基于“自主建構(gòu)”的數(shù)學(xué)教學(xué)研究

葛紅琴

［摘? 要］ 揭示知識的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)完整的認知體系是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù). 為了達成這個任務(wù)，筆者開展了基于“自主建構(gòu)”的數(shù)學(xué)教學(xué)研究. 文章以“相似三角形的性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計為例，從“創(chuàng)設(shè)游戲情境，導(dǎo)入新課；素材直觀呈現(xiàn)，引發(fā)猜想；借助幾何畫板，驗證猜想；完成實際問題，應(yīng)用推廣”四方面展開研究，并提出相應(yīng)的思考與評價.

［關(guān)鍵詞］ 猜想；自主建構(gòu)；相似三角形

立足知識的邏輯關(guān)系，促進學(xué)生的自主建構(gòu)，主要是指在以問題為載體的背景下，教師結(jié)合學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容的特點，建立探索發(fā)現(xiàn)和意義建構(gòu)相統(tǒng)一的邏輯關(guān)系，讓學(xué)生在自主思考、質(zhì)疑與反思中完成真正意義上的知識建構(gòu). 弗賴登塔爾認為：再創(chuàng)造是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方法，即教師通過一定的手段，帶領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)要學(xué)習(xí)的知識，讓學(xué)生親自探索、體會、感悟知識的形成與發(fā)展過程［1］. 因此，知識的“再創(chuàng)造”是幫助學(xué)生厘清知識邏輯關(guān)系，實現(xiàn)新知建構(gòu)的關(guān)鍵.

教學(xué)設(shè)計分析

本節(jié)課基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（簡稱新課標(biāo)）的背景而設(shè)計，注重以“四基與四能”“三會”“核心素養(yǎng)”等理念為指導(dǎo)，力圖讓學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，不僅弄清知識間的邏輯關(guān)系，理解相似三角形的性質(zhì)，還能在數(shù)學(xué)能力上獲得不同程度的發(fā)展.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程本就是不斷積累經(jīng)驗的過程，學(xué)生在此過程中經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、表達、思考等，獲得能力的沉淀與核心素養(yǎng)的提升［2］. 如何在本節(jié)課教學(xué)實施的過程中，將學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)與生活經(jīng)驗轉(zhuǎn)化成新的數(shù)學(xué)抽象呢？這是筆者在授課前一直在思考的問題. 為了讓本節(jié)課達到預(yù)期的教學(xué)效果，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷“直觀—具體—抽象”的過程，筆者將本節(jié)課做了如下設(shè)計.

教學(xué)簡錄

1. 創(chuàng)設(shè)游戲情境，導(dǎo)入新課

課堂伊始，筆者利用電子白板中的知識配對功能，結(jié)合學(xué)生的興趣設(shè)計了一個“連連看”的游戲，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，完成新課的導(dǎo)入. 如圖1，左側(cè)為相似三角形的判定定理（文字語言），右側(cè)為圖形（圖形語言），要求學(xué)生將左右兩邊的內(nèi)容進行連線配對.

設(shè)計意圖？搖 利用學(xué)生感興趣的游戲情境復(fù)習(xí)舊知，調(diào)動課堂氣氛，為本節(jié)課教學(xué)奠定良好的情感基礎(chǔ). 豐富的情境作為新舊知識溝通的紐帶，可讓新知的導(dǎo)入更加自然、流暢，也讓學(xué)生對新知的探究充滿渴望.

師：根據(jù)我們之前研究圖形的經(jīng)驗，一旦對某種圖形的定義與判定有了明確認識之后，接下來就到了研究圖形的什么內(nèi)容的環(huán)節(jié).

生（齊）：性質(zhì).

師：非常好！今天我們將要研究的主題為“相似三角形的性質(zhì)”（板書），著重研究在一個三角形中，該三角形的高、中線以及角平分線（簡稱三線）在明確三角形相似之后，具備怎樣的性質(zhì).？搖

設(shè)計意圖？搖 簡單的游戲情境，順利地完成了舊知的回顧，也成功地激起了學(xué)生的探究熱情；教師簡單的幾句話語，自然地切入本節(jié)課的教學(xué)主題——相似三角形的性質(zhì). 此導(dǎo)入過程，凸顯了學(xué)生的主體地位，彰顯了教師的引導(dǎo)作用，為整節(jié)課的教學(xué)明確了方向.

2. 素材直觀呈現(xiàn)，引發(fā)猜想

問題1 ？搖通過我們之前的學(xué)習(xí)，大家都知道相似三角形可理解為一個三角形的放大或縮小，那么三角形中的三線會不會隨著三角形大小的變化而改變呢？

為了讓學(xué)生能直觀理解這個問題，教師提供了兩個素材：①借助錄屏軟件的錄制功能，設(shè)計了三角形放大與縮小的演示畫面；②借助電子白板中的放大鏡功能，讓學(xué)生直接通過“放大鏡”觀察三線是否會隨著三角形大小的變化而改變.

生1：既然是相似三角形，那么圖形的形狀必然不會發(fā)生改變，三角形的角度也不會發(fā)生變化，三角形的邊與三線的長度會隨著三角形大小的變化而變長或縮短.

師：若一個三角形放大成原來的兩倍，那么三角形的三線也是原來的兩倍嗎？

生2：如果放大后的三角形與原三角形的相似比為2，那么其三線與原三線的比應(yīng)該也是2.

師：如果放大的比例是k，那么在此變化過程中，有哪些線段的比也變成了k？

生3：放大后三角形相應(yīng)的三線與原三線的比應(yīng)該也是k.

師：現(xiàn)在，我們將這個放大與縮小問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題：若兩個相似三角形的相似比為k，則對應(yīng)的三線比與k之間存在怎樣的聯(lián)系呢？

生4：放大或縮小后的三角形的三線比應(yīng)該也與相似比的值一樣為k.

設(shè)計意圖？搖 教師利用現(xiàn)代化的教學(xué)手段，為學(xué)生提供直觀的可視化素材，讓學(xué)生在相似三角形大小的變化中感受三線的變化情況，以更快捷、準(zhǔn)確地獲得三線比的規(guī)律. 這種直觀展示的過程，是促進學(xué)生進行數(shù)學(xué)抽象，對知識的認識從直觀感知提升到理性認識的過程，符合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，能助推學(xué)生思維的發(fā)展.

3. 借助幾何畫板，驗證猜想

問題2？搖 以上所呈現(xiàn)出的結(jié)論均為猜想，有沒有辦法來驗證這些猜想是否正確呢？

學(xué)生自主畫圖、測算、比較（過程略），結(jié)論為：大家一致認為這種猜想是正確的，或近似于正確.

教師對學(xué)生自主探索得到的結(jié)論不置可否，而是帶領(lǐng)學(xué)生觀察幾何畫板更加精準(zhǔn)的演示（見圖2）.

設(shè)計意圖？搖 在學(xué)生自主探究的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板的精準(zhǔn)功能進行演示，讓學(xué)生親身體驗自己的作圖、測算過程是否準(zhǔn)確. 隨著數(shù)據(jù)的動態(tài)變化，讓學(xué)生進一步直觀感受到相似中的“變”與“不變”，從而對相似與全等的區(qū)別有了更加明確的認識，對變化與守恒、特殊與一般的關(guān)系也有了更加直觀、深刻的理解.

幾何畫板的介入，讓學(xué)生從感官上確認了自己的猜想是正確的. 但這些都是直觀感受，想要證明猜想的準(zhǔn)確性，離不開嚴(yán)謹?shù)淖C明過程. 接下來，進入師生共同證明猜想的過程.

教師要求學(xué)生以小組合作學(xué)習(xí)的模式進行交流、探討，并借助學(xué)案上的參考圖（見圖3），規(guī)范書寫證明過程，各組向全班展示結(jié)論. 最后由師生共同客觀、公正地評論各組的證明過程是否規(guī)范.

設(shè)計意圖？搖 想讓學(xué)生一下子準(zhǔn)確并規(guī)范地書寫出已知、求證、證明的過程，確實存在一定的難度. 通過小組合作學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生在集思廣益中獲得啟發(fā)，使得不同層次認知水平的學(xué)生都能在此過程中弄清知識間的邏輯關(guān)系，形成科學(xué)、嚴(yán)謹?shù)耐评砟芰?

在學(xué)生規(guī)范證明過程后，為了進一步深化學(xué)生對相似三角形性質(zhì)的理解，讓每一個學(xué)生都能厘清相似三角形三線比的本質(zhì)，教師要求所有學(xué)生一起回顧本節(jié)課經(jīng)歷了哪幾個環(huán)節(jié)才獲得了這個定理.？搖

設(shè)計意圖？搖 ？搖“放大鏡”的演示讓學(xué)生對知識形成了感性認識，學(xué)生自主探索與幾何畫板的應(yīng)用，順利地幫助他們實現(xiàn)了從感性認識上升到理性認識的階層. 此處的教學(xué)回顧，意在引導(dǎo)學(xué)生對以上學(xué)習(xí)過程進行一個回顧與提煉，進一步鞏固研究問題的方法與經(jīng)驗，為后續(xù)研究其他問題奠定基礎(chǔ).

4.？搖完成實際問題，應(yīng)用推廣

問題3？搖 如圖4，一條河流的兩岸有一段為平行的關(guān)系，小明站在南岸離河邊15米處的點P向北岸望去，發(fā)現(xiàn)位于河北岸的兩根相鄰的電線桿A，B正好被南岸的兩顆松樹C，D遮擋. 若AB=50 m，CD=20 m，求河寬.

師：請大家先獨立思考，盡可能自主完成本題. 若在解題過程中存在疑惑，可與同桌交流.

大部分學(xué)生都能自主完成本題，也有小部分學(xué)生需要交流后完成. 教師將學(xué)生的解題過程投影，并要求學(xué)生說一說解題思路.

設(shè)計意圖？搖 知識源自生活，而又應(yīng)用于生活. 相似三角形的性質(zhì)從理論上來看，難度并不大，但要用來解決生活實際問題，卻有一定的難度. 此問意在培養(yǎng)學(xué)生的知識應(yīng)用能力，讓學(xué)生在解題中夯實知識基礎(chǔ)，感知知識與生活有著密不可分的聯(lián)系.

問題4？搖 是不是相似三角形中的所有對應(yīng)線段的比都與相似比相等？若是，請找出對應(yīng)線段，并證明.

生5：可以先構(gòu)造一對相似三角形.

生6：相似三角形的構(gòu)造，可以從邊或角來著手.

如圖5，教師引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板的演示功能進行剖析. 實踐證明，相對應(yīng)的線段存在無數(shù)條.

師：通過幾何畫板的演示，我們尋找此類線段的本質(zhì)是什么？

生7：其本質(zhì)就是找對應(yīng)點，只要確定好對應(yīng)點，那么它們的連線比與相似比一定相等.

教師充分肯定了學(xué)生的答案，高度贊揚了學(xué)生思維的靈活性.

設(shè)計意圖？搖 從尋找相似線段的問題轉(zhuǎn)化到尋找點的問題，學(xué)生的思維經(jīng)歷了“質(zhì)”的飛躍. 此設(shè)計意在將學(xué)生帶到一個更高的階層，使學(xué)生更清晰、完整地理解本節(jié)課所學(xué)知識，進而從真正意義上實現(xiàn)知識的應(yīng)用、拓展與延伸.

課堂總結(jié)、作業(yè). （略）

教學(xué)思考

現(xiàn)實生活中存在著大量相似的圖形，相似三角形性質(zhì)的探索，不僅能讓學(xué)生掌握相關(guān)的知識與技能，還能讓學(xué)生利用這些知識解決一些重要的生活實際問題，提高學(xué)生的應(yīng)用能力. 教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“具體—抽象—具體”的過程，綜合應(yīng)用各種圖形的性質(zhì)解決一些實際問題，以發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.

同時，教師還要注重引導(dǎo)學(xué)生觀察知識間的邏輯關(guān)系，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并利用圖形相似性中存在的共同規(guī)律來發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實問題，提出并解決相應(yīng)的問題，以培養(yǎng)學(xué)生的“四能”. 當(dāng)然，教師在整個教學(xué)過程中應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“直覺發(fā)現(xiàn)—自覺說理—推理論證”的過渡，從真正意義上提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［3］.

教學(xué)評價

1. 緊扣教學(xué)目標(biāo)，確保完成教學(xué)任務(wù)

教學(xué)目標(biāo)是整個教學(xué)活動的標(biāo)桿，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)非常明確，即掌握相似三角形的性質(zhì)定理以及應(yīng)用等，體會定理的探索與推理過程，理解對應(yīng)線段比的特征，感知相似三角形變化過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有發(fā)生變化. 縱觀本節(jié)課，不論是課堂導(dǎo)入、引發(fā)猜想還是驗證猜想，每一步的指向性都非常明確，每一個環(huán)節(jié)都將教學(xué)目標(biāo)作為問題探究的出發(fā)點與落腳點.

相似三角形的性質(zhì)為本節(jié)課教學(xué)的重點，教師在處理每個問題的結(jié)論時，都以學(xué)生參與為主導(dǎo)，將學(xué)生引到知識重點上去. 課堂上，教師在教學(xué)難點的突破上采取了動畫演示、學(xué)生推演等方法，從多渠道突破了教學(xué)難點，確保教學(xué)目標(biāo)的達成.

2. 借助多媒體，展示知識的形成

課堂主要從以下兩條線索著手進行教學(xué)：第一條，從知識背景出發(fā)，在知識的生長點處進行整合、拓展；第二條，從學(xué)生原有認知經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過自身的體驗總結(jié)結(jié)論. 教師將這兩條線索借助電子白板、幾何畫板、實物投影等多媒體進行有機融合，建構(gòu)了一個完整的教學(xué)體系.

整體來看，本節(jié)課的教學(xué)層次分明，每個環(huán)節(jié)的銜接自然，沒有出現(xiàn)斷層，且教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的認知水平相匹配，逐層遞進的教學(xué)過程，充分展示了從特殊到一般的教學(xué)方法. 學(xué)生在問題的引領(lǐng)下，借助多媒體對問題進行觀察、比較、猜想、驗證等，深刻掌握了知識的本質(zhì).

3. 選擇教學(xué)方法，落實“四基與四能”

課程教學(xué)方法的選擇以教學(xué)目標(biāo)為基準(zhǔn)，采用游戲情境、動畫演示、觀察分析等方式進行，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代信息技術(shù)對數(shù)學(xué)教學(xué)的輔助功能，同時信息技術(shù)的介入也讓課堂變得更加直觀、高效，符合學(xué)生的認知需求. 整個教學(xué)建立在尊重學(xué)生的基礎(chǔ)上，凸顯出學(xué)生的主體地位，從真正意義上落實了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“四基與四能”要求，為促進“三會”的形成奠定基礎(chǔ).

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)更多地關(guān)注學(xué)生在課堂中的表現(xiàn)，尊重學(xué)生的個體差異，盡可能利用豐富的教學(xué)手段引導(dǎo)每個學(xué)生都能積極主動地參與課堂探究活動，從不同程度上提高學(xué)生的思維水平，讓學(xué)生在豐富的教學(xué)互動中實現(xiàn)知識與能力的自主建構(gòu)，促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

參考文獻：

［1］弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［2］拉爾夫·泰勒. 課程與教學(xué)的基本原理［M］. 施良芳，譯. 北京：人民教育出版社，1994.

［3］龐維國. 論學(xué)生的自主學(xué)習(xí)［J］. 華東師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2001（02）：78-83.