指向核心素養提升的聾校高中數學概念教學

【摘要】 數學學科核心素養的培養應貫穿于教學活動的全過程。在聾校高中數學概念教學中，教師應結合聽障學生認知特點和發展規律，設計探究性問題、啟發性問題、挑戰性問題等，幫助學生更好地理解數學概念，感悟數學思想，積累數學活動經驗，發展數學學科核心素養。

【關鍵詞】 聾校；高中；數學概念；核心素養

【中圖分類號】 G762

【作者簡介】 宋曉杰，江蘇省南京市聾人學校（南京，210007）。

數學學科核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成與發展的。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱課程標準）要求“將數學學科核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程”［1］。概念教學是數學教學的重要組成部分，也是培養學生數學學科核心素養的重要陣地。由于聽力受損，聽障學生的語言與思維發展落后于健聽學生。在聾校高中數學概念教學中，教師應結合聽障學生認知特點和發展規律，著眼學生數學學科核心素養發展，探索核心素養的孕育點、生長點。本文以“平面解析幾何”單元中“直線的傾斜角與斜率”概念教學為例，探討如何在教學過程中幫助聽障學生更好地理解數學概念，感悟數學思想，積累數學活動經驗，發展數學學科核心素養。

一、借助探究性問題，培養直觀想象能力

數學概念課的教學設計需遵循“以問題結構推進教學”的原理，樹立“教學生學會思考”的教學觀念，提升概念學習與理解的質量［2］。直觀想象能力是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的能力。在數學概念教學中，教師可通過探究性問題，引導聽障學生借助圖表、圖形、模型等輔助手段，在觀察、操作、思考中強化直觀感受，培養直觀想象能力。

“直線的傾斜角與斜率”是平面解析幾何的入門課。它向前承接立體幾何、平面向量、三角函數，向后銜接導數和圓錐曲線等，起著開啟全章、奠定基礎的作用。本節課要回答一個核心問題：“在平面直角坐標系中，如何表示直線？”教師可通過探究性問題，引導學生思考“確定一條直線的幾何要素是什么”。

【問題】直線不討論大小、形狀，最重要的是確定直線的位置及位置關系。怎樣來確定一條直線呢？

“兩點確定一條直線”是初中學習過的內容，學生對此非常熟悉，容易作答。該問題的提出讓學生有了明確的探究方向，知道從點入手研究直線。

【問題】兩點可以確定一條直線，一點可不可以呢？

條件從兩點降為一點，以退為進，開拓思路。在教學中，為了培養學生的直觀想象能力，往往需要讓學生動手操作來促進思考。基于這個問題，教師設計操作題：過定點（1，0）作一條直線。學生必須先畫直角坐標系，這樣就自然地將直線放在了直角坐標系中。通過思考—操作—對比，學生會發現問題：一點不能確定一條直線。

【問題】同學們過同一點作出的直線是不同的，不同在哪里？如果請你添加一個條件來確定直線，可以添加什么條件呢？

教師拿出圓規，固定一條邊，改變張口大小。學生通過觀察和直觀想象，將實物演示轉化為數學表達，用“角的大小”來描述傾斜程度，進而明確可用一點和一個方向來確定直線。

【對比觀察】一幅圖為過一個點的直線系，另一幅圖為方向相同的平行線系，這兩幅圖都無法確定一條直線。

學生通過對比認識到：已知直線上一個點或已知直線的方向，都不能刻畫一條位置確定的直線。通過觀察后可直觀地想象到將兩者結合，確定“一個點”和“一個方向”就可以刻畫一條位置確定的直線。再思考：“在直角坐標系中，方向用什么來表示？”這就自然引入了傾斜角的概念。

【動手操作】畫出大小不同的兩個正方形的對角線。工具：等腰直角三角尺。

畫小正方形對角線時，等腰直角三角尺的斜邊足夠長，對齊后將對角線上兩端點一連就形成直線；畫大正方形對角線時，三角尺斜邊不夠長，需要將三角尺的一條直角邊和正方形水平邊對齊，并將銳角頂點與正方形的一個頂點重合，畫好一段后向右上方平移再畫一段。教師引導學生思考得出這兩種畫對角線的方法，即刻畫直線的兩種方法：“兩點確定一條直線”和“一點、一方向確定一條直線”。在此基礎上引出傾斜角的定義。

通過創設合適的問題情境，教師引導聽障學生在主動觀察、操作、思考中建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路，增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識。

二、采用啟發性問題，發展數學抽象能力

數學抽象能力是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象本質屬性和特征的能力。教師在概念教學中可采用啟發性問題，引導聽障學生從圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，并用數學語言予以表征，將實際問題轉化為數學模型。這樣不僅可以讓學生學會用數學語言描述、解決問題，還有助于發展學生的數學抽象能力。

【問題】直線相對于x軸的傾斜程度與傾斜角有什么關系呢？在日常生活中，有沒有表示傾斜程度的量？比如，我們出游爬山時，如果坡較陡，就會感覺比較累，那么坡的陡緩程度，可以用什么來表示呢？

學生在初中學習過坡度，坡度用坡比來描述：坡比＝垂直高度/水平寬度。這個過渡問題采用學生熟悉的問題情境，讓學生回想起坡度與坡比的概念，為探索傾斜角與斜率的關系做好鋪墊。

【問題】我們知道兩點可以確定一條直線，已知直線上有兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那么直線的傾斜角α與這兩點的坐標有怎樣的聯系呢？

這是一個關鍵問題，引導學生通過類比，抽象出數量關系，建立概念間的聯系。角是一個幾何概念，而坐標是一個代數概念，如何建立聯系呢？

【問題】我們能否找到一個既具有幾何的直觀性，又具有代數的可運算性的工具呢？

學生前面學習了向量的知識，易想到向量這個數形結合的統一體。教師指導學生嘗試用向量來推導關系。由于向量可自由平移，總可以找到一個點P（x2-x1，y2-y1），將[P1P2]轉化為[OP]，那么直線的方向向量就可以借助直線OP的傾斜角α來表示，而tanα=[y2-y1x2-x1]。這個式子讓傾斜角這個幾何概念與點的坐標建立了聯系。根據直線的斜率k=tanα（α≠90°），進而得到過兩點的直線的斜率公式k=[y2-y1x2-x1]，建立k與其方向向量（1，k）或（x，y）（k=y/x）之間的關系。直線的傾斜角和斜率都描述了直線的傾斜程度，傾斜角以形刻畫，斜率用數表達，二者的聯系橋梁則是正切函數值。

【問題】在三角函數里有沒有可以將傾斜角和斜率建立聯系的工具呢？

教師在電子白板中斜率定義的原圖上閃現一個單位圓，以醒目的形式給學生以視覺刺激，引導學生發現有向線段AP就是傾斜角α的正切線。正切線AP的值可正、可負、可為零，恰好可以對應點P（1，k）的縱坐標k。因此，可以直接用正切線來呈現傾斜角與斜率之間的關系，即k=tanα。直線的斜率k隨著傾斜角α的大小變化而變化的過程，也可以直觀地用信息技術輔助工具來動態顯示。

教師通過一系列啟發性問題，將爬坡的實際問題轉化為傾斜角與斜率的數學問題。學生通過建立數學模型，采用數形結合工具，找到了概念間的關系，發展了數學抽象能力。

三、設計挑戰性問題，提升邏輯推理能力

作業是幫助學生鞏固、理解所學知識的重要工具。課程標準指出，要豐富作業的形式，提高作業的質量。聽障學生的個體差異較大，作業設計既要面向全體，又要滿足不同層次學生的發展需要。教師一方面要為全體學生提供基礎的鞏固練習，另一方面也要為學有余力的學生提供具有挑戰性的問題，使學生學會有邏輯地思考問題，在分析問題、解決問題的過程中發展邏輯推理能力。

【問題】一位魔術師找地毯匠把一塊邊長為1.3m的正方形地毯改成0.8m寬、2.1m長的矩形。地毯匠說：“正方形的面積是1.69m2，而矩形的面積只有1.68m2，兩者不相等啊。”魔術師說：“你先按照圖1剪成4塊，再按照圖2拼在一起縫好就行了。”地毯匠照做了，果然是寬0.8m、長2.1m。魔術師拿著地毯滿意地走了。地毯匠還在納悶：那0.01m2的地毯哪里去了？你能幫他解開這個謎嗎？

這是一道經典的具有挑戰性的斜率問題，需要學生運用所學數學知識解決這一問題。教師要求學有余力的學生嘗試自主解決這一問題，從問題情境中把握“斜率”這一關鍵因素，通過一步步的推理探索破解難題。對于其他學生，教師不作硬性要求，并為其提供參考思路，方便其探索。

考慮到學生在學習過程中可能會產生這樣的疑問：“其他的三角函數也可以表達傾斜程度，為什么教材選擇正切來表示呢？”教師要求學有余力的學生以一篇小論文的形式，討論“能否用傾斜角的余弦來表示直線的斜率”，比較選用余弦與選用正切這兩種表示方法的優劣。這一問題需要學生自主查閱資料，結合已學知識，通過邏輯推理得到數學結論。其他學生也可以查閱資料來探索這一問題，但不要求總結形成小論文。學生基于自身能力對挑戰性問題進行探索，既鞏固了已學知識，又提升了邏輯推理能力。

數學概念是高中數學基礎知識的核心。在聾校高中數學概念教學中，教師應精心設計教學活動、提煉問題，調動聽障學生主動探究的興趣，讓學生在分析和解決問題的過程中深化對數學概念的理解與應用，提升數學學科核心素養。

【參考文獻】

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］涂榮豹.數學教學設計原理的構建——教學生學會思考［M］.北京：科學出版社，2018：6.

（責任編輯：黃春露）