“新形勢”背景下康奈爾筆記法在自動控制原理課程建立數學模型教學中的探究

裴玖玲 王憲磊 閆同斌 張洪洲 胡燦

［摘? ? ? ? ? ?要］? 針對自動控制原理課程中系統數學模型教學中存在的記憶性知識點多、應用條件復雜等問題，給出一種基于康奈爾筆記法的建立系統數學模型教學理念與記錄應用等實踐教學方法。依據康奈爾筆記法對各種數學模型的建立方法進行了5Ｒ歸納，總結5種數學模型的定義、建立過程和方法，各模型之間的轉換方法，以及系統函數這個最重要數學模型的特征和幾種求解方法，便于理解與記憶。通過實例分析與課堂實際教學效果驗證了所提方法的有效性與可行性。

［關? ? 鍵? ?詞］? 康奈爾筆記法；自動控制原理；數學模型；微分方程；結構圖；信號流圖

［中圖分類號］? G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文獻標志碼］? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?［文章編號］? 2096-0603（2024）03-0０57-04

一、引言

自動控制原理課程是塔里木大學（以下簡稱我校）電氣工程及其自動化、自動化、農業電氣化等工科專業的核心專業基礎課，為了改變傳統課堂沉悶、學生學習積極性低下問題，在該課程的教學中融入“新工科”[1]教育理念，對培養學生興趣，提高學生動手能力、創新意識、解決復雜工程問題的能力有極其重要的意義。課程教學組老師在教學過程中針對課程教學痛點，對該課程進行教學改革和教學創新，通過教學改革實踐，培養學生的創新思維，提高學生的創新能力。課程建設注重結合專業應用型人才培養目標，課程教學目標支撐各專業人才培養目標，根據專業人才需求，結合工程案例，不斷改進課程內容，以學生為中心，不斷改變教學方法，不斷提高學生的課程實踐技能，使學生的課程理論水平和實踐能力得到進一步提升。隨著打造我校“自動控制原理一流課程”的建設，把廣泛應于醫學、計算機、英語等專業教學并獲得成功的康奈爾筆記法引入自動控制原理課堂教學中[2]，教學效果與以往相比發生了本質上的改變。

康奈爾筆記法由康奈爾大學的Walter Pauk博士提出，以Keywords（關鍵詞）、Notes（筆記）及Summary（概括）為主要特征，包含Record（記錄）、Reduce（簡化）、 Recite（背誦）、 Reflect （補充）、Review（復習）5個階段，又稱5R筆記術[3]，非常適用于自動控制原理課程抽象性、分析對象的復雜性和多樣性、綜合性的教學。本文以“塔里木大學重點學科建設”和打造“自動控制原理一流本科課程”項目為依托，針對自動控制原理課程中關于控制系統數學模型建立理論教學和實踐教學中存在的問題，從教學理念、教學內容、教學方法等實踐環節方面進行了改進。依據康奈爾筆記將建立系統數學模型進行了5R歸納，總結為系統數學模型的定義、建立的方法，各種數學模型之間的關系，并注解它們的作用和本質。通過這種新的教學思路，在課堂上把理論與具體實際案例相結合，促進了學生深入理解系統數學模型的相關內容，有助于我校自動控制原理這一課程與國際先進教學水平接軌。

二、康奈爾筆記法

康奈爾筆記法是把筆記、復習、自測和思考結合到一體的學習方法，以5R為特征：其精華就是基于筆記本三欄區間的劃分，將課前預習和自測相結合，快速、準確地進行課堂記錄，從而提高學生課堂學習效率。康奈爾筆記法示意圖如圖1所示，核心在于記錄、簡化、背誦、補充與復習，現以建立系統數學模型為學習背景，闡述如何展開相應的康奈爾筆記教學。

（一）記錄（Record）

記錄（Record），顧名思義，讓學生在最大的筆記欄（Notes）中先進行快速直接的記錄與收集[4]。主要記錄數學模型的相關定義和類型。

1.數學模型定義、建立方法

數學模型是描述系統（或環節）內部各物理量之間關系的數學表達式。建立了數學模型，可以定量（或精確）地給出系統中一些變量之間的相互關系。系統數學模型的建立，方便對控制系統進行各種分析和設計。因為系統的時域分析、根軌跡分析、頻域分析和系統矯正都是基于數學模型對系統進行穩定性分析、動態響應分析、誤差分析和系統矯正的。建立方法有機理建模法和是實驗法，LTI系統常見的數學模型有常系數線性微分方程、系統函數、頻率特性函數、結構圖等。

2.微分方程

根據元部件伏安關系和電路定律，通常需要四步就可列寫出系統的數學模型：（1）根據要求，確定輸入量xi（t）、輸出量xo（t）和中間變量。（2）按變量遵循的物理定律列寫元部件的微分方程式。（3）消去中間變量，整理只含xi（t）、xo（t）的微分方程。（4）標準化：xi（t） 在右邊，xo（t） 在左邊，導數降冪排列。那么，n階LTI系統的時域數學模型為式（1）：

3.系統函數

微分方程數學模型雖直觀 ，一旦系統中某個參數發生變化或者結構發生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統的分析與設計，最重要的數學模型是系統函數。其定義為：零初始條件下，系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。在定義中，需要重點指出“一范圍、一條件”，即這個模型適用范圍是LTI系統，零初始條件意味著零初使條件是指當t≤0時，系統輸入信號r（t）、輸出信號c（t）以及它們的各階導數均為零。系統函數表達式為式（2）：

可通過S域電路模型求出系統函數，也可對（1）式求拉氏變換來得到n階系統的系統函數拉氏變換，即為式（3）：

4.結構圖

結構圖，是一種將控制系統圖形化了的數學模型， 可以形象直觀地描述系統中各元件間的相互關系及其功能以及信號在系統中的傳遞、變換過程，圖中包含信號線、方框、比較器三種元素。它是系統各元件特性、系統結構和信號流向的圖解表示法，如下圖2（a）所示。把環節的傳遞函數標在結構圖的方塊里，這樣輸入量和輸出量就可用傳遞函數表示，如圖2（b）所示。這時Y（s）=G（s）X（s）的關系可以在結構圖中體現出來。并且，各環節結構圖通過串聯、并聯、反饋連接方式，可以表示出任何復雜系統的結構圖。通過結構圖的化簡，可以導出系統函數。

5.信號流圖

也是一種圖形化的數學模型，是結構圖的簡化表達。通過節點［X1（s）、X2（s）］、支路（連接節點的帶箭頭的線段）、增益（支路旁標的傳遞函數G（s））三種元素， 是用圖示方法表示出線性化代數方程組變量間關系，如圖3所示。由信號流圖，利用梅森公式，可以求出系統函數。

6.頻率特性

頻率特性函數是系統在頻域中的數學模型，定義為零初始條件下，系統輸出信號的傅里葉變換與輸入信號的傅里葉變換之比，即為式（4）。

通過對微分方程求傅里葉變換，可推導出頻率特性函數。當然，也可通過系統函數來求出頻率特性函數。

（二）簡化（Reduce）

簡化也就是從繁雜的知識信息中獲取關鍵詞、關鍵句，用最快速度理清學習思路，起到提綱挈領作用。系統的數學模型種類很多，除了有時域的、頻域的、S域的，還有圖形化了的數學模型，結構圖和信號流圖，畫出數學模型的思維導圖，即為圖4。需要注意，一個系統在不同域可以有不同的數學模型，且各個模型之間不是孤立的，而是可以互相轉化的。

（三）背誦（Recite）

背誦，就是把簡化的重點與記錄的資料作對照，輸出學習行動的執行力，其要旨就是突出內容的本質與深度，盡力精簡，便于記憶。根據講義，需要背誦并掌握各個模型的建立方法。

由電氣原理圖建立時域微分方程數學模型時，需要四個步驟：（1）根據要求，確定xi（t）、xo（t）和中間變量。（2）按變量遵循的物理定律列寫元器件的微分方程式。（3）由電氣原理圖變量，整理只含xi（t）、xo（t）的微分方程。（4）標準化：xi（t） 在右邊，xo（t） 在左邊，導數降冪排列。（注意：只需要確定變量、列方程、消變量、標準化四個步驟。）

由電氣原理圖繪制系統結構圖時，也需要四個步驟：（1）確定系統的輸入、輸出變量。（2）由輸入到輸出列寫各組成環節（元件）的微分方程。（3）由各環節（元件）微分方程列寫拉氏變換方程并繪制對應的傳函方框圖。（4）根據信號流向由輸入到輸出連接各環節（元件）的傳函方框圖。（注意：只需要確定變量、列寫元部件微分方程組、轉化成拉氏方程組并繪制環節結構圖、連接各環節結構圖這四步。）

結構圖化簡可得系統函數這個數學模型，需要注意利用環節串聯、并聯、反饋、相加點前移和后移、分支點前移和后移、相鄰相加點的移動、相鄰分支點移動等化簡規則。

由結構圖、微分方程、系統函數可畫出簡化的系統圖形數學模型——信號流圖。當然，已知系統的信號流圖，利用梅森公式，也可得系統函數、微分方程等數學模型。系統輸入量和輸出量之間傳遞函數（增益）的梅遜公式為式（5）：

根據微分方程，求零初始狀態下的拉氏變換，可得系統函數數學模型。

根據微分方程，求零初始狀態下的傅里葉變換，可得系統的頻率響應數學模型，且頻域數學模型，可直接轉換S域的系統函數。

根據系統的單位脈沖響應，通過求拉氏變換，可得系統函數；求傅里葉變換，可得系統頻率特性函數。

（四）補充（Reflect）

補充（Reflect），對系統數學模型有了整體了解之后，對傳遞函數這個最基本、最重要的數學模型的特點、與其他數學模型的轉化方面，做一下補充。已知其他數學模型，如微分方程、結構圖、信號流圖等求傳遞函數的思維導圖如圖5所示。

傳遞函數常見有三種形式，除了如（3）式的有理真分式，還有首1式和尾1式。首1式，又稱零極點形式，即式（6）：

在式（6）中，傳遞函數分子M（s）=0，解下來的s值即為零點；傳遞函數分母D（s）=0，解下來的s值即為極點；（傳遞函數的極點就是系統的特征根）；零極點分布決定著系統的性能，根軌跡分析系統時，系統函數通常寫成首1式。并且，如果系統函數的零極點全部在S平面的左半平面，對應的系統為最小相位系統，否則，如果有極點或零點出現在右半平面，對應的系統就為非最小相位系統。

尾1式，又稱時間常數形式，即式（7）：

從系統函數的尾1式，可以很清楚地看出系統由哪些典型的環節（元部件）組成，在對系統做頻域分析和系統矯正的時候，系統函數經常采用尾1式，即典型環節組合形式。常見的典型環節，有比例環節、慣性環節、純積分環節等，我們可以看出，除延遲環節，其他典型環節的零極點都在S平面的左半平面，所以，如果一個系統是由典型環節（延遲環節除外）組成的，系統就是最小相位系統。

系統函數的10大特點：（1）傳遞函數是一種數學模型，是對微分方程在零初始條件下進行拉氏變換得到的。（2）傳遞函數與微分方程一一對應，有相通性。（3）傳遞函數是復變量s的有理真分式函數，分子的階數m一般低于或等于分母的階數n，即m≤n，且所有系數均為實數。（4）傳遞函數只取決于系統本身的結構和參數，而與輸入信號的形式和大小無關。（5）傳遞函數描述了系統的外部特性（輸出與輸入之間的關系），但它不反映系統的內部物理結構的有關信息，因為許多不同的物理系統具有完全相同的傳遞函數，這就是系統的相似性。（6）傳遞函數一旦確定，系統在一定的輸入信號下的動態特性就確定了。（7）傳遞函數的拉氏反變換是系統的脈沖響應，反過來單位脈沖響應的拉氏變換是系統函數，即g（t）=L-1［G（s）］ G（s）=L［g（s）］。（8）傳遞函數只能表示輸入與輸出的函數關系，至于系統中的中間變量無法反映出來。（9）一個傳遞函數只能表示一個輸入對一個輸出的函數關系。（10）傳遞函數概念僅適用于線性定常系統，具有復變函數的所有性質。