2023年高考數學新課標全國Ⅰ卷壓軸題的題源及推廣

摘 要：文章針對2023年高考數學新課標全國卷壓軸題（即第22題）進行了深度探究，旨在幫助廣大教師和學生開拓思維，提高數學解題能力.

關鍵詞：高考壓軸題；平面解析幾何；不等式；推廣；編擬習題

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0010-05

2023年高考數學新課標全國卷壓軸題（即第22題）是一道平面解析幾何題，但涉及不等式問題.文章給出了這道題的題源及推廣，由得到的推廣容易編擬出大量的類似題目.

1 一道高考壓軸題

2 高考壓軸題的題源

題2 （1998年上海市高中數學競賽試題第三題）如圖1，已知一個正方形的三個頂點A，B，C均在拋物線y=x2上，求該正方形面積的最小值.

解析 如圖1所示，可設滿足題設的正方形是正方形ABCD，三點A（x1，x21），B（x2，x22），C（x3，x23）（x1

假設x1，x2，x3均是非負數，由AB⊥BC，可得

即（1，x2+x1）·（1，x3+x2）=1+（x2+x1）（x3+x2）=0.

即（x2+x1）（x3+x2）<0.

所以x1，x2，x3不可能均是非負數也不可能均是非正數，即x1，x2，x3中有負數也有正數，因而x1<0

kABkBC=（x1+x2）（x2+x3）=-1<0.

若kAB<0，則kBC>0.

若kAB=x1+x2>0，由x1<0，可得x2>0.

再由x10.總之，kBC>0.

再由弦長公式［1］，可得

由均值不等式及平方平均≥算術平均，可得

k2+1≥2k（當且僅當k=1時取等號），

進而可得當且僅當k=1（即圖1中的正方形ABCD的三個頂點A，B，C的坐標分別是（-1，1），（0，0），（1，1））時，正方形ABCD的面積BC2最小，且最小值是2.

3 對題1（2）結論的推廣

證明 如圖2所示，可設滿足題設的矩形是矩形ABCD，三點A（x1，ax21），B（x2，ax22），C（x3，ax23）（x1

假設x1，x2，x3均是非負數，由AB⊥BC，可得

即（1，a（x2+x1））·（1，a（x3+x2））=0=1+

a2（x2+x1）（x3+x2）=0.

即（x2+x1）（x3+x2）<0.

所以x1，x2，x3不可能均是非負數也不可能均是非正數，即x1，x2，x3中有負數也有正數，因而x1<0

kABkBC=a2（x1+x2）（x2+x3）=-1<0.

若kAB<0，則kBC>0；

若kAB=a（x1+x2）>0，由x1<0，可得x2>0.

再由x1

a（x2+x3）>0.總之，kBC>0.

如圖2所示，過點B作線段TH∥x軸，且AT⊥

可再設點B（p，ap2）（x1

又由兩點A，C均在拋物線y=ax2上，可得

綜上所述，可得欲證結論成立.

4 對題1（2）結論的再推廣

（2）如圖3所示，由題設知可設三點A（x1，ax21），B（x2，ax22），C（x3，ax23）（x1

再由弦長公式，可得

設矩形ABCD的面積是S，由①②，可得

進而可得欲證結論成立.

證明 如圖3所示，可設滿足題設的矩形是矩形ABCD，且可設三個頂點A（x1，ax21），B（x2，ax22），

C（x3，ax23）（x1

（3）若矩形ABCD的三個頂點A，B，C（它們的橫坐標依次增大）均在拋物線y=ax2+bx+c上，且|AB|=463|BC|，則|AB|min=2103|a|，矩形ABCD面積的取值范圍是［569a2，+∞）.

5 結束語

通過對高考試題的研究，我們可以更好地理解考試，揭示重點考查內容，從而更有效地引導教學，為高效教學提供數據支持，重視對高考試題的研究，能夠精準地捕捉命題趨勢，科學地調整教學內容.

參考文獻：

［1］ 甘志國.高中數學題典精編（第一輯）：不等式·推理與證明[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2022.