初中數(shù)學(xué)三類函數(shù)常見考查題型及解題思路

王倩

【摘要】眾所周知，一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)的主要組成部分，也是初中數(shù)學(xué)函數(shù)問題的主要考查內(nèi)容.常見的函數(shù)問題不僅是對函數(shù)圖象和基本性質(zhì)的考查，還能夠聯(lián)系其他知識點(diǎn)進(jìn)行考查.本文主要結(jié)合例題分別對一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的常見題型和對應(yīng)解題思路進(jìn)行分析，幫助學(xué)生更全面地了解函數(shù)問題，更高效地解答相關(guān)問題.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；函數(shù)；解題

由于函數(shù)知識點(diǎn)比較抽象，大部分學(xué)生不太理解函數(shù)的學(xué)習(xí)要點(diǎn)，也不會(huì)根據(jù)題目靈活地運(yùn)用公式.而函數(shù)屬于數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)以及考試考點(diǎn)，并貫穿在各種類型的試題中.因此，教師要教會(huì)學(xué)生關(guān)于函數(shù)的解題技巧，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

1? 一次函數(shù)

一次函數(shù)相關(guān)的問題通常會(huì)涉及函數(shù)的解析式、單調(diào)性和圖象，即以一次函數(shù)的基本知識點(diǎn)為載體，考查學(xué)生對一次函數(shù)的掌握熟悉程度.解答一次函數(shù)問題，應(yīng)充分了解解析式對應(yīng)圖象，以及單調(diào)性、坐標(biāo)的表達(dá)，才能對問題做出相關(guān)解答.

例1? 如圖1，一次函數(shù)y=－2x+3的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在線段AB上（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P分別作OA和OB的垂線，垂足為C、D，若矩形OCPD的面積為1時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

思考? 首先矩形面積等于長寬之積，需要明確對應(yīng)線段長短，此時(shí)需要結(jié)合一次函數(shù)的解析式和未知點(diǎn)坐標(biāo)的假設(shè)，得到相關(guān)表達(dá)式，從而分析動(dòng)點(diǎn)P可能存在情況對應(yīng)的具體坐標(biāo).

解析? 已知y=－2x+3，

當(dāng)x=0時(shí)，y=－2x+3=3；

當(dāng)y=－2x+3=0時(shí)，x=32，

所以點(diǎn)A32，0，B0，3，

因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AB上（不與A、B重合），

所以設(shè)P的坐標(biāo)為a，－2a+30＜a＜32，

因?yàn)镻D⊥OB，PC⊥OA，

所以PD=a，PC=－2a+3，

因?yàn)榫匦蜲CPD的面積為1，

所以PD·PC=1，

即a－2a+3=1，

解得a=1或a=12，均符合題意，

當(dāng)a=1時(shí)，－2a+3=1，則P1，1，

當(dāng)a=12時(shí)，－2a+3=2，則P12，2，

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為1，1或12，2.

2? 二次函數(shù)

與二次函數(shù)有關(guān)的問題，常常離不開對稱軸、圖象、解析式、單調(diào)性這些方面的綜合性考查，常見的題型有：已知解析式求函數(shù)上的點(diǎn)構(gòu)成的圖形面積，或已知函數(shù)圖象分析解析式系數(shù)大小關(guān)系.解答相關(guān)問題，應(yīng)熟練掌握對稱軸的表達(dá)式，函數(shù)圖象與系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，只有充分理解這些基礎(chǔ)知識點(diǎn)，才能更準(zhǔn)確地解答相關(guān)問題.

例2? 如圖2，根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象得到如下結(jié)論：①abc＞0；②2a－b=0；③a+b+c=0；④3a+c＜0；⑤當(dāng)x＞－2時(shí)，y隨x的增大而增大；⑥一定存在實(shí)數(shù)x0，使得ax20+bx0＞a－b成立，上述結(jié)論中，正確的有.

思考? 首先需要根據(jù)函數(shù)圖象、對稱軸和相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)來分析二次函數(shù)解析式中系數(shù)a、b、c的大小關(guān)系等式.其次，根據(jù)系數(shù)關(guān)系依次分析結(jié)論是否正確，綜合所有情況可得到答案.

解析? 因?yàn)閽佄锞€開口向上，頂點(diǎn)在y軸左側(cè)，拋物線與y軸交于負(fù)半軸，

所以a＞0，c＜0，

因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x=－1對稱，

所以－b2a=－1，即2a－b=0，

所以b＞0，

則有abc＜0，所以結(jié)論①錯(cuò)誤，結(jié)論②正確；

因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)－3，0，對稱軸為直線x=－1，

所以拋物線經(jīng)過點(diǎn)1，0，

把x=1代入解析式，可得a+b+c=0，所以結(jié)論③正確，

因?yàn)閎=2a，a+b+c=0，

所以3a+c=0，結(jié)論④錯(cuò)誤，

因?yàn)閽佄锞€開口向上，對稱軸為直線x=－1，

所以當(dāng)x＞－1時(shí)，y隨x的增大而增大，結(jié)論⑤錯(cuò)誤，

因?yàn)楹瘮?shù)最小值為a－b+c，

當(dāng)x0≠－1時(shí)，則有ax20+bx0+c＞a－b+c，

即ax+bx0＞a－b，

所以一定存在實(shí)數(shù)x0，使得ax20+bx0＞a－b成立，結(jié)論⑥正確，

綜上所訴，正確結(jié)論有：②③⑥.

3? 反比例函數(shù)

反比例函數(shù)有關(guān)問題主要和函數(shù)解析式以及幾何圖形有密切聯(lián)系，因此解答反比例函數(shù)問題需要熟練掌握解析式和點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，其次還需要分析幾何圖形與反比例函數(shù)之間的聯(lián)系.

例3? 如圖3所示，反比例函數(shù)y=2xx＞0的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線OB的中點(diǎn)P，與AB、BC交于E、F兩點(diǎn)，則四邊形OEBF的面積是.

思考? 首先對函數(shù)上的點(diǎn)P坐標(biāo)進(jìn)行假設(shè)，其次分析四邊形OEBF的組成，用函數(shù)解析式表示相關(guān)點(diǎn)，并代入其中得到具體值，即可求出最終答案.

解析? 因?yàn)樗倪呅蜲ABC是矩形，

所以BC⊥y軸，BA⊥x軸，

因?yàn)辄c(diǎn)E、F在反比例函數(shù)圖象上，

所以S△OCF=S△OAE=22=1，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為m，n，而點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，

則mn=2，

又因?yàn)榫匦蜲ABC對角線OB的中點(diǎn)為P，

所以B2m，2n，A2m，0，C0，2n，

因?yàn)镾矩形OABC=AB·OA=2n·2m=4mn=8，

所以S四邊形OEBF=S矩形OABC－S△OCF－S△OAE=8－1－1=6，

故四邊形OEBF面積是6.

4? 結(jié)語

上述例題分別對一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)考查形式進(jìn)行具體分析，主要圍繞函數(shù)的圖形與具體性質(zhì)展開分析與解答.掌握基礎(chǔ)知識點(diǎn)是解答三大基本函數(shù)問題的基本要求，其次還需要聯(lián)系其他方面知識點(diǎn)進(jìn)行解題，多練習(xí)、多思考有助于個(gè)人解題效率的提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］蔡珉.初中數(shù)學(xué)函數(shù)題解題技巧探究［J］.數(shù)理化解題研究（初中版），2016（09）：9.

［2］劉鈺.初中數(shù)學(xué)“三類函數(shù)”的教學(xué)建議［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（08）：26-27.

［3］程緒友.初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法［J］.試題與研究（教學(xué)論壇），2020（12）：159.