，用于表示樣本數(shù)據(jù)屬于某一類別的概率等。并且，也可以用在隱藏層的數(shù)據(jù)處理過程中，用它將任意范圍的輸入值映射到（0，1）區(qū)間，實現(xiàn)數(shù)據(jù)歸一化預(yù)處理，減小數(shù)據(jù)特征之間的尺度差異；還可以在注意力機制中的權(quán)重計算時應(yīng)用，如在自然語言處理中用于計算注意力權(quán)重，將求和等處理獲得的“分?jǐn)?shù)”映射為0到1之間的系數(shù)，表示信息的重要程度等。Sigmoid的函數(shù)圖像繪制關(guān)鍵代碼如圖5所示。

4.預(yù)測自己的方案完成概率

數(shù)學(xué)問題：假設(shè)小麗希望根據(jù)水果數(shù)量預(yù)測“是否能在30分鐘內(nèi)完成沙拉制作”，并將完成概率作為評估指標(biāo)，科學(xué)確定自己選擇合適量的水果搭配。

針對本題，可引入Sigmoid激活函數(shù)，將線性時間計算結(jié)果映射為0到1之間的概率值，即用Sigmoid將總時間t映射成結(jié)論：“當(dāng)p lt;30 時大概率完成”或“當(dāng)pgt;30時大概率無法完成”或“當(dāng)p ?=30 時臨界狀態(tài)，需要注意及時完成”。主要激活函數(shù)的算法代碼如圖6所示。

綜上所述，通過開發(fā)簡單程序逐步解決數(shù)學(xué)問題，可以幫助學(xué)生理解人工智能基礎(chǔ)知識，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)元工作流程。這種方法能培養(yǎng)學(xué)生使用算法繪制函數(shù)圖像以及分析問題和解決問題的技能。通過模擬神經(jīng)元的單、多“輸人”“權(quán)重”“偏置”“求和”等計算， 預(yù)處理、隱藏層的數(shù)據(jù)計算與激學(xué)生可以深人掌握輸入層的數(shù)據(jù) 活、輸出層的數(shù)據(jù)輸出等關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

這種跨學(xué)科學(xué)習(xí)方式有助于系統(tǒng)提升學(xué)生的人工智能素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1中華人民共和國教育部.中小學(xué)人工智能通識教育指南（2025年版）[Z].2025

[2]中華人民共和國教育部.中小學(xué)生成式人工智能使用指南（2025年版）[Z].2025.