借助逆向思維，解答數學難題

【摘要】高中數學的習題類型比較多，部分題目的難度比較大，利用常規方法難以解題，利用逆向思維可以降低解題難度，提高解題效率.因此，在高中數學解題中，教師應當引導學生利用逆向思維，有效解答數學難題，提高學生逆向思維應用意識與能力.

【關鍵詞】高中數學；逆向思維；解題技巧

高中數學解題中，利用逆向思維，能夠提高學生解題效率，樹立學生解題自信，提高學生解題能力，提升學生解題水平.因此，作為高中數學教師，應當結合教學內容，引入相應的例題，講解逆向思維的有效應用.本文結合例題分析逆向思維在數學難題解題中的應用.

1" 利用逆向思維，優化解題過程

例1" 若函數f（x）=lnx+ax2－2在區間12，2內有單調遞增區間，求解實數a的取值范圍.

解" 因為f（x）=lnx+ax2－2，

所以f′（x）=1x+2ax=2ax2+1x，

若f（x）在區間12，2內有單調遞增區間，

則f′（x）＞0在x∈12，2有解，

所以a＞（－12x2）min，

因為g（x）=－12x2在12，2遞增，

所以g（x）＞g（12）=－2，

所以a＞－2.

2" 借助逆向思維，利用數學定理

例2" 已知m，n是兩個非零向量，且|m|=1，|m+2n|=3，則|m+n|+|n|的最大值是.

解" 根據（a+b）2≤2（a2+b2）的定理，

得出（|m+n|+|n|）2≤2（|m+n|2+|n|2），

因為|m+n|2+|n|2=m2+2m·n+2n2，

|m|=1，

所以|m+n|2+|n|2=1+2m·n+2n2，

因為|m+2n|=3，

所以|m+2n|2=9，

則|m+2n|2=m2+4m·n+4n2=9，

所以2m·n+2n2=4，

所以|m+n|2+|n|2=5，

則（|m+n|+|n|）2≤10，

則|m+n|+|n|≤10，當且僅當|m+n|=|n|時取等號，

所以|m+n|=|n|的最大值是10.

3" 利用逆向思維，發掘隱含條件

例3" 函數f（x）對于任意實數x都存在f（x+2）－f（x）=2f（1），如果y=f（x－1）的圖象關于x=1對稱，f（0）=2，則f（2017）+f（2018）的值是.

解" 因為y=f（x－1）關于x=1對稱，

所以y=f（x）的圖象關于x=0，

所以f（x）為偶函數，

因為f（x+2）－f（x）=2f（1），

所以f（－1+2）－f（－1）=2f（1），

所以f（1）=0，

所以f（x+2）=f（x），

所以f（2017）=f（1）=0，f（2018）=f（0）=2，

所以f（2017）+f（2018）=2.

4" 利用逆向思維，明確解題思路

例4" 已知定義在R上的偶函數f（x），其導函數為f′（x）.當x≥0時，恒有x2f′（x）+f（－x）≤0，如果g（x）=x2f（x），則不等式g（x）＜g（1－2x）的解集是.

解" 因為f（x）是定義在R上的偶函數，

所以f（－x）=f（x），

當x≥0時，恒有x2f′（x）+f（－x）≤0，兩邊同時乘以2x，

所以x2f′（x）+2xf（x）≤0，

因為g（x）=x2f（x），

所以g′（x）=x2f（x），

所以g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）≤0，

所以g（x）在［0，+∞）上為減函數，

因為f（x）為偶函數，

所以g（x）為偶函數，

因為g（x）＜g（1－2x），

所以|x|＞|1－2x|，

所以x2＞（1－2x）2，

所以3x2－4x+1＜0，

解得13＜x＜1.

5" 借助逆向思維，快速解決數學難題

例5" 假如實數a，b，c滿足

a2－bc－8a+7=0，b2+c2+bc－6a+6=0，

那么a的取值范圍是（" ）

（A）－∞，+∞.

（B）－∞，1∪9，+∞.

（C）0，7.

（D）1，9.

解" 因為12是（A）（B）（C）三個選項中共有的元素，

所以當a=12時，

b2+c2+bc－6a+6=b2+c2+bc－6×12+6=（b+c2）2+34c2+3＞0，

和題設中的方程不相符，

所以a≠12，通過排除法，正確答案是選項（D）.

6" 結語

逆向思維是數學問題分析和解答時的重要思維方式之一，能幫助學生快速找到解題思路，提高學生解題能力.因此，作為高中數學教師，應當將逆向思維培養融入課堂教學，樹立學生逆向思維應用意識，結合相關數學題目，豐富學生解題經驗，提高學生逆向思維應用水平.

參考文獻：

［1］張宏斌.借助逆向思維，巧解高中數學難題［J］.課堂內外（高中教研），2022（09）：5-7.

［2］謝翠琴.借助逆向思維 巧解數學難題［J］.高考，2020（36）：116-117.

［3］唐杰.借助逆向思維巧解高中數學難題［J］.理科愛好者（教育教學），2021（04）：42-43.