高中基于函數圖象的最優化問題求解方法研究

【摘要】本文聚焦于高中數學中基于函數圖象的最優化問題求解方法，深入探討函數圖象的對稱性、增減性等問題.通過解析數學原理，關注導數與函數行為的關系，以及研究關鍵點如極值點和拐點，揭示函數的整體趨勢.這一研究不僅拓展數學應用領域，也為高中數學教學提供了豐富實質性的內容，培養學生解決實際問題的能力.

【關鍵詞】高中數學；函數圖象；解題技巧

1" 引言

高中函數圖象的最優化問題既有挑戰性又具實際性.通過深入研究，能培養學生解決實際問題的數學思維.本文通過問題分析、理論探討和實例闡釋，探索數學模型的建立與求解.實際問題常需優化目標函數，如成本最小或收益最大.理論部分關注通過數學建模明確目標函數和約束條件，并運用微積分原理解決.實例闡釋選取生產成本與銷售收益關系，通過數學模型和圖象分析解決最優化問題.最后，對比不同最優化方法，包括基于導數的方法、圖象分析和數值求解，以探討它們的優缺點.

2" 高中函數解題教學

2.1" 函數圖象與坐標軸的交點問題

在高中數學中，函數圖象與坐標軸的交點問題是函數研究的核心，為最優化問題提供基礎.通過建立與求解交點問題的方程，能揭示函數在圖象上的特征，特別是在最優化問題中，這些交點可能是目標函數取得極值的關鍵.

例1" 給定函數fx=x3－3x2－x+3.證明：該函數圖象與x軸至少有一個交點的x坐標的絕對值大于1.

解析" 為了證明題目中的結論，首先要找到函數fx=x3－3x2－x+3的零點.這里采用因式分解的方法來解這個方程.

圖1

將方程變形為：x3－3x2－x－3=0，在第一組中提取公因數x2，得到x2x－3－1x－3=0，因為x－3是一個共同因子，因此可以進一步因式分解得到x2－1x－3=0，繼而寫為x－1x－3x+1=0.可以得到三個解，x1=1，x2=-3和x3=-1，這些就是函數fx=x3－3x3－x+3的零點，再回顧題目中，發現x=3滿足條件，證明完畢.

2.2" 函數圖象的對稱性問題

在高中數學中，研究基于函數圖象的最優化問題時，對函數圖象的對稱性問題進行深入探討至關重要.理解奇偶函數性質和圖象對稱性原理，確定對稱軸，并分析函數在對稱軸附近的性質，有助于揭示圖象上的對稱點，為最優化問題提供更深刻的解析.

例2"" 給定函數fx=x2－4x2+2x－3.證明：該函數圖象關于直線x=－1對稱.

解析" 為了證明函數fx=x2－4x2+2x－3的圖象關于直線x=－1對稱，需要展示對于函數的每個輸入值x，函數值fx在x和－2－x（關于x=－1的對稱點）是相同的.換句話說，則是需要證明fx=f－2－x對于所有定義域內的x成立.

圖2

證明" 因為原函數為fx=x2－4x2+2x－3，

由此計算f－2－x，

將x=－2－x代入fx得：

f－2－x=－2－x2－4－2－x2+2－2－x－3=x2+4xx2+2x－3.

通過比較原函數fx=x2－4x2+2x－3和f－2－x=x2+4xx2+2x－3后不難發現，它們的分母是相同的.而分子中，雖然f－2－x的分子多了一個4x項，但當在考慮關于x=－1對稱時，4x這一項實際上是在原始分子x2－4上的一個對稱變化.

又由于fx和f－2－x在分子上是對稱的，而分母相同，所有可以斷定原函數fx的圖象關于直線x=－1對稱，證明完畢.

2.3" 函數圖象的增減性問題

在高中數學中，深入研究函數圖象的增減性問題對于最優化問題至關重要.解析導數的正負性與函數增減性的關系，特別關注極值點和拐點，揭示函數整體趨勢.

例3" 給定函數fx=e2x－4ex+3.問：確定函數fx在區間－∞，+∞上的增減性，并證明你的結論.

圖3

解析" 首先，我們需要計算函數的一階導數.對fx=e2x－4ex+3求導，得到f′x=ddxe2x－4ex+3，使用指數函數的求導規則，有f′x=2e2x－4ex.

接下來，需要找出f′x的零點，令2e2x－4ex=0，即2exex－2=0，由于ex永遠大于0，可以得出ex－2=0，因此取ex=2對數得到x=ln2.

當xlt;ln2時，exlt;2，因此ex－2lt;0，所以f′xlt;0，函數在此區間遞減.

當xgt;ln2時，exgt;2，因此ex－2gt;0，所以f′xgt;0，函數在此區間遞增.

因此，函數fx=e2x－4ex+3在－∞，ln2區間內遞減，在ln2，+∞區間內遞增.

3" 結語

在高中數學中，我們深入研究了基于函數圖象的最優化問題，涵蓋了函數圖象的對稱性、交點問題以及增減性等關鍵方面.這些研究不僅揭示了函數在圖象上的行為規律，而且為解決實際最優化問題提供了深刻的數學支持.通過理論探討和實例闡釋，深入剖析了數學模型的建立與求解過程.這不僅有助于高中數學教學的深化，拓展了學生數學思維，也為函數圖象的實際應用提供了豐富的啟示.這一系列研究不僅是對數學理論的探索，更是培養學生解決實際問題能力的重要一環.

參考文獻：

［1］馬麒麟，白陟勇.高中物理解題中推理法的應用［J］.數理天地（高中版），2023（22）：24-26.