數學寫作：一種任務驅動型學習

摘? 要：對中學生而言，數學寫作本質上是一種任務驅動型學習：以完成一個數學寫作作品為任務，由這一任務驅動而產生并持續進行的學習活動。倡導任務驅動型學習具有較強的自然主義傾向，指導學生數學寫作需要順勢而為，在活動過程中不斷調整。任務驅動型學習的兩個基本要素是任務和目標，指導學生數學寫作要從這兩個要素入手：關鍵是明確特征性的學習目標，設置個性化的驅動任務，此外要注意任務完成后的評價反饋與延伸指導。

關鍵詞：數學寫作；任務驅動型學習；學習目標；驅動任務

對中學生而言，數學寫作本質上是一種新型的學習方式，即任務驅動型學習。

任務驅動型學習是指以完成某個任務為驅動力的學習方式。它以建構主義學習理論為指導：雖然學習者的聚焦點在于完成任務，但是由于這些過程也會不斷地積累知識和技能、感悟思想和方法，所以可以形成有效的學習活動。圍繞任務展開學習，以任務的完成情況檢驗和總結學習過程，能改變學生的學習狀態，促使學生主動建構包括探究、思考、實踐、知識應用、問題解決、寫作表達等技能的高智慧學習體系。完成任務所帶來的成就感還可以提高學習興趣，并能夠增強學生對所學內容的記憶和理解，從而促進學習的有效和深入。

作為一種任務驅動型學習，數學寫作是以完成一個數學寫作作品為任務，由這一任務驅動而產生并持續進行的學習活動。進一步看，數學寫作任務本質上是一種結構不良（開放性）問題，比常規的結構良好的數學習題更能解放學生的數學學習，激發學生的興趣，發展學生的思維。

將數學寫作理解為一種任務驅動型學習，可以給教師指導學生數學寫作帶來不少新的工作思路。本文分享筆者在這方面的一些實踐感悟。需要指出的是，本文所舉的實例都選自我校學生已經正式發表的數學寫作作品，但限于篇幅，沒有完整呈現，讀者可以自行搜索這些學生作品配合閱讀，以便充分理解。

一、 倡導任務驅動型學習具有較強的自然主義傾向，指導學生數學寫作需要順勢而為

教育研究有兩種價值取向：科學主義和自然主義。科學主義認為，科學方法是獲取知識的唯一有效途徑。因此，它強調用科學方法來研究教育和學習，以便找到有效的教學方法和最佳的學習策略。科學主義的支持者相信，通過科學研究可以證明什么是有效的，從而可以制定出最佳的教育方案。自然主義認為，人類的本性是自然的，與自然環境相連。因此，它主張教育遵循自然規律，從而培養兒童的自然天賦，發展他們的潛能。自然主義的支持者相信，教育應該尊重兒童的天性，讓他們自由發展，而不是強加給他們一個標準化的教育模式。

科學主義和自然主義雖然是不同的價值取向，但并不是完全對立的。在教育實踐中，科學主義和自然主義可以相互融合。比如，對教學目標的設定和表述、教學方法的選擇和設計等，既要考慮科學原理和實證研究的支持，也要考慮學生的興趣和需求，尊重學生的自然發展和自我實現。實際上，把教育科研成果揭示的教育“真相”作為教育實踐決策的參考是必要的，但是，希望教育科研直接為教育實踐提供操作方案不太現實，因為教育科學作為一門科學，尚未達到這種成熟程度。同樣地，學習優秀教師的經驗也不能直接照搬他們的做法，而要關注這些做法背后蘊含的教學法原理。

倡導任務驅動型學習，正是對科學主義和自然主義兩種價值取向的一種平衡和融合。并且，相對于傳統的“講授、訓練”式教學（“聽講、練習”型學習），它具有較強的自然主義傾向，更加重視學生的自主性（包括自主選擇決策、自主探究學習、自主評價監控、自主調整改進等）。所以，指導學生數學寫作時，想法（一般原則）往往比做法（具體策略）更重要，因為很多做法都是順勢而為的，是在活動過程中不斷調整的結果，它們來自相應的想法，但是很難進行事先的設定。所謂“無招勝有招”，大致如此。

一方面，教師要充分認識到自己是學習的組織者、引導者和支持者，與學生相關的一切事物都是待開發的教學資源，從而時刻準備著根據學生的活動情況、自身的學識儲備以及周邊的環境條件開發教學資源，發揮自己的組織作用、引導作用和支持作用。

例如方前云、徐瑾如同學合作的作品《第6個數是31的n種理由》［1］，其初稿是學習了網上對該題的幾種解法后整理而成的，但是對網上介紹的“利用拉格朗日插值公式”的方法，由于沒看懂，她們就沒有寫進初稿里。筆者考慮到，學習這個方法是一次難得的代數運算訓練的機會，同時，體會這個公式的美感也是對數學美的一種全新認識，因此，這是一種難得的學習資源。所以，筆者以初稿的內容太單薄為由，要求她們把這種方法學懂，再補到文章中（這體現了教師的組織、引導作用）。同時，建議她們從研究簡單的二次插值公式入手，并幫助她們把構造函數的任務分解成一組更容易上手的任務序列（這體現了教師的支持作用）。最后，她們把這個過程如實地反映在了作品中。

這個例子中，教師的組織、引導和支持作用都是順勢而為的結果。雖然拉格朗日插值公式是大學數學課程的內容，但學生在這次數學寫作過程中已經走到了它的門檻前，弄懂它已經成為提升作品質量的需要。事已至此，何不順勢而為？面對學生這一個性化的發展需要，我們為什么要拘泥于這是不是高中數學的知識內容呢？著名華人數學家、數學教育家李秉彝先生早就說過：“標準是家，不是牢房。”［2］而且，將一般形式的拉格朗日插值公式特殊化為二次插值公式，對高中生而言，其難度也不是高不可攀的。突破了二次插值公式，三次、四次插值公式就基本上沒有什么難度了。而一般形式的拉格朗日插值公式有點抽象繁雜，如果學生掌握有困難，可以不做要求。把這一經歷當作學生后續大學學習的“前概念”學習，也是很有意義的。這種特殊化處理，也是教師對學習材料進行的“教學法加工”。這種“教學法加工”，是教師開發教學資源時經常要做的工作。

需要強調的是，作為數學研究的一種“仿真訓練”，數學寫作具有數學研究的一些基本要素。因此，教師首先要成為一個研究者和寫作者，體驗數學研究和寫作過程中的酸甜苦辣，才能有更深的體會來開發合適的教學資源，為學生的數學寫作提供更好的組織、引導和支持。教師進行數學研究的內容，除了日常教學中遇到的數學問題，也可以在數學競賽中選擇。

另一方面，教師在發揮組織、引導作用時，要充分尊重學生的自主性，而不“越界”（有意或無意地限制學生某些必要的自主性）。具體來說，筆者有兩點深刻的體會：一是，放手讓學生去探索，不要因為怕學生走彎路而直接指給學生“正路”。教師要充分認識到，彎路也是非常有意義的學習過程，會使學生對問題的思考更深入。二是，對學生的數學寫作產生否定性意見時，盡量緩一緩再說，讓有關的問題在教師和學生的頭腦中發酵一段時間；或采用追問的形式，引導學生進一步解釋和思考。這是因為，教師的否定性意見有時來自對學生的誤解（由于學生表達不到位等原因），“緩一緩”可以避免武斷地扼殺一些好想法的萌芽；有時的確來自學生的失誤，而“追問”可能讓學生在重新整理自己想法的過程中，發現自己的錯誤，從而獲得成功的體驗，保持學習的信心。此外，對于比較復雜、一時難以理清的問題，也可以通過推薦參考資料的方式，讓學生在閱讀參考資料的過程中慢慢領悟、調整。

例如陳穎穎同學的作品《一篇碩士論文指瑕》［3］，其寫作起因是：指導教師發現了一篇碩士論文中的一個錯誤，把這個錯誤發在數學社團的QQ群里，讓有興趣的學生研究后寫一篇數學小論文，隨即，陳穎穎同學主動把這個任務認領了下來。整個寫作過程幾乎持續了一個暑假。其中，每一次遇到疑惑和困難，陳穎穎同學都主動通過QQ向指導教師咨詢求助。無論是研究內容、研究方式，還是研究學習進度，指導教師給她的各種建議都具有一定的彈性，讓她有一定的自主選擇空間。

陳穎穎同學在抽絲剝繭的過程中，將這個問題分解為一系列小問題，并反復應用反證法對這些小問題的結論進行證明，雖然顯得有點笨拙（這個問題還有更為簡潔的證明方法），但是，這個過程是對“反證法”的強化訓練，而且是學生自主的訓練，不是教師強加的、容易引起疲勞甚至反感的訓練。

由于在假期，所有的師生交流都是通過QQ進行的，這也給教師“緩一緩”提供了現實便利：對于學生的留言，教師可以假裝暫時沒看到，過一段時間再回。可見，在數學寫作的指導中，用QQ或微信等通訊軟件比當面交流更為有效。而且，這樣做還有一個好處：沒有表情、動作的輔助，學生必須把自己的想法全部用文字表達出來，從而在文字表達方面得到充分的鍛煉（編輯數學公式有困難的學生可以手寫后再拍照上傳）。

二、 任務驅動型學習的兩個基本要素是任務和目標，指導學生數學寫作要從這兩個要素入手

作為一種學習方式，任務驅動型學習主要是由任務驅動的，但其“醉翁之意”不在驅動任務，而在背后附著的學習目標。因此，任務驅動型學習的兩個基本要素是任務和目標。它們既有所區別，又相互關聯。總的來說，任務更下位（具體），更體現學生發展的個性需要；目標更上位（一般），更體現數學寫作的特征價值。同時，任務可以幫助學生實現目標，目標則可以指導教師設置任務。因此，指導學生數學寫作要從這兩個要素入手：關鍵是明確特征性的學習目標，設置個性化的驅動任務，此外要注意任務完成后的評價與延伸工作。

（一） 明確特征性的學習目標

作為一種學習方式，數學寫作有一些不同于傳統數學學習（如數學解題）的學習目標，即數學寫作的特征性學習目標。

1. 數學語言表達能力的提升

數學寫作為學生全面提升數學語言能力提供了絕佳的機會。在數學寫作過程中，學生要將所有內容轉化為作品特有的形式表達，包括文字、符號、圖表等。而且，這種表達作為一種作品，需要讓不僅僅是教師的眾多可能讀者讀得懂，經得起眾多讀者挑剔的眼光。這樣，學生平時不太關注的一些數學語言的問題就會凸顯出來，學生在相互閱讀同學作品的過程中也會更深刻地感受到這些問題。因此，學生在數學寫作過程中對數學語言的學習，是傳統的數學學習無法相比的。教師應該隨時捕捉相關的教育資源來布置任務，從而實現這一方面的學習目標。實現的時機主要集中在作品的修改階段：在學生出現某些表述不夠到位、不夠規范的情況時，將其開發成數學語言的學習資源來布置任務，指導學生琢磨錘煉（盡量不要直接給學生改正），讓學生體會不同表達的細微差別，從而感受規范表達（特別是教材中的表達）的優勢。

2. 全面性、立體化數學觀的培養

數學寫作的過程，讓學生有機會經歷更仿真的數學研究活動，由此可以使得學生對數學學科的認識更有全面性，形成更為立體化的數學觀。例如，馬思琪同學在完成作品《初探“順反粘數”》［4］的過程中，給所研究的“新伙伴”命名并下一個精確的定義，發現更多的實例，從中找出規律并證明，然后對其進行類比推廣，最后提出進一步研究的問題，由此完整地經歷了一次真實的數學研究過程。其間，馬思琪同學感嘆道：“原來數學中的定義是這么回事啊！”這一感嘆正是由于她親身經歷了“在給數學對象命名和下定義時反復修改”的過程。由此，我們可以看到，與常見的“刷題”相比，學生在這個過程中建立的數學觀更加全面、立體，更有動態成長性的生命感。

3. 綜合素養的提升以及人生觀的養成

數學寫作是一項綜合性較強的任務，它對學生的全面發展，特別是綜合素養的提升以及人生觀的養成，有很大的促進作用。因此，在指導學生數學寫作時，筆者通常會要求學生在作品的最后寫一段回顧和體會，并不斷修改（充分地體會，更好地提煉），以實現這方面的學習目標。例如，洪瑾同學在作品《投籃的拋物線越高越好嗎？》［5］的最后，寫了一段體會：“通過這次探究活動，我體會到，數學在實際問題中的應用與平時解數學題大不一樣，首先要將實際問題轉化成數學問題；其次不必指望一氣呵成，在沒有弄清問題的數學實質時可以先簡化問題，即以退為進，而必要時也可以利用電腦軟件做一做數學實驗……”在反復修改得到這段文字的過程中，洪瑾同學充分地體會到了相關探究活動的意義。可以看到，綜合素養的提升以及人生觀的養成，與本輪課程改革重點倡導的“綜合性學習”“立德樹人”理念不謀而合。因此，結合當前的課改形勢，我們更應充分挖掘數學寫作在這方面的學習功能，用好數學寫作這一學習方式及教學資源，為課改探索新的途徑。

（二） 設置個性化的驅動任務

作為一種任務驅動型學習，數學寫作是由具體、明確的任務驅動和維持的。一般來說，任務需要具有真實性（與學生生活或學習相關）、挑戰性（有一定的難度和復雜性），從而能激發學生的學習興趣，促進學生的數學探索，提升學生解決問題的能力。

數學寫作任務的設置不是一蹴而就的，而是在師生交互的過程中由總（粗、統一）到分（細、個性）逐步調整形成的。在此過程中，任務和目標之間的界限也會變得模糊，關系也會更加融合——雖然總的來說，是要根據目標設置任務，但是具體而言，也要根據任務調整目標。因此，這時需要重點關注學生的個性化需求——畢竟，即使對同一主題（話題、問題），不同的學生寫出的作品（研究的過程）也會有很大的不同。

一般來說，寫出一篇數學寫作作品（可以規定主題，也可以不規定主題），就是總的任務。這個任務下達之后，每一位學生都會對其進行細化，以形成個性化任務（子任務），驅動研究。而教師則要關注學生個性化研究中的需求，考慮相應的目標，進而再次設置個性化任務（子任務），組織、引導學生研究（學習）。還以方前云、徐瑾如同學合作的作品《第6個數是31的n種理由》為例，筆者設置“加寫拉格朗日插值公式方法”這個子任務，是因為注意到學生關注了這個方法卻沒有搞懂，并發現學習這個方法可以實現“提升代數運算能力”的目標。

設置個性化任務時，任務的復雜程度和完成條件也是需要考量的因素。設置較為復雜的任務，學生就有機會鍛煉多方面的綜合性技能，學習的目標可以更為綜合化；反之，學習的目標可以相對單一化。任務的完成條件則主要是指學生在完成任務的過程中所能調用的各種軟硬件資源。當然，任務的復雜程度也和完成條件相關，同一任務在不同的完成條件下復雜程度也不同。

設置個性化任務時，班額比較大，是一個操作的難點。解決這個難點的基本思路是“點面結合”：重點輔導個別學生，集體輔導帶有普遍性的問題。集體輔導可以在常規課上，也可以利用選修課、社團活動等。這需要視學校的各種安排而定。比如，我校有一個“學生成長導師制”，經常會組織對參與學生的集體輔導，筆者便經常利用這個機會進行數學寫作方面的集體輔導。

此外，任務的個性化還體現在任務的完成度也有一定的彈性上。每位學生的情況各異，對任務的完成情況肯定也是不一樣的，教師不太可能也沒有必要做統一的要求。

認識到這種彈性的必然性和合理性，可以讓教師放下思想包袱，對一些看起來不太完美的學生作品有更大的寬容度。就算學生只完成了一部分任務，沒有形成完整的作品，只要在寫作過程中達成了某些學習目標，就還是具備教育意義的。

這一實施要點在筆者開設的校本選修課“數學寫作”的教學中有比較集中的體現。每堂課，筆者都會給學生布置“把一張16開紙的課堂筆記和小結（如圖1所示）盡可能地寫滿”的總任務，并在最后留出10分鐘時間，讓學生想辦法將紙上空白的地方填滿。盡管“把紙寫滿”這個總任務是統一的，但是，相應的子任務——學生的完成情況是個性化的：可以寫滿，也可以不寫滿，但要盡量逐漸地能夠寫滿；可以寫課上教師口頭表達的內容、PPT呈現的內容，也可以寫自己想到的內容；可以關注名言警句，反思人生哲理；可以關注解題過程，反思解題方法……由此，學生迸發出了一些精彩的思想火花，給筆者帶來意外的驚喜。 為此，筆者經常會在課上表達或呈現一些與教學內容“貌離神合”的話語，比如“如果你不玩數學，你就會被數學玩”“別讓數學變成死相，要讓數學形成思想”“沒話找話說，有話好好說”，啟發學生體會、思考，寫出更豐富、深刻的內容。

（三） 注意任務完成后的評價反饋和延伸指導

數學寫作任務完成后，教師要對學生的完成情況作出評價反饋和延伸指導，從而激勵、幫助學生進一步完善已有作品、完成更多作品。

評價反饋的方式可以多樣化。可以整體打一個總分，也可以局部寫一些評語；可以對一些精彩的地方給出不同的星級表揚，也可以對一些不好的地方給出適當的修改建議。

此外，特別要注意引入同學評價，即在同學之間分享作品，讓學生相互評價、交流。這是基于“學生更容易受到同伴的影響，從同伴身上學到東西”的認識。把學生的作品當作新的教學資源，效果甚佳。比如，校本選修課“數學寫作”的教學中，筆者經常用前幾屆學生的獲獎作品做范文講解，學生在閱讀同學的優秀作品并作出評價的同時，能受到激勵并獲得借鑒——當然，不好的作品也可以作為教學資源，發揮教育價值。再如，組織學校的數學寫作比賽時，筆者也會在通知中附上以往的獲獎作品名錄，讓學生受到激勵、獲得借鑒。

延伸指導一般發生在一個比較優秀的作品完成后。這時，學生一般都會處在情緒高漲、思維活躍的狀態，教師可以基于作品的內容，引導學生延伸話題，開展進一步的研究、寫作。還以洪瑾同學的作品《投籃的拋物線越高越好嗎？》為例，這篇文章開頭的引子說明了這篇文章的寫作緣由：在獲得學校數學寫作比賽一等獎的另一篇作品完成后，老師拋給她的一個相關問題引出了這一篇文章。

總之，作為任務驅動型學習的數學寫作，是一種具有很強自主性、綜合性的學習方式。指導學生開展數學寫作活動時，教師要從“任務驅動型學習”的相關理論中尋找啟發，結合新一輪課程改革倡導的“研究性學習”，探索出相應的具有學校特色和教師特征的實施方法、操作方案。本文介紹的一些具體做法也只是筆者個人根據所在學校的具體情況，針對所教學生的學習情況而采用的，即筆者的一些實踐感悟。組織任務驅動型學習，不存在千篇一律的模式。

參考文獻：

［1］ 方前云，徐瑾如，龔雷.第6個數是31的n種理由［J］.新世紀智能，2020（11/12）：9096.

［2］ 胡晉賓，劉洪璐.影響教學課改的十句名言［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2021（6）：3639.

［3］ 陳穎穎.一篇碩士論文指瑕［J］.新世紀智能，2018（15/16）：4144.

［4］ 馬思琪.初探“順反粘數”［J］.新世紀智能，2018（15/16）：3840.

［5］ 洪瑾.投籃的拋物線越高越好嗎？［J］.新世紀智能，2022（1/2）：4548.

（龔? 雷，浙江省杭州第九中學。杭州市優秀教師、杭州市師德先進個人。中國教師教育網培訓專家。我國“數學開放題”研究的拓荒者之一。作為第一作者，出版全國第一部數學開放題集《初中數學開放題集》。作為最后一章執筆者，參與編寫張奠宙先生主編的全國第一部數學雙基教學專著《中國數學雙基教學》。）