基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)的“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程教學(xué)改革與探索

張坤 楊慧賢

摘? 要：課程改革關(guān)系到教學(xué)效率和質(zhì)量，只有創(chuàng)新教學(xué)理念和方法才能滿足新形勢下的人才培養(yǎng)需求。本研究針對“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程的教學(xué)改革工作進(jìn)行研究，采用文獻(xiàn)總結(jié)、實(shí)地調(diào)查、案例借鑒等方法，從“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程特點(diǎn)入手，指出該課程的教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合教學(xué)改革案例及帶來的啟發(fā)，闡述了基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)的課程教學(xué)改革方法。研究結(jié)果表明，在“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程教學(xué)中，改革教學(xué)方式和評價(jià)體系，激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐操作能力，才能培養(yǎng)出應(yīng)用型人才，提示教師加以關(guān)注。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用型人才；教學(xué)改革；實(shí)踐能力；考核評價(jià)

中圖分類號：G42? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：1673-7164（2024）08-0151-04

信息技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用，在造福于人類的同時(shí)，也對工程類人才培養(yǎng)提出新的要求。在此背景下，“新工科”理念應(yīng)運(yùn)而生，具有多學(xué)科交叉的特征，更加注重人才的思維、實(shí)踐及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，為工程教育改革指明了方向。［1］“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程的實(shí)用性較強(qiáng)，但實(shí)際教學(xué)效果不理想，為了滿足應(yīng)用型人才的培養(yǎng)需求，必須要對教學(xué)工作進(jìn)行改革。現(xiàn)有文獻(xiàn)中，多集中在教學(xué)模式的變革上，忽視了教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)評價(jià)等內(nèi)容，整個(gè)教學(xué)改革體系不夠完善。鑒于此，下文結(jié)合實(shí)踐探討了該課程的教學(xué)改革方法，以供參考。

一、“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程特點(diǎn)

“復(fù)變函數(shù)與積分變換”是理工科專業(yè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，介紹了單自變量復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)、積分、級數(shù)、留數(shù)等基本概念，重點(diǎn)闡述了解析函數(shù)的理論和方法，以及傅里葉、拉普拉斯變換等內(nèi)容。通過本課程的學(xué)習(xí)，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

總結(jié)該課程的特點(diǎn)有兩個(gè)：一是應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，包括但不限于力學(xué)、通信工程、自動(dòng)化、測控技術(shù)等，涉及多個(gè)領(lǐng)域如物理學(xué)、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等。具體來看，在物理學(xué)領(lǐng)域，復(fù)變函數(shù)可描述物理系統(tǒng)中某種變化的速率，描述某類物理流程，提高模擬準(zhǔn)確性；積分變換能展示出物理過程的內(nèi)部機(jī)理，幫助人們更好地解決物理問題。在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，復(fù)變函數(shù)能幫助計(jì)算機(jī)解決復(fù)雜計(jì)算問題，快速找到符合特定條件的函數(shù)模型；積分變換能對物體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行模擬，對動(dòng)力系統(tǒng)的性能進(jìn)行優(yōu)化；二是學(xué)習(xí)難度較高。該課程涉及較多的抽象概念，有很多重點(diǎn)、難點(diǎn)數(shù)學(xué)知識，不僅理論性強(qiáng)，應(yīng)用實(shí)例少；學(xué)時(shí)短、任務(wù)重，學(xué)習(xí)效果不達(dá)預(yù)期。

二、“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程的教學(xué)現(xiàn)狀

以某高等院校為例，對“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程的教學(xué)工作進(jìn)行實(shí)地調(diào)查，發(fā)現(xiàn)存在以下問題：

（一）學(xué)時(shí)安排不合理

復(fù)變函數(shù)課程部分是從實(shí)數(shù)領(lǐng)域的函數(shù)擴(kuò)展到復(fù)數(shù)領(lǐng)域，不僅基本概念延伸，而且知識內(nèi)容非常抽象，學(xué)生理解起來有一定困難。［2］積分變換課程部分是工程數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其中的理論研究運(yùn)用在工程實(shí)際中，學(xué)生一時(shí)間難以適應(yīng)。從整個(gè)教學(xué)安排來看，該課程的知識點(diǎn)多、內(nèi)容抽象，但是學(xué)時(shí)安排較少，留給學(xué)生理解、練習(xí)的時(shí)間有限。在實(shí)際教學(xué)中，采用灌輸式教學(xué)方法，導(dǎo)致教學(xué)效率和質(zhì)量不高，學(xué)生的實(shí)際收獲有限。

（二）學(xué)生有畏難情緒

該課程既是一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，具有完善的知識體系，也是一個(gè)重要的解題工具，與電子、力學(xué)、控制等學(xué)科存在交叉，教學(xué)過程重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算、邏輯和抽象思維能力。由于該課程的基本概念多、計(jì)算公式多，與高等數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性強(qiáng)，部分學(xué)生具有畏難情緒，尤其是高等數(shù)學(xué)成績不好的學(xué)生。加之傳統(tǒng)教學(xué)模式下，整個(gè)課堂枯燥乏味，師生互動(dòng)少，降低了學(xué)生的求知欲。

（三）實(shí)踐應(yīng)用較少

其一，該課程本身的理論知識體系復(fù)雜，作為高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，需要學(xué)生大量的推理推導(dǎo)、記憶公式，如拉普拉斯變換公式、柯西積分公式等。其二，知識應(yīng)用背景不足、缺少實(shí)踐內(nèi)容，只動(dòng)腦卻不動(dòng)手，削弱了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。其三，實(shí)踐課程的開展，完全按照理論教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)，技術(shù)和場景設(shè)置不夠新，甚至與實(shí)際應(yīng)用相脫節(jié)，不利于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力。

（四）考評方法單一

考核評價(jià)也是教學(xué)工作的重要組成部分，既能了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，又能發(fā)現(xiàn)教學(xué)問題和不足。在教學(xué)考評上，將期末考試和日常成績結(jié)合起來，兼顧學(xué)習(xí)過程和結(jié)果，能考察學(xué)生的知識和技巧掌握情況。［3］但是，這種考評方法較為單一，一方面考評主體單一，單純由教師對學(xué)生進(jìn)行考評，難以避免主觀因素的影響。另一方面考評指標(biāo)單一，無法評價(jià)學(xué)生的創(chuàng)新、問題解決、團(tuán)隊(duì)協(xié)作等能力，不利于培養(yǎng)應(yīng)用型人才。

三、教學(xué)改革案例分析及啟發(fā)

（一）案例一：翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)法

杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院成立于2000年，設(shè)有2個(gè)系，6個(gè)本科專業(yè)，現(xiàn)有教職工226人，在校學(xué)生3400余人。在控制類專業(yè)教學(xué)中，對“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程采用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)法，簡要介紹如下：

第一，設(shè)置課前任務(wù)。根據(jù)教學(xué)大綱和人才培養(yǎng)要求，教師合理設(shè)置學(xué)習(xí)任務(wù)單，在課前發(fā)放給學(xué)生，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)內(nèi)容和目標(biāo)，自主預(yù)習(xí)相關(guān)知識點(diǎn)，標(biāo)記無法解決的問題。

第二，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容。對教材中的知識點(diǎn)進(jìn)行梳理，一方面讓學(xué)生站在宏觀角度了解整個(gè)課程體系，認(rèn)識到本節(jié)課程與其他專業(yè)課程之間的關(guān)聯(lián)。另一方面緊密結(jié)合專業(yè)特征，將基礎(chǔ)知識運(yùn)用到實(shí)際案例中，提高知識的實(shí)用性。

第三，強(qiáng)化師生互動(dòng)。將課堂歸還給學(xué)生，創(chuàng)造寬松、積極、活躍的課堂氛圍，加強(qiáng)教師與學(xué)生之間的交流互動(dòng)。教學(xué)中忽視基本概念和簡單的知識點(diǎn)，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生無法解決的問題，通過合作探究的方式，一邊有效解決問題，一邊培養(yǎng)邏輯思維能力。［4］

第四，改變考核模式。將傳統(tǒng)的閉卷考試模式轉(zhuǎn)變?yōu)槎喾N評價(jià)相結(jié)合的模式，提高考核結(jié)果的全面性和客觀性。例如在小組合作探究后展示研究成果，撰寫總結(jié)性的專題報(bào)告，設(shè)置應(yīng)用型開放性考題，線上學(xué)習(xí)平臺(tái)智能化評價(jià)等。

第五，打造線上平臺(tái)。為了推進(jìn)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)法，學(xué)院在信息技術(shù)設(shè)施方面投入充足的資源，打造網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，形成智慧教學(xué)體系。例如教師將教學(xué)資源上傳至平臺(tái)，學(xué)生利用手機(jī)、電腦等終端就能查看并學(xué)習(xí)，在線完成問答和測試。在實(shí)操環(huán)節(jié)利用平臺(tái)的選人、搶答等功能，優(yōu)化教學(xué)組織，學(xué)生的積極性顯著提升。

（二）案例二：“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)法

黑龍江工程學(xué)院始建于1952年，設(shè)有16個(gè)教學(xué)單位，56個(gè)本科專業(yè)，現(xiàn)有教職工1200余人，在校學(xué)生13000余人，享有“工程師的搖籃”美譽(yù)。專業(yè)教學(xué)中，對“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程采用“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)法，簡要介紹如下：

第一，利用慕課開展教學(xué)。為配合慕課的應(yīng)用，教師成為教學(xué)活動(dòng)的講授者和指導(dǎo)者。在專題討論環(huán)節(jié)，匯總不理解的知識點(diǎn)、難解決的問題，進(jìn)行分組討論。在正式教學(xué)環(huán)節(jié)，教師根據(jù)大綱內(nèi)容、學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)和在線學(xué)習(xí)要求，設(shè)計(jì)慕課視頻課件，重點(diǎn)放在解題過程和技巧上。

第二，創(chuàng)新課后練習(xí)作業(yè)。在“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程學(xué)習(xí)中，練習(xí)是一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，基于“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下，對練習(xí)作業(yè)模式進(jìn)行創(chuàng)新。一是交流型作業(yè)。課堂教學(xué)完成后，教師抽出一定時(shí)間提問，由小組代表發(fā)言，既能檢測學(xué)習(xí)效果，又能培養(yǎng)表達(dá)能力。［5］在此基礎(chǔ)上打造網(wǎng)上交流平臺(tái)，方便學(xué)生與教師口頭交流，分享教學(xué)資源，拉近師生之間的距離。二是閱讀式作業(yè)。讓學(xué)生仔細(xì)閱讀題目，厘清已知條件和未知條件，明確提問者的真實(shí)意圖，獲取更多的知識信息。為此，教師利用互聯(lián)網(wǎng)資源創(chuàng)建數(shù)學(xué)資源庫，將名人、典故、語言、應(yīng)用案例等資料納入其中，方便學(xué)生根據(jù)自身要求查詢可利用的信息。三是拓展性作業(yè)。此類作業(yè)以圖片和視頻文件為主，例如習(xí)題賞析、科教片、紀(jì)錄片等，調(diào)動(dòng)學(xué)生的多個(gè)感官，拓展課程知識體系范圍，讓學(xué)生愛上這門課程，培養(yǎng)獨(dú)立思考、自主探究、思維創(chuàng)新能力。

（三）啟發(fā)

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)法提高了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意愿，增加了師生之間的互動(dòng)。“互聯(lián)網(wǎng)+”教學(xué)法為學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了便利，課程內(nèi)容多樣化、生活化，打破了時(shí)間、空間的限制。從這兩個(gè)案例中得到的啟發(fā)：第一，教學(xué)改革要全面進(jìn)行，思想觀念、教學(xué)內(nèi)容、方式方法多管齊下，充分把握學(xué)情，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；第二，除了教學(xué)本身，還要對考核評價(jià)機(jī)制進(jìn)行變革，從原本單一的評價(jià)方式轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘣u價(jià)方式，提高評價(jià)結(jié)果的客觀性，才能為后續(xù)教學(xué)改進(jìn)提供科學(xué)依據(jù)。

四、基于應(yīng)用型人才培養(yǎng)的“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程教學(xué)改革方法

（一）優(yōu)化設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容

第一，合理安排學(xué)時(shí)。根據(jù)不同專業(yè)的教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)，對“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程資源進(jìn)行整合，既保證知識體系的完整性，又能對教學(xué)模塊進(jìn)行分解，達(dá)到去繁就簡，方便學(xué)生進(jìn)行理解和學(xué)習(xí)。例如：復(fù)變函數(shù)部分，“柯西積分公式”和“高階導(dǎo)數(shù)公式”在第三章，“留數(shù)”在第五章，將這些內(nèi)容整合起來講解，有助于學(xué)生從留數(shù)的角度對前兩個(gè)公式進(jìn)行理解運(yùn)用，提高教學(xué)效果。

第二，以學(xué)生為中心。教學(xué)設(shè)計(jì)要突出學(xué)生的主體地位，關(guān)注學(xué)生的需求動(dòng)向，打造新型師生關(guān)系。［6］例如：“復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性”“初等函數(shù)”“原函數(shù)與不定積分”等內(nèi)容，是實(shí)數(shù)領(lǐng)域知識的延伸，教學(xué)時(shí)可采用翻轉(zhuǎn)課堂，既能減輕學(xué)生的壓力，又能提高學(xué)習(xí)熱情，可以產(chǎn)生良好的教學(xué)效果。

（二）注重學(xué)科知識交叉

科學(xué)技術(shù)快速發(fā)展的一大特征是不同學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)更為緊密，解決一個(gè)工程問題，往往需要應(yīng)用多個(gè)學(xué)科知識。“復(fù)變函數(shù)與積分變換”作為一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，在教學(xué)過程中也要注重學(xué)科知識交叉，培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新能力。具體操作上，教師為學(xué)生展示該課程在整個(gè)工程領(lǐng)域的應(yīng)用框架，讓學(xué)生認(rèn)識到該課程的重要性，尤其是對后續(xù)課程的作用。例如電力通信專業(yè)的學(xué)生，學(xué)習(xí)“信號與系統(tǒng)”課程時(shí)會(huì)用到積分變換知識，信號的處理就是分析信號的時(shí)域、頻域、變換域等參數(shù)，對應(yīng)“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程中的“傅里葉變換”“拉普拉斯變換”“z變換”。自動(dòng)化專業(yè)的學(xué)生，學(xué)習(xí)“自動(dòng)控制原理”課程時(shí)會(huì)用到傳遞函數(shù)知識，該函數(shù)是控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域模型，表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，對應(yīng)“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程中的“拉氏變換”，系統(tǒng)傳遞函數(shù)是響應(yīng)狀態(tài)與激勵(lì)狀態(tài)的拉氏變換的比值。在教學(xué)中交叉不同的學(xué)科知識，能拓展學(xué)生的眼界和思路，既能豐富教學(xué)資源，又能為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（三）培養(yǎng)實(shí)踐操作能力

第一，案例教學(xué)。案例教學(xué)是以工程實(shí)際問題為主線，將課程知識貫穿其中，學(xué)生通過獨(dú)立思考或合作探究解決問題，從而拉近理論與實(shí)踐的關(guān)系。在具體教學(xué)中，教師應(yīng)選擇與課程內(nèi)容相關(guān)的案例，課堂中設(shè)置若干問題，引導(dǎo)學(xué)生由淺及深地掌握知識，尋找問題解決方法，加深知識點(diǎn)的運(yùn)用，培養(yǎng)實(shí)踐能力。例如“泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)”教學(xué)中，課前給出單邊信號的z變換，讓學(xué)生思考它的收斂域。在“拉氏變換”教學(xué)中，給出物體的運(yùn)動(dòng)方程，讓學(xué)生思考如何求解。

第二，可視化教學(xué)。將信息技術(shù)應(yīng)用在教學(xué)中，為學(xué)生演示專業(yè)背景、公式推導(dǎo)過程，實(shí)現(xiàn)教學(xué)的可視化，方便學(xué)生理解相關(guān)知識點(diǎn)。以Matlab軟件為例，主要用于數(shù)據(jù)分析、深度學(xué)習(xí)、圖像與信號處理等，是三大數(shù)學(xué)軟件之一。［7］指數(shù)函數(shù)教學(xué)中，利用該軟件可繪制函數(shù)的四維圖像，具體程序：

z=5×cplxgrid（30）? ? ?cplxmap（z，xep（z））

figure；? ? ? ? ? ? ?colorbar（‘vert）

z=5×cplxgrid（30）? ? ? ?title（‘exp（z））

最終得到函數(shù)的四維圖像如圖1所示。其中，x軸表示自變量z的實(shí)部，y軸表示虛部；z軸表示復(fù)變函數(shù)w的實(shí)部，虛部則用不同顏色表示。觀察該圖像，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律，以及指數(shù)函數(shù)的周期性特征。

（四）完善考核評價(jià)體系

第一，增加評價(jià)主體。常規(guī)考核評價(jià)體系下，由教師對學(xué)生的日常成績和期末考試成績進(jìn)行綜合評價(jià)，由于評價(jià)主體單一，可能影響評價(jià)結(jié)果的客觀性和公正性。對此，今后的教學(xué)評價(jià)工作應(yīng)增加評價(jià)主體，如學(xué)生自評，幫助學(xué)生認(rèn)清自我，培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣，激發(fā)內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)力，并且和教師共同承擔(dān)評價(jià)責(zé)任。［8］學(xué)生互評，有助于學(xué)生之間交流信息，既能促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，又是培養(yǎng)合作精神、協(xié)作能力的有效途徑。學(xué)生評價(jià)教師，從學(xué)生角度尋找教學(xué)不足，實(shí)現(xiàn)教學(xué)工作的不斷改進(jìn)。

第二，豐富考核指標(biāo)。單純依據(jù)日常成績和期末考試成績，對學(xué)習(xí)效果的評價(jià)不夠全面和客觀，結(jié)合“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程特點(diǎn)，應(yīng)進(jìn)一步豐富考核指標(biāo)，將課堂表現(xiàn)、作業(yè)情況、分組討論、期末考試、答辯展示等指標(biāo)納入其中，建立綜合評價(jià)體系。隨著網(wǎng)絡(luò)授課平臺(tái)的廣泛應(yīng)用，學(xué)生在線上學(xué)習(xí)過程中，系統(tǒng)會(huì)記錄學(xué)生的考勤情況，既方便師生之間互動(dòng)，又提供了一種新型考核方法，即線上測試考核。

五、結(jié)語

綜上所述，“復(fù)變函數(shù)與積分變換”不僅是一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，也是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具。針對目前高等院校教學(xué)工作中存在的問題，本研究結(jié)合成功的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出優(yōu)化設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，注重學(xué)科知識交叉，培養(yǎng)實(shí)踐操作能力，完善考核評價(jià)體系，以提高教學(xué)效率和質(zhì)量，更好地實(shí)現(xiàn)應(yīng)用型人才培養(yǎng)的目標(biāo)。

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［7］ 張永利，胡少卿，王志. 在應(yīng)用型本科建設(shè)的背景下學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的研究——以復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)為例［J］. 教育教學(xué)論壇，2020（07）：153-154.

［8］ 張海霞，謝秀峰，宋曉紅. 復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的教學(xué)實(shí)踐與改革［J］. 教育教學(xué)論壇，2019（44）：160-161.

（薦稿人：翟文娟，滄州交通學(xué)院副教授）

（責(zé)任編輯：胡甜甜）