分段函數常見題型及解題思路的分析

【摘要】分段函數是函數部分較為常見的知識點，題型靈活多變，由于不同取值范圍對應不同的表達式，因此與一般的函數有一定區別.常見的考查分段函數的問題包括：求解分段函數解析式、求解分段函數的函數值、已知函數值求參數等.本文以具體實例分析不同題型，幫助學生理解和掌握求解分段函數問題的思路，加深學生對分段函數的理解與應用.

【關鍵詞】高中數學；分段函數；解題技巧

近年來，高考中對分段函數的考查越來越多，可以說分段函數已成為高考題中的熱門內容.為此，本文對分段函數的常見題型及解法進行歸類介紹，以供讀者參考.

1" 分段函數求值問題

分段函數求值問題，難度較小，根據定義逐步解答，即可得到最終答案，主要是通過不同定義域對應的解析式，代入求解得到具體值.解答分段函數的具體值這類問題，一般解題步驟為：①根據分段函數的定義，找到對應解析式；②將自變量值代入解析式，運算得到最終函數值.

例1" 已知函數fx=2x，x＜0，3，0≤x≤1，log13x，x＞1，求fffaa＜0的值.

剖析" 該題偏向于多次求解分段函數值，即從內到外一步步按照分段函數的范圍，依次代入解析式運算，才能得到最終所求的函數值，正確運算是解題的關鍵.

解" 根據題意可知alt;0，

滿足fx=2x，x＜0，3，0≤x≤1，log13x，x＞1，

所以fa=2a，

因為0＜2a＜1滿足上述分段函數，

所以ffa=f2a=3，

因為3＞1，

所以fffa=f3=log133=－12.

2" 求解分段函數不等式問題

求解分段函數有關的不等式問題，應結合具體圖象進行，即通過圖象得到對應不等式的自變量范圍，即可得到答案.求解分段函數的不等式問題，具體步驟為：①畫出分段函數在不同范圍的具體圖象；②根據不等式在圖象上對應的具體情況，得到具體解集.

例2" 若函數fx=3x，x≥0，3x+1，x＜0，解不等式ffx＜4fx+1.

剖析" 解答該不等式首先要換元對不等式進行簡化，先求得換元后的解集，即換元后求t的取值范圍，對應fx的值域范圍，再結合具體函數圖象求自變量x的范圍，從而對問題做出解答.

解" 令t=fx，

則不等式等價于ft＜4t+1，

當t＜0時，ft=3t+1＜4t+1，與題意矛盾，無解；

當t≥0時，ft=3t＜4t+1，

在同一坐標系內畫出函數y=3t和y=4t+1的圖象，如圖1所示.

圖1

由圖可知，當0＜t＜2時，3t＜4t+1，

綜上所述，ft＜4t+1的解集為{t|0＜t＜2}，

所以0＜fx＜2，

畫圖fx的圖象，如圖2所示.

圖2

可知－13≤x＜log32，

故不等式ffx＜4fx+1解集為

x－13＜t＜log32.

3" 分段函數值求參數范圍問題

已知具體函數值或值域范圍求解參數問題，屬于分段函數的常見題型.給出分段函數的具體函數值劃分范圍，可以考慮結合圖象對問題做出解答，即通過數形結合列式計算，得到具體參數值或范圍.數形結合思想解題的具體應用步驟可概括為：①根據題意，確定范圍對應的函數解析式并列式計算；②求得滿足題意的參數值或范圍，可對問題做出完整解答.

例3" 已知函數fx=11－x，x＜0，log2x－a，x≥0，

gx=14x2－cosx，若f－1=f1，則實數a=;若x1∈－π2，π2，總x2∈R使gx1=fx2成立，則實數a的取值范圍為.

剖析" 該題屬于已知函數值求參數問題，首先分析分段函數，結合解析式列出具體的等式gx1=fx2，得到滿足題意的情況后，運算求解即可得知參數a的范圍.

解" 因為f－1=11－－1=12，

f1=log21－a，

因為f－1=f1，

可得12=log21－a，a=1－2.

設函數fx的值域為A，函數gx的值域為B，由題意可得BA，

因為函數gx為偶函數，且在0，π2上為增函數，

所以當x∈－π2，π2時，

函數gx的最大值為gπ2=π216，

函數gx的最小值為g0=－1，

即B=－1，π216，

因為當x＜0時，fx∈0，1；

當x≥0時，函數fx為增函數，值域為f0，+∞，

使BA，則有fx在0，+∞上連續，

且－a＞0，f0≤－1，即－a＞0，log2－a≤－1，

解得－12≤a＜0，

故答案為1－2;－12，0.

4" 結語

對分段函數的考查在高考數學試題中通常以選擇題或者填空題的形式出現，考查的方式比較簡單，考查的類型一般為本文所介紹的這三種，只要學生充分理解分段函數的含義，靈活運用函數圖象并在求解的過程中計算正確，即可順利解答.

參考文獻：

［1］謝新華.探析分段函數零點問題類型及解題策略［J］.中學數學研究，2020（04）：56-58.

［2］趙祥敏.新課程下\"分段函數\"的常見題型及解法［J］.課程教材教學研究（中教研究），2015（Z1）：8-9.

［3］李鵬.分段函數的常見題型及解法［J］.新高考（高一數學），2016（09）：28-30