解直角三角形在實際應用中的常見模型分析

馬國柱

【摘要】運用解直角三角形相關知識解決實際問題的常見模型有四種：異側型、同側型、斜截型和交叉型.這四種類型在仰角與俯角問題、方位角問題、坡角問題中均有可能出現，解答此類問題，關鍵是從實際問題中抽象出數學問題，然后構造數學模型.本文對這幾種數學模型進行歸納，以幫助學生對解直角三角形在實際生活中的應用有更全面的掌握.

【關鍵詞】初中數學；直角三角形；解題

1? 異側型

此類型的基本特點是兩個直角三角形“背靠背”.如圖1左所示，一般利用線段的和來尋找等量關系.此類型的特殊情況是隔一段距離的“背靠背”（如圖1右），區別是中間多了一段固定長度的線段.

例1? 如圖2，廣場上有兩棟高樓A和B，其中樓B高為120米，而從樓A的頂點A處測得樓B頂部B的仰角為30°，測得其底部C的俯角為45°.求：樓A和B的水平距離為多少米？

解? 如圖2，過點A作AE⊥BC于點E，

設BE=x，易知四邊形ADCE為矩形，

DC=AE=BEtan∠BAE=3x，

因為∠EAC=45°，

所以EC=AE=3x，

由題意有BE+CE=3x+x=120，

解得x=60 3－1，

所以DC=AE=3x=180－603，

即樓A和B的水平距離為180－603米.

2? 同側型

此類型的特點是兩個直角三角形“大含小”.如圖3，小的三角形在大的三角形內部，有公共的直角頂點及一條公共的直角邊，通過這條公共的直角邊構成兩個直角三角形.與異側型不同的是，同側型一般利用線段的差來尋找等量關系.

例2? 如圖4所示，某居民樓為了方便居民進出，將樓棟門口階梯的一部分改造成斜坡，已知原階梯斜面AB的長為1米，坡角∠ABD=45°，改造后斜坡的坡角∠ACD=15°，改造后的斜坡的水平距離增加了BC，求BC的長度（參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，2≈1.41）.

解? 如圖4所示，在直角三角形ABD中，

因為∠ABD=45°，

所以AD=BD=AB·sin∠ABD=22，

CD=ADtan∠ACD≈1.412×0.27≈2.61，

所以BC=CD－BD≈2.61－1.412≈1.91，

即改造后的斜坡的水平距離增加了1.91米.

3? 斜截型

如圖5，此類型的特點是小的直角三角形在大的直角三角形內部，有公共的銳角，此類題的解題關鍵是巧妙利用公共的銳角.

例3? 大型商場的建設通常都會設計地下停車場，如圖6是某大型商場的地下停車庫入口的坡道設計示意圖，其中AB⊥BD，∠BAD=18°，C在BD上，AB的長為10米，BC為0.5米，CE⊥AD.現需要在地下車庫入口坡道的上方張貼限高標志，請問限制高度應為CE還是CD，并計算出正確的限制高度.（結果精確到0.1米，參考數據：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）.

解? 如圖4所示，在直角三角形ABD中，

因為∠ABD=90°，∠BAD=18°，AB=10，

所以BD=AB·tan∠BAD≈3.2，

所以CD=BD－BC≈3.2－0.5≈2.7，

在直角三角形ABD中，∠CDE=90°－∠BAD=72°，

因為CE⊥ED，

所以∠DCE=90°－∠CDE=18°，

所以CE=CD·cos∠DCE2.7×0.95≈2.6，

2.6<2.7，CE＜CD，

所以CE為限制高度，為2.6米.

4? 交叉型

此類型的特點是兩個直角三角形的邊有交點.如圖7，此類題要仔細分析題意，抓住兩個直角三角形中變化的量和不變的量，找準等量關系，找等量關系時可以結合矩形來找.

例4? 如圖8所示，工程隊測量人員想測量河對岸一棵大樹AB的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為45°，再從C點出發沿斜坡走210米到達斜坡上D點，在點D處測得樹頂端A的仰角為30°，若斜坡CF的坡比為1∶3（點C、B、E在同一水平線上）.求測量人員從C點到D點上升的高度和大樹AB的高度.

圖8

解? 如圖8，過D點作DG⊥AB，DH⊥CE，

因為斜坡CF的坡比為1∶3，

因此在直角三角形DHC中，CH=3DH，

DH2+CH2=DC2，

DH2+3DH2=2102，

解得DH=2，CH=6，易知四邊形DHBG為矩形，

設BC=x，則DG=BH=x+6，

因為∠ACB=45°，

所以AB=BC=x，AG=x－2，

因為∠ADG=30°，

有tan30°=AGDG=33，

則有x－2x+6=33，

解得x=6+43，

即測量人員從C點到D點上升的高度為2米，大樹的高度為6+43米.