管理科學與工程專業建模優化實踐課程建設探索

高原 徐素秀 丁洳茜

基金項目：國家自然科學基金面上項目“靈活編組模式下城市軌道交通列車調度優化”（72171023）；北京理工大學2023年度教育教學改革一般項目“搭建理論到實踐的橋梁——《優化模型及軟件》課程教學改革研究”（無編號）；北京理工大學研究生教育培養綜合改革面上項目（無編號）

第一作者簡介：高原（1986-），男，漢族，湖北襄陽人，博士，副教授，博士研究生導師。研究方向為交通運營管理、物流網絡設計、大規模整數規劃、不確定規劃等。

*通信作者：徐素秀（1984-），男，漢族，浙江臺州人，博士，教授，博士研究生導師。研究方向為交通經濟學、拍賣與機制設計、博弈與供應鏈管理、優化理論與算法等。

DOI：10.19980/j.CN23-1593/G4.2024.12.007

摘? 要：進入數字經濟時代，業界將運籌優化技術更廣泛地應用于生產和管理中，對管理科學與工程類專業學生的建模與優化的實踐能力提出更高要求。該文分析我國管理科學與工程學科排名前50高校的相關專業培養方案，發現大部分學校側重運籌學理論基礎的教學，缺少建模與優化的實踐課程。該文從業界需求和運籌學課程體系建設出發，結合教學實踐，討論建模優化實踐課程的建設目標、課程內容、教學方法。建模優化實踐課程的內容包括優化軟件（通用求解器）的使用、管理科學與工程常見優化問題的建模，以及求解優化模型的精確/啟發式算法；采用課堂上機練習、課程報告等方式，促使學生較快上手優化軟件，提升學生發現優化問題、建立優化模型、編程求解模型的能力。通過建模優化實踐課程的建設，形成管理科學與工程專業運籌優化類課程“基礎理論+應用實踐”的培養模式，彌合數字經濟時代業界人才需求與高校人才培養之間的差距。

關鍵詞：管理科學與工程；優化模型；通用求解器；優化算法；課程建設

中圖分類號：G642? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）12-0029-05

Abstract： In the era of digital economy， the industry has applied optimization technology more widely in production and management， which requires higher practical ability of modeling and optimization on the students in management science and engineering. This paper analyzes the training programs of the top 50 universities in management science and engineering in China， and finds that most of them focus on the teaching of theoretical basis of operations research， and lack practical courses of modeling and optimization. Based on the needs of the industry and the construction of operational research curriculum system， combined with teaching practice， this paper discusses the construction objectives， course content and teaching methods of modeling and optimizing course. The course covers the use of optimization software（general-purpose solvers）， modeling of common optimization problems in management science and engineering， and accurate/heuristic algorithms for solving optimization models. By means of computer exercises in class and course reports， students are encouraged to master the optimization software， discover optimization problems， establish optimization models， and solve the models. Through the construction of modeling and optimization course， the training model of "basic theory + application practice" in operational research curriculum system is formed， which bridges the gap between the talent demand of the industry and the talent training of colleges and universities in the digital economy era.

Keywords： management science and engineering; optimization model; general-purpose solver; optimization algorithm; course construction

管理科學與工程（以下簡稱“管科”）是綜合運用系統科學、管理科學、數學、經濟和行為科學及工程方法，結合信息技術研究解決社會、經濟、工程等方面的管理問題的一門學科。在我國，管科類的本科生專業主要包括信息管理與信息系統、工程管理、工業工程及物流等。隨著信息技術的深入發展，我國逐漸進入數字經濟時代。國務院發布《“十四五”數字經濟發展規劃》，明確指出：“數字經濟是繼農業經濟、工業經濟之后的主要經濟形態……‘十四五時期，我國數字經濟轉向深化應用、規范發展、普惠共享的新階段。”數字經濟時代勢必涌現出許多嶄新的管理學問題，比如智慧物流、智慧工廠、智慧醫療和智慧政務等，為管理科學與工程專業的發展提供巨大的機遇。同時，數據成為數字經濟時代的新型生產要素，推動了生產方式的變革，對管理科學與工程類專業在培養目標、專業定位、課程設置等諸多方面提出新的要求。

近年來，不少高校在管科類專業的培養計劃中增設熱門的大數據、人工智能等課程[1]，但運籌優化類課程的設置仍相對落后，過多局限在概念、理論、算法的講解，缺乏對學生動手能力的訓練，造成“考完就忘”的局面[2-4]。事實上，運籌優化類課程應用性極強。這些年，制造業、金融業、服務業積累了大量的數據，可以借助建模和優化的方法，實現資源的更優配置。比如，華為、阿里巴巴、京東、順豐、一汽大眾、中國商飛和國家電網等國內行業頭部企業，或者成立運籌優化部門，或者與IBM、Gurobi、杉數科技等運籌優化技術服務商合作，越來越多地將運籌優化技術應用于生產和管理中[5-8]。可以預見，業界對建模與優化類人才的需求將會逐年增大，管科類專業需增設相關實踐課程，或改革現有課程，提升學生針對管理問題的建模能力、前沿優化軟件和算法的應用能力，實現數據要素的更優利用，為我國數字經濟的建設和發展貢獻力量。

一? 管理科學與工程類專業建模優化實踐課程開設現狀

本文以第四輪學科評估管理科學與工程學科排名前50的高校為研究對象，從學校官網下載其信息管理與信息系統、工程管理、工業工程及物流等專業的培養方案，統計并分析建模與優化課程的開設現狀。由于部分高校沒有公開其培養方案，最終獲得42所高校的管科類專業的培養方案。盡管各所高校課程名稱略不同，仍能挑選出其中的運籌優化類課程，并將其大致分為以下四個子類：運籌學基礎、決策分析、建模優化實踐和最優化理論與方法。需要指出的是，這四個子類課程的順序是按照開設高校的數量排列的，即42、27、11、10。

運籌學基礎通常為必修課，每所高校都有開設，上課時間一般在大二上學期或大二下學期，大約二分之一的學時講授線性規劃和整數線性規劃的內容，剩余學時講授圖論、動態規劃、排隊論和存儲論等內容；決策分析課程在運籌學基礎之后開設，講授效用理論、多屬性決策、效率評估方法、專家咨詢法和博弈論等內容；最優化理論和方法通常為選修課，在大三或大四上學期開設，講授凸集和凸函數、無約束優化和約束優化等。總體而言，這三個課程以講授概念、理論、算法基礎為主，學生往往只能手動求解極小規模的優化問題，缺少使用軟件求解優化問題的實踐，既不能深入理解運籌學理論，也對優化算法的求解能力認識不足。顯然，這和當前業界對運籌優化類人才的要求有較大差距。

建模優化實踐課程則在一定程度上彌補了上述課程存在的問題，要求學生通過計算機編程建立較大規模的優化模型，并調用軟件或設計算法，尋找優化模型的解。但與另外三類運籌課程不同，建模與優化課程開設較晚，目前缺乏通用教材，講授的內容差異較大。比如，有的高校側重講授智能優化算法（包括遺傳算法、禁忌搜索、鄰域搜索、蟻群優化和神經網絡等），有的高校講授MATLAB編程和數學建模，有的高校講授建模方法及通用求解器（Gurobi、CPLEX等主流優化軟件）。2020年開始，北京理工大學管理學院信息管理與信息系統專業在大三上學期開設建模與優化實踐課程——優化模型及軟件。該課程作為大二下學期管理運籌學的后續課程，首先講授如何使用求解器解決線性規劃和混合整數規劃問題，并在講解過程中穿插運籌學理論，增強學生對理論的理解；然后介紹管理科學與工程中常見的優化模型，結合模型特征，直接調用求解器求解，或設計精確/啟發式算法求解。該課程設置，一方面考慮了業界的需求，提升學生編程解決較大規模優化問題的能力，另一方面兼顧管科專業運籌優化類課程體系，即作為應用實踐課程，建模與優化涉及的理論知識都可以在前序課程管理運籌學中找到。

二? 課程建設目標

優化模型及軟件課程（以下簡稱“本課程”）旨在建立運籌學基礎和工程實踐之間的橋梁，提升管科類專業學生的動手能力和邏輯思維能力，增強利用所學理論知識解決實際問題的自信心，使其滿足我國工程建設和工程管理的需要，更好地為我國數字經濟建設貢獻力量。

（一）? 知識技能方面

通過本課程的學習，學生能夠了解當前數學規劃模型的通用求解器的發展前沿，了解通用求解器的適用范圍及在業界應用情況；熟悉通用求解器的安裝和配置方法，熟悉使用計算機語言輸入優化模型并調用求解器求解的基本邏輯；掌握至少一種通用求解器的使用方法和規范，理解該求解器的主要參數，并能夠通過設置這些參數，控制求解器的求解過程和輸入輸出過程。

在前序的運籌學課程中，學生們一般只學習了凸集基礎理論，以及單純形法、分支定界法等算法流程，只能手動計算極小規模的數學規劃問題。不少學生沒有見過包含十個以上變量的數學規劃模型，并且簡單地將數學規劃的求解與單純形表的繪制畫等號。通過求解器的學習，學生掌握了使用計算機語言構建數學規劃模型、調用求解器求解模型的方法，意識到運籌學方法可以應用到實際的大規模問題中。與此同時，學生們在求解器的學習和使用過程中，特別是在參數設置、結果輸出的環節，對運籌學課程中基礎理論和算法有了切實的認識。

在熟練使用求解器的基礎上，本課程介紹管理學中常見的優化問題，以及結合問題特征的數學規劃建模方法，從而學生可以借助求解器，尋找中等規模的優化問題的解決方案。由于課時限制，運籌學課程較少介紹管理學中的典型優化問題及對應的數學規劃模型，學生缺少凝練優化問題、構建規劃模型的能力。本課程介紹設備/樞紐選址問題、路徑規劃問題、排班問題等基礎內容，引導學生動手構建模型，并借助求解器求解，增強其動手能力和解決問題的信心，使其能夠閱讀運籌優化類學術論文，以及初步展開運籌優化問題的研究。

本課程結合優化問題的特征，進一步介紹精確算法和啟發式算法對大規模問題的分解思路，即調用求解器或者設計求解規則逐一求解分解得到的小規模優化問題，然后基于小規模問題的解構造大規模問題的解。由于啟發式算法難度較低且網絡上有不少學習資料，本課程只在最后簡單介紹幾種經典的啟發式算法，比如鄰域搜索算法、遺傳算法、模擬退火算法和蟻群優化算法等，課程重點講解兩種精確算法，即Benders分解算法和列生成算法。通過優化算法的介紹，開拓學生運用運籌學基本理論解決實際問題的思路，使其具備針對實際問題進行建模和求解的能力，樹立優化決策的理念。

（二）? 思政教育方面

優化模型及軟件課程屬于方法類課程。一般而言，方法類課程以傳授專業知識為主，但本課程作為聯系理論和實踐的橋梁，有不少素材可以用作思政教育[9-10]。首先，建模與優化是數據智能的基礎課程之一，是發展我國數字經濟的重要技術儲備。數字經濟為建模與優化提供足夠的數據資源，而建模與優化可以充分地利用數據資源，更合理地配置人力、物資要素。比如智慧物流領域，科學的物流中心選址和車輛路徑規劃可以更有效地降低社會物流總費用占 GDP的比重；智慧醫療領域，高效的就醫、手術安排，可以提升醫療衛生機構的服務質量和服務效率。

其次，華人運籌學家近年來在該領域貢獻頗豐，進一步激發學生在管理科學與運籌學領域的科研自信心。比如，當前最流行的通用求解器Gurobi的開發公司美國Gurobi公司的首席技術官（CTO）兼聯合創始人顧宗浩博士，在同濟大學取得本科和碩士學位，而“Gurobi”的前兩個字母“GU”代表的正是顧宗浩博士的姓氏。再比如，運籌學領域最高獎項——馮·諾依曼理論獎的獲得者葉蔭宇教授，本科就讀于華中工學院（現華中科技大學），葉教授不僅是歐洲最大優化算法求解器制造商MOSEK公司的科技顧問委員會主席，而且協助LEAVES、COPT等我國自主求解器的研發，打破國外求解器的壟斷。

三? 課程內容

在管理運籌學的基礎上，優化模型及軟件課程講授前沿優化求解器的使用、管理科學中的經典優化問題及常用的精確和啟發式算法，加強學生對運籌優化理論的理解，提升學生發現工程和管理中的優化問題并建模描述的能力，以及提高學生動手解決問題的能力。優化模型及軟件課程主要包含以下四方面內容。

（一）? 通用求解器的安裝和配置

近年來，國內外主流求解器，如CPLEX、Gurobi、MOSEK和COPT等，都已實現與主流編程語言（C/C++、JAVA、C#和Python等）的無縫銜接，其使用邏輯也逐漸統一為先使用主流編程語言建模、再調用求解器求解模型。與此同時，主流求解器的安裝和配置過程也逐漸趨同，即網站注冊、軟件下載和安裝、軟件激活、系統環境配置和集成開發環境的設置等。優化模型及軟件課程選擇當前最為流行、綜合表現最好[11]的Gurobi作為主講的求解器，詳細介紹其安裝、激活、系統配置，以及主流編程語言開發環境的設置。此外，本課程介紹另外幾款求解器的發展歷史和特性，鼓勵學生對比這幾款求解器的求解效率。

考慮到大部分學生具備Python語言的編程基礎，以及Python的跨平臺和易上手等特性，本課程選擇Python作為編程語言。掌握了“Python+Gurobi”的組合，學生可以較為輕松地將相關技術平移到其他“編程語言+求解器”的組合上。

（二）? 求解器Gurobi的使用

這部分內容講授如何使用Gurobi求解線性規劃和（混合）整數規劃問題。首先，介紹“Python+Gurobi”的程序框架，以及建模求解的基礎命令。為了讓學生更快上手，課程提供Python語言下的程序模板。學生只需更改模板中的決策變量、約束條件、目標函數，可以快速實現對管理運籌學教材中線性規劃和整數規劃問題的求解。這一過程可以提升學生使用軟件解決數學規劃問題的興趣。

然后，本課程講授Gurobi的高級命令及通過循環語句構建大規模數學規劃問題。課程會提供相應程序模板供學生參考，以及大規模優化問題的數據文件供學生使用。接著，介紹Gurobi中的常用參數及Callback命令，實現對求解過程的控制，同時幫助學生在實踐中進一步理解運籌學理論和算法。最后，介紹Gurobi求解多場景、多目標問題的方法，以及借助分段線性函數求解非線性規劃問題的技巧。

（三）? 管理科學與工程中常見的優化問題及建模

這部分內容講授管理科學中的選址問題、集合劃分/覆蓋問題、車輛路徑問題等經典的優化問題。選址問題包括設施選址和樞紐選址，在生產生活、物流，甚至軍事中都有著非常廣泛的應用；集合劃分/覆蓋問題則可應用于乘務計劃、車輛周轉、物料分割等領域；車輛路徑問題是交通和物流領域中最經典的優化問題，物流配送、運輸服務中的許多問題都可以看作是車輛路徑問題的變型。

在學習優化模型及軟件課程之前，部分學生通過競賽接觸過一些優化問題，但是沒有經過系統的建模訓練，缺乏從實際問題中提煉數學規劃模型的能力。本課程從實際案例引出經典的優化問題，給出決策變量、約束條件、目標函數和模型參數的規范定義，引導學生逐步完成基礎模型的建立，培養學生提煉數學規劃模型的能力。然后，給出大規模案例，指導學生在“Python+Gurobi”的環境求解建好的數學規劃模型，并嘗試調整Gurobi的參數，加快求解大規模規劃模型的速度。此外，結合應用場景的有界性、動態性等特征，擴展基礎模型，使其更加貼近實際。最后，針對具體的優化問題，介紹不同的建模角度，比如基于弧的模型、基于路徑的模型等，開拓學生的建模思路。

（四）? 精確和啟發式算法

使用Gurobi直接求解，通常只能得到中等規模優化問題的解。為解決大規模優化問題，往往需要設計精確或啟發式算法，將大規模問題分解為一系列小規模問題，采用求解器或設計規則快速得到小規模問題的解，然后再構造原問題的可行解或最優解。常用的精確算法包括Benders分解算法和列生成算法；啟發式算法包括鄰域搜索算法、模擬退火算法、遺傳算法和蟻群優化算法。本課程重點講授精確算法的原理及編程實現。

本課程首先回顧了凸集的基本概念和定理，以及線性規劃對偶理論，作為講解Benders分解算法的基礎。然后，介紹經典Benders分解算法的原理和實現過程，以及Benders分解算法在選址優化問題中的應用；進一步的，指出經典Benders分解算法的缺陷，從而引出改進的Benders算法框架——結合求解器callback功能的branch-and-Benders-cut算法。

在列生成算法部分，本課程借助物料分割問題引出列生成算法的概念，并通過單純形法講解列生成算法的原理和步驟；然后，從原理、操作步驟等方面，對比Benders分解算法和列生成算法；接著，介紹列生成算法在車輛路徑優化、乘務排班優化問題中的應用。

本課程精確算法涉及的理論基礎，都可以在運籌學課程中找到，比如凸集理論、對偶理論、檢驗數等，因此通過講授算法，加強學生對運籌學理論基礎的理解。此外，為幫助學生盡快上手，本課程提供經典Benders分解和列生成算法案例的Python語言代碼。精確算法的編程實現過程，整合學生所學的計算機語言、數據結構、運籌優化等知識，提高學生動手解決實際問題的能力和信心。

四? 教學方法

與運籌學、最優化等基礎理論課程不同，優化模型及軟件課程強調發現問題、建立模型、編程求解的實踐能力。相應的，教學方法也有極大的區別。

（一）? 課堂上機練習

優化模型及軟件課程有三分之一左右的課時講授求解器的使用，其中一半為上機練習。具體而言，90分鐘的課堂，前45分鐘介紹求解器的使用，并給出練習題，后45分鐘上機做題鞏固知識點，遇到問題由教師當堂解答。課程統一使用Python語言，避免教師在不同編程語言之間切換。此外，課程提供一定數量的Python程序模板，學生在初期可以通過修改模板中的命令建立簡單的優化模型，其注意力更多地集中于求解器的使用流程而不是編程語言的細節。

（二）? 課下在線交流

鼓勵學生在課下通過課程群提問交流。由于課下作業需要編程完成，學生在課程初期難免遇到編程上的問題，很可能被卡在一個很小的程序細節上。教師通過學生發送的“程序報錯”截圖，可以較快地定位錯誤所在并幫助學生調試。這一過程既是對教師調試能力的提升，也能增強學生對教師的信任，以及對課程的興趣。教師也通過課程群，發送求解器和算法的新聞，讓學生了解學術界和業界的前沿成果。

（三）? 開放的課程報告

優化模型及軟件以課程報告的形式考核學生掌握程度。課程報告的選題是開放的，包括不同求解器的求解效率對比實驗，經典優化類論文的算法實現，身邊的建模優化問題及求解等。過去兩年，有學生選擇經典算法復現，并基于公開數據集，檢驗算法效率；也有學生研究“北京理工大學建筑景點拍攝路線規劃”問題，建立車輛路徑優化模型并設計算法。在最后兩節課，學生在課堂匯報自己的選題及擬采取的研究方案時，與教師和其他學生討論方案的可行性；結課后30天，學生提交課程報告。這一過程可以看作是縮微版的項目研究，學生可以提前了解未來的學術研究或工程項目。

五? 結束語

本文收集并分析了我國開設管科類專業的主要高校的培養方案，發現絕大部分高校運籌優化類課程存在重視理論和概念、忽視應用和實踐的問題，與業界對運籌優化類人才的需求有較大偏差；少數高校已開設建模與優化等應用實踐課程，但也存在講授內容與運籌學基礎難成體系的問題。結合北京理工大學信息管理與信息系統專業開設的課程優化模型及軟件，本文探討了建模優化實踐課程的教學目標、課程內容及教學方法。通過建模與優化課程的建設，完善運籌優化類課程體系，形成“基礎理論+應用實踐”的培養模式，使得管理科學與工程類專業更適應數字經濟時代業界對運籌優化人才的要求。

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