數學寫作：多元評價的新視角

【摘 要】為了研究數學寫作的應用能否促進六年級學生數學成績的提高，以及探索出數學寫作應用于實際教學的策略，本文綜合采用實驗法、問卷測試法和行動研究法，以南京市L小學六年級兩個班為研究對象，設置實驗班和對照班，通過前后測數據對比、學生作品分析等研究，發現合理應用數學寫作能有效提高六年級學生的數學學習成績。數學寫作的應用要循序漸進且內容要富有探究性。

【關鍵詞】數學寫作；小學數學；數學作業；多元評價

【作者簡介】李子豪，二級教師，主要研究方向為數學教育。

一、問題提出

評價，是教學活動的重要一環，也是教育永恒的熱點話題。在“以評促學，以評促教”的理念深入人心的今天，人們日益關注評價形式多樣化、評價功能多元化等問題，多元評價成為討論的高頻詞。數學，作為一門基礎學科，其評價所面臨的問題亦是如此。《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“評價建議”板塊明確指出，“每種評價方式各有特點，教師應結合學習內容、學生學習特點，選擇適當的評價方式”［1］89，“不僅要關注學生知識技能的掌握，還要關注學生對基本思想的把握、基本活動經驗的積累”［1］10。面對多樣化的評價需求，作為數學評價方式之一的數學寫作逐漸走進了大眾的視野。

數學與寫作關系的論述在國外可以追溯到20世紀60年代的“貫穿于課程的寫作”運動，自此以后，越來越多的數學教師嘗試在教學中實施數學寫作，收獲了意想不到的效果，積累了大量寶貴的經驗［2］。在國內，不少研究者從內容、結果或過程的角度解釋了數學寫作的內涵［3-5］，并從理論和實證兩個視角論證了數學寫作在加深學生的數學理解以及提升學生的數學成績和元認知能力等方面的作用［6-9］。值得注意的是，有研究者談到數學寫作在實施的過程中是有一定困難的，這種困難不僅源于學生，也源于教師和教法。［5］并且，數學寫作也不能天天開展，開展多了會加重學生的負擔，容易流于形式。當然，數學寫作在合理開展的基礎上，益處頗多。總的來說，我國對于數學寫作的研究起步相對較晚，雖然也有不少研究者和一線教師做出了有益的嘗試，但是這方面的實證研究總體相對缺乏且大多集中在中學階段。

結合已有的概念界定及本文的研究需求，筆者把數學寫作界定為學習者利用文字、表格、圖像等形式闡述自己對于數學的理解、對數學活動的反思以及對數學情感態度的變化等的活動。數學寫作的形式多樣，可以是課前的預習感想，也可以是課內的即興寫作，還可以是課后的學習反思。在此基礎上，本文確定了研究問題：

（1）數學寫作的應用能否促進六年級學生數學成績的提高？

（2）數學寫作應用于六年級數學教學的策略有哪些？

二、研究設計

1.研究對象

以南京市L小學六年級兩個班為研究對象，一個班是實驗班，另一個班是對照班，兩個班均由同一數學教師任教。

2.研究方法及思路

本研究采用了實驗法、問卷測試法和行動研究法，具體研究路徑如下：

在明確了研究主題并研讀了相關文獻的基礎上，選取六年級兩個班作為研究對象開展準實驗研究，一個班是對照班，另一個班是實驗班，兩個班的學生均從未參與過數學寫作。以兩個班五年級下學期的數學期末考試成績作為前測成績，并且兩個班均由同一數學教師任教，該教師教學經驗豐富，是學校的骨干教師，在教學過程中盡量控制無關變量的干擾。實驗中，對照班的教學以及作業布置跟往常一樣；實驗班則在教師在介紹數學寫作的含義及要求后，每周開展兩次課內即興寫作活動，每次時間控制在5—8分鐘，每周末寫一篇反思性的數學作文，總結這一周的成功與困惑、經歷與收獲等。每次數學寫作完成后，教師都會先讓學生進行自評，然后小組內進行互評，最后教師進行總評并交流，評價的標準采用吳宏等改進的數學寫作評價量表［4］。教師每周對自己的數學寫作教學活動進行總結反思，及時發現問題并改進教學方法。經過一學期的教學后，把六年級上學期的數學期末考試成績作為后測成績，對比兩個班的數學成績是否有顯著差異，比較實驗班內部不同數學寫作水平的學生的數學成績是否有顯著差異，并進一步提煉數學寫作應用于六年級數學教學的策略。（如圖1所示）

3.數據收集和處理

本實驗開展于2021年9月至2022年1月，在此期間收集實驗班學生所有的數學寫作作品并進行評價，同時也收集所有學生的前后測數學成績，并用Excel和SPSS軟件進行數據的處理和分析。

三、研究結果與分析

1.實驗班與對照班學生前后測數學成績對比

為了明晰數學寫作的應用是否能促進六年級學生數學成績的提高，筆者把兩個班五年級下學期的數學期末考試成績作為前測數據，把六年級上學期的數學期末考試成績作為后測數據，分別對前后測數據進行獨立樣本t檢驗，觀察兩個班的數學成績是否有顯著差異，結果如表1和表2所示。

從獨立樣本t檢驗的結果可知，實驗班的均值約為88.69，對照班的均值約為88.00，p＞0.05，說明實驗班學生和對照班學生的前測數學成績沒有顯著差異，開學初兩個班的數學基礎水平相當。

從獨立樣本t檢驗的結果可知，實驗班后測的均值為93.31，對照班后測的均值為85.43，p＜0.05，說明實驗班學生和對照班學生的后測數學成績存在顯著差異。

2.實驗班內不同數學寫作水平的學生的數學成績對比

筆者根據實驗班學生最后兩周的數學寫作表現，把29名學生的數學寫作水平分為三組，分別為好、中等和不好。為了研究不同數學寫作水平的學生在后測成績上是否有顯著差異，對這三組學生在后測中的總分進行Welch方差分析，結果如表3所示。

異。為了明晰究竟是哪些組別之間存在顯著性差異，利用Games-Howell進行檢驗，并用表4進行整理（表中的運算順序是用那一列的組別的均值減去那一行的組別的均值，—代表結果為負，*代表顯著性水平）。

進一步觀察Games-Howell的檢驗結果可知，從數學寫作水平不好的學生組到數學寫作水平中等的學生組，后測的平均得分增加10.9，差異具有統計學意義（p＜0.05）。從數學寫作水平不好的學生組到數學寫作水平好的學生組，后測的平均得分增加15.02，差異具有統計學意義（p＜0.01）。從數學寫作水平中等的學生組到數學寫作水平好的學生組，后測的平均得分增加4.12，差異具有統計學意義（p＜0.01）。

3.寫作案例展示

（1）即興寫作：評價學生的概念理解

筆者曾經在課堂上給出如下寫作任務：請用一切你能想到的方法說明你對“倒數”這個概念的理解，時間為5分鐘。

一名學生寫道：“倒數是指兩個數之間的一種關系，只要這兩個數乘積是1，那么這兩個數就互為倒數。舉個例子，[45]×[54]=1，我們就可以說[45]的倒數是[54]，[54]的倒數是[45]。接下來，我來給大家介紹怎樣找一個數的倒數……”該學生在用文字介紹完找各種數的倒數的方法后，還用結構圖來總結自己的想法（如圖2所示）。

掌握概念意味著掌握了這個概念的內涵和外延。所謂內涵就是指概念的所有本質特征，而外延則是指所有符合這個概念本質特征的例子。例如，“倒數”這個概念的本質特征有兩點，分別是“兩個數”和“乘積是1”，上述學生寫下的式子就是該概念的一個例子。學生對于概念的理解屬于內部表征的范疇，這種內部表征是無法直接觀測的。但是，教師卻可以通過學生所舉的例子或言語表述等顯性的外部表征去推測學生的內部表征情況。［10］從這名學生的寫作內容來看，他對于“倒數”概念的理解是處于較深層次的，不僅知道概念的內涵，還能通過舉例和畫結構圖來說明概念的外延。

（2）即興寫作：由解題滲透數學思想

在一次數學寫作活動中，筆者出示了一道題：“有兩根同樣長的繩子，一根繩子用去了[23]，另一根繩子用去了[23]米，問哪一根繩子用去得多？”出示完題目之后，給學生8分鐘時間，讓他們寫下對于這道題的想法或解法。

學生A在作業本上寫道：“首先，這兩個[23]是不一樣的。第一個[23]是分率，第二個[23]是具體的量，第一根用去了它自己長度的[23]，我先假設兩根繩子的長度都是2米，那么第一根用去的就是2×[23]=[43]（米），[43]＞[23]，所以第一根用去得多。那么縮小一點會怎么樣……”這名學生接下來又假設了兩次繩子的總長度（如圖3所示），最后得到了結論。

學生B相比于學生A，用了線段圖來表達自己的想法，最后得到了同樣的結論（如圖4所示）。

一道普通的題激發了學生不同的解題策略，如假設、畫圖等，不同的策略交相輝映，共同演繹著學生的數學思維，映射出數學的邏輯美。更難能可貴的是，從這道題的解題過程中，學生初步感受到了數學中的分類討論思想，把一個復雜的問題分解為若干簡單的問題的組合，逐一擊破，化繁為簡，再通過整合得到原問題的答案。這種由顯性的解題活動通往隱性的數學思想的過程，正是數學教學所渴求的。

（3）反思性寫作：從經歷中總結收獲

在學完一個單元后，筆者會讓學生利用周末的時間寫一篇反思性的作文，總結自己在這一單元的數學學習經歷，寫下自己的收獲、困惑和感想。圖5是一名學生單元學習結束后的學習感想（展示部分）。

反思是自古以來就提倡的一種學習習慣，“吾日三省吾身”早已深入人心。從學生的表述中可以看出她在學習這一單元時并非一帆風順，也遇到過一些困難令她難忘。教師可以從學生的反思總結中把握住學生學習的難點并做出有針對性的教學設計。此外，這名學生在分享好題拓展自己的知識面的同時也領悟到了學習這一單元時畫圖的策略很重要，這是學生在反思的過程中增進了自己關于策略性方面知識的認識，豐富了元認知策略。

四、研究結論

1.數學寫作的應用能有效提高六年級學生的數學學習成績

首先，從以上數據分析可以看到，實驗班學生與對照班學生在學期伊始時數學水平相當，但是后測結果顯示實驗班學生的數學成績顯著優于對照班，并且實驗班內部不同數學寫作水平的學生的數學成績存在顯著差異。事實上，數學寫作首先具備一定的評價功能，并且這種評價功能是雙向的。從學生的數學寫作作品中，一方面教師可以了解到學生對于數學的理解是否存在偏差，比如可以布置類似“倒數”概念案例中的即興寫作，考查學生對于數學概念的理解是否全面、正確，從顯性的外部表征去推測學生頭腦中隱性的內部表征［10］；另一方面，通過文字性的對話交流方式，教師容易了解到學生的學習難點，從而制訂相應的教學計劃，還可以了解學生對于教學方法的建議并做出相應的改進。學生在收到同學和教師的及時反饋后，能夠及時就自己的不足進行調整。在這樣的評價氛圍中，教學相長成為可能，這與新課標所提倡的多元評價理念相符。

其次，學生在進行數學寫作的過程中，是以自己的認知過程作為對象，并對已有的認知結果進行分析，這樣的反思過程豐富了學生的認知體驗和情感體驗，即加深了學生的元認知體驗。這種元認知體驗能激活學生已有的元認知知識，使其從長時記憶進入到工作記憶，以便為當前的元認知活動服務。在此基礎上，學生充分運用元認知技能對當前的認知活動進行監控和調節，這一過程中又進一步豐富自己的元認知體驗并修正已有的元認知知識，構成了一個循環。通過這樣的循環，學生的元認知能力得到了提高。［11］從現代認知心理學已有的研究成果來看，元認知水平的高低往往能區分出學習者解決問題能力的強弱。［12］所以，數學寫作在一定程度上能提升學生解決問題的能力。

最后，維果茨基認為，語言和思維之間存在著密切的關系，寫作需要寫作者組織內部語言，對已有的“意義網絡”進行建構，使其完全可以理解。［2］從認知心理學家克雷克和洛克哈特提出的加工水平理論我們可以知道，個體對刺激的最高水平加工就是語義提取，并且加工的水平越深，刺激就越能產生較強的記憶痕跡。［13］因此，數學寫作能加深學生對數學的理解和記憶。

綜合以上三點，開展數學寫作活動能有效提高學生的數學成績。

2.數學寫作的應用要循序漸進且內容要富有探究性

如前所述，數學寫作的應用不是一蹴而就的，學生已經習慣了傳統的數學作業方式，要想把這一新的作業形式應用于數學教學需要教師及時了解學生的困難并制訂計劃。在實驗初期，筆者了解到大約有44.3%的學生因從來沒有寫過數學作文而無從下筆，這與顏曉春的研究結果［5］大體相同。因此，在實際實施數學寫作時，教師可以先通過課內幾分鐘的即興寫作讓學生寫一些主題聚焦的短文，及時展示范文并總結，增加學生的寫作經驗，然后再逐步布置一些開放性和綜合性主題的寫作任務。

同時，數學寫作的主題要有一定的探究性。這里的探究性可以通過綜合學生已學的知識來體現。比如蘇教版數學六年級上冊的第二單元是“分數乘法”，在這一單元的教學時就可以命制類似“繩長比較”案例的寫作主題，既能考查學生對分數乘法算法的掌握，又能體現學生對于數量關系的理解，還能激活學生多樣化的解題策略，一舉三得。教師還可以從素材的角度出發，利用豐富的寫作素材來開啟學生探究性的寫作活動。比如在蘇教版數學六年級上冊第三單元“分數除法”的教學中，筆者給學生提供了我國古代優秀數學典籍《九章算術》中的分數除法算法和西方的分數除法算法史，讓學生了解今天的分數除法算法是怎樣演變過來的，然后要求學生撰寫一篇數學作文表述自己的理解。在這樣的寫作素材的驅動下，學生表現出了濃厚的寫作興趣，積極地去了解古人的計算方法，并與今天的算法進行比較，數學史成為課后進一步探究的養料。

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（責任編輯：潘安）