直線方向向量與平面法向量教學課例

周萬春 王靜 季明峰

【摘要】“直線的方向向量與平面的法向量”上承空間向量數量積，下接空間角的計算，在空間向量上起著承上啟下的作用.內容對優等生固然簡單，但對學業底子薄的學生卻存在一定困難.本文以農村高中學生為授課對象，研究如何設計教學幫助數學底子薄的學生掌握學習內容.

【關鍵詞】法向量；高中數學；課堂教學

1? 研究對象與研究問題分析

生源質量的問題給農村中學的數學教學提出了嚴峻的挑戰.農村數學教學應該如何破局，是一個值得研究的問題.所以，本課例的研究對象是農村高中的數學課堂，研究問題是在學生數學基礎薄弱的前提下，如何使學生能夠掌握好高中數學知識.

2? 教學內容分析

本研究探究的教學內容是蘇教版選擇性必修二6.3.1節“直線的方向向量與平面的法向量”.本節內容上承空間向量的數量積，是向量數量積實際應用的典型問題；下啟空間向量的運用.直線方向向量相對簡單，直線上取兩點即可解決；法向量雖然在本質上是法線的方向向量，但與之相關的幾何要素是平面，其求解的難度對基礎較差的學生而言具有一定的難度.

3? 教學過程設計

模塊1? 思考空間幾何元素點、線、面與向量的關系

問題1? 空間中的點與向量有什么關系？

追問1? 空間中以坐標原點為向量起點的向量坐標與向量終點的坐標之間的關系？

追問2? 回憶平面向量中，終點坐標與向量坐標之間的關系.類比平面向量的結論，試分析空間中的點與向量之間的關系？

問題2? 空間中的直線與向量有什么關系？

追問1? 顯然兩點或一點加一個方向可以確定一條直線，那么是否可以用點和向量確定直線？

活動? 在黑板上任意給出一個點A，讓一位同學給出向量，另一位同學按給出向量的方向和點作直線，重復多次.

方向向量定義? 直線l上的向量e及與e共線的向量稱為直線l的方向向量.

追問2? 已知直線l的方向向量為a，A，P為直線l上的任意兩點，如何用a表示AP呢？

問題3? 一個定點和兩個定方向能否確定一個平面？

活動? ①讓學生在空間中任選一點、用兩支筆比劃成兩個定方向的向量，讓學生嘗試確定一個平面；

②黑板上任意給出定點和兩個定方向的向量（包含共線和不共線兩種類別），讓學生嘗試去作出一個平面；

③學生共同討論定點與兩個定向量能確定平面的條件與理由.

追問1? ?一個定點與一個定方向是否能確定唯一的平面？

動手擺一擺、畫一畫.

活動? ①讓用一支筆代表一條線，筆尖代表定點，一張紙代表平面，嘗試調整筆與紙之間的位置，以確定唯一平面；

②在黑板上畫一條線，線上取點，讓學生根據紙筆活動的結果畫出圖形；

③學生共同討論定點和定方向能確定唯一平面的理由.

法向量定義? 若非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，稱向量n為平面α的法向量.

追問2? 平面中任意一點P與定點A所構成的向量AP，與法向量n的關系是？

模塊2? 法向量的求解

例1? 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為1，證明DB1是平面ACD1的法向量.

圖1

教學引導? ?法向量是平面法線的方向向量，若一個向量所在直線垂直于平面，則向量為平面法向量.

建立如圖1所示坐標系A（1，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），D（0，0，0），B1（1，1，1），

AD1=（－1，0，1），AC=（－1，1，0），

DB1=（1，1，1），

AD1·DB1=－1+1=0AD1⊥DB1，

AC·DB1=－1+1=0AC⊥DB1.

又因為，AD1∩AC=A，AD1面ACD1，

AC面ACD1，

所以DB1⊥面ACD1，

即DB1是平面ACD1的法向量.

例2? ?已知平面中三點，A（0，1，1），B（1，2，1），C（2，1，3），求平面ABC的一個法向量.

教學引導? 平面內有三個坐標，求解法向量要充分利用法向量與平面中的任意向量垂直這一條件以建立等量關系.

設平面ABC的一個法向量為n=（x，y，z），

由已知可得：AB=（1，1，0），AC=（2，0，2）；

易知n⊥AB，n⊥AC，

所以n·AB=0，n·AC=0，

即x+y=0，2x+2z=0，

可得y=z=－x.

教學引導? 三個未知數需要三個方程求解，但n⊥BC所確定的方程：x－y+2z=0是前兩個方程的線性組合.因此，我們需要求解的方程組是“不定方程組”.由于學生基礎比較薄弱，直接賦值求解學生不易理解.可以轉換思路用共線向量定理解決問題.

n=（x，y，z）=（x，－x，－x）=x（1，－1，－1），

令m=（1，－1，－1），則n=x·m，

所以n∥m.即m與n共線，

當x=1時，n=m，此時n=（1，－1，－1）.

4? 結語

通過對“直線方向向量與平面法向量”的教學案例，不難發現面對基礎薄弱的學生，數學教學首先要注意循序漸進，教學的步子不能跨得太大.以本課題為例，切不可直接介紹方向向量與法向量的定義后直接進入計算，而應當幫助學生充分了解向量與點、線、面的關系后逐步地引出定義，在了解定義的基礎上進行向量求解的運算；其次，一定要充分利用先學的知識，切不可在學生面對未知知識時，直接硬講技巧.以本課題為例，不建議直接用賦值法解不定方程組，而應利用未知數之間的比例關系，將法向量的求解與向量共線定理聯系起來，幫助學生更好地理解為何法向量有無數組解.