指向深度學習的高中數學解題教學策略

楊培

[摘要]文章概述深度學習的內涵，提出深度解題教學的操作步驟：分析教學內容、設置學習任務、分解學習任務、反思學習過程、設計學習評價，探討以問題遞變、研究方法、知識屬性為主線組織教學的三種解題教學策略．

[關鍵詞]深度學習；深度教學；解題教學；教學策略

解題教學是數學教學的重要組成部分之一，它不僅有助于學生鞏固知識與方法，還有助于學生構建良好的認知體系，培養學生的高階思維能力，促進深度學習達成，目前．解題教學還存在較多問題．比如教學內容偏重技巧．忽略知識聯系的思考過程．不利于學生良好思維習慣的培養；又如教學活動重學輕得，忽略過程性知識的教學．缺乏對數學活動經驗的積累；再如教學目標浮于表面，忽略題目間的聯系，導致學習處于知識方法的機械式訓練，本文以深度學習理論為基礎．結合筆者教育教學思考．提出指向深度學習的高中數學解題教學策略，以期破解當前解題教學存在的問題．

從“深度學習”到“深度教學”

1．“深度學習”的基本內涵

國內關于深度學習概念的界定多以安富海和郭華的深度學習定義為基礎．安富海認為：深度學習是一種基于理解的學習．是指學習者以高階思維的發展和實際問題的解決為目標．以整合的知識為內容，積極主動地、批判性地學習新的知識和思想．并將它們融入原有的認知結構中．且能將已有的知識遷移到新的情境中的一種學習．郭華認為：深度學習指在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題．全身心地積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程．

縱觀上述表述．不難發現深度學習的基本內涵既包含學習過程．也包含學習結果．二者是一個有機整體．即通過圍繞挑戰性任務．運用聯系的觀點構建完整的學習路線．促進學習者經歷由淺層學習到深度學習的過程，積累活動經驗，完善認知結構，實現深度學習能力的提升．從“學會”到“會學”．

2．“深度教學”的操作步驟

深度教學的“深度”內涵與深度學習的“深度”內涵一致．深度教學是超越具體知識與技能．觸及學科本質和規律．提升學生思維品質．幫助學生學會學習的教學，深度教學需要教師跳出僅以知識與技能為教學目標的局限，追求更高層次的教學目標，使教學以知識與技能為學習載體，促進學生能力提升、精神成長.

為了提高數學深度解題教學的可操作性，筆者借鑒鄭毓信提出的深度教學四環節——聯系、問題引領、交流和互動、學會學習，于然、趙世恩提出的深度教學五步驟——布置學習任務、主動探究并激活知識元、獲取數學本質、鞏固知識元之間的聯系、總結學習過程，提出數學深度解題教學具體操作步驟如下：分析教學內容、設置學習任務、分解學習任務、反思學習過程、設計學習評價（各步驟具體實施要點如表1所示）．

指向“深度學習”的高中數學解題教學策略

解題教學因學習階段不同大致可分為新授課階段、章末階段和復習階段．根據不同階段解題教學的特點．結合上述深度教學操作步驟．筆者提出三種解題教學策略．

1．策略一：以“問題遞變”為主線組織教學

數學問題的發展總是由簡單到復雜．問題遞變是數學問題從提出到發展的方式方法．可以遵循構建認知結構的規律，按照“簡單≒復雜”或“低維≒高維”的邏輯順序分析“原始問題”與“目標問題”的聯結點、突破點等，以問題遞變為主線組織教學，是指以“原始問題”與“目標問題”之間的問題遞變過程的發現為教學內容．將能從“原始問題”變化而來的較為復雜的數學問題組織起來進行教學，更適合新授課階段.

問題1重在引導學生用聯系的觀點思考與函數y=x4-2x2+1/x2-2聯系緊密的函數模型y=mx+（n/x），找到解決問題的突破點．問題2呈現由簡單到復雜的問題遞變過程．培養學生思考“原始問題”與“目標問題”之間關系的習慣，挖掘換元、平移、通分等遞變聯結點，為解題方法的學習做好鋪墊．問題3在問題1和問題2的基礎上．引導學生利用換元、拆分進行問題轉化，掌握解決問題的方法.

反思學習過程 回顧解題方法產生的過程．將新的分式函數模型納入原有分式函數的認知結構中．向前能追溯問題產生的過程．向后能根據遞變方式產生新的數學問題，同時，深化對遞變方式蘊含的解決問題的突破點的深層理解.

設計學習評價 如表2所示，評價設計以題目1鞏固基本技能，以題目2、題目3強化遞變方法．以題目4培養學生提出問題的能力．促進學生發展．

案例1的教學．先通過廣泛聯系的思考找到學生解決問題的最近發展區，再呈現由簡單到復雜的遞變過程．最后探尋由復雜向簡單轉化的解決方法．這一學習過程，通過問題發展的“來路”引導學生找到問題解決的“回路”，能有效破除單純技巧學習的弊端．促進深度學習的實現．

2．策略二：以“研究方法”為主線組織教學

數學研究方法指“背景—概念—性質—結構—應用”這一數學研究路徑，其體現了知識發展邏輯，能用來分析數學問題的形成方式．以研究方法為主線組織教學．是指以某類數學對象的研究方法為教學內容．將能體現該研究方法的數學內容組織起來進行教學，更適合章末階段.

案例2 復雜函數的性質.

分析教學內容 復雜函數和復合函數是兩類初等函數，復雜函數的形成蘊含著用加、減、乘、除等運算觀點構造函數的方法．使得復雜函數的性質研究可以轉化為簡單函數的性質研究．這也是數學研究方法所蘊含的數學思想方法，此外．函數性質的研究一般從函數圖象的研究開始．

設置學習任務 關于函數f（x）=sin|x|+|sinx|有下述四個結論：①f（x）是偶函數；②f（x）在區間（π/2，π）內單調遞增；③f（x）在區間[-π，π]內有4個零點；④f（x）的最大值為2．這些結論中正確的編號是_____．

分解學習任務 問題1：問題求解需要應用哪些知識或方法？說一說你的解題策略？

問題2：研究函數性質的一般路徑是什么？

問題3：函數f（x）由哪兩個函數構成？你能用這兩個函數研究f（x）的圖象與性質嗎？

問題4：從研究方法和知識應用兩個角度說一說問題求解方法的特點.

問題1重在探討解題視角．一是直接應用奇偶性、單調性、正弦函數性質等知識，逐個判斷結論；二是應用函數研究方法進行整體求解，問題2用于回顧研究函數的一般方法；概念—圖象—性質—應用．問題3用于回顧用運算觀點構造函數的方法．引導學生用運算眼光閱讀函數．通過函數y=sin|x|和y=|sinx|圖象的疊加研究f（x）的圖象，再通過觀察圖象逐個判斷結論．其中，在研究y=sin|x|和y=|sinx|圖象時需要應用圖象變換等方法，問題4用于引導學生思考辨析，體會隱藏在知識學習過程中的研究方法的思維價值．

反思學習過程 回顧解題方法與函數研究方法的一致性．將函數研究方法作為隱性知識整合引入函數認知結構，掌握運用運算眼光閱讀函數的方法．以及運用運算方式研究函數圖象與性質的方法，形成“函數模型→從運算、變換等觀點閱讀函數性質→運算性質畫→出函數圖→應用性質”的一般解題策略．深層次理解解題方法蘊含的數學研究方法．

設計學習評價 如表3所示，評價設計以題目1、題目2、題目3鞏固研究方法．題目1的函數對象與課堂教學一致．題目2的函數對象需要良好的函數模型意識；題目3的函數對象需要經過圖象分析、平移、換元等方法進行問題轉化．三道題目的研究對象的復雜程度逐漸加深．

案例2的教學挖掘出研究函數的一般方法，回歸數學本質．將不同類型的復雜函數的性質研究統一起來，形成一般解題策略．這一學習過程，通過挖掘隱性知識的應用價值，能有效跳出單純應用知識解決問題的學習局限，突出過程性知識的重要性，積累數學基本活動經驗，推動深度學習的達成．

3．策略三：以“知識屬性”為主線組織教學

一類數學對象有不同的知識屬性．對不同知識屬性的理解．會產生不同的解題方法，將同一類數學對象的所有知識屬性梳理出來形成整體理解，可以從整體教學的觀點出發進行教學，以知識屬性為主線組織教學．是指以知識屬性的思維框架的構建為教學目標，將同一類數學對象的不同知識屬性整合起來進行教學．更適合復習階段，

案例3 平面向量的綜合應用．

分析教學內容 平面向量既有大小又有方向，具有平面幾何、抽象向量、坐標向量等三種知識屬性，除去直接應用概念與公式解決問題外，平面向量的基礎問題、綜合問題都可以從平面幾何、抽象向量、坐標向量等三個角度進行思考，探尋解題思路.

設置學習任務 任務設置包括線性運算、模長、數量積等常見問題，都可以從平面幾何、抽象向量、坐標向量等三個角度進行求解．為思維框架的構建做好基礎.

任務1：在△ABC中，AD為BC邊上的中線．E為AD的中點，則EB=（ ）

A．3/4AB-1/4AC

分解學習任務問題1：上述四個任務的典型求解方法分別是什么？應用了哪些向量知識？知識屬性是什么？

問題2：你能從其他知識屬性的角度來求解上述任務嗎？

問題3：根據上述任務的學習過程．你能整合提煉出平面向量綜合問題的一般解決策略嗎？

問題1重在從“一題一法”的角度復習回顧基本技能．提煉出三種知識屬性的思考方向，初步構建思維框架．任務1指向抽象向量視角的用基底表示向量；任務2指向抽象向量視角的公式應用；任務3指向坐標向量視角的數量積運算；任務4指向平面幾何視角的數量積幾何意義應用．問題2組織學生從三種不同的角度重新思考四個任務的求解方法．經歷發散思考的過程，將四個任務從思維框架的視角統一起來，問題3引導學生從“一題一法”到“多題一思維框架”，培養學生整體觀念下的系統思維．

反思學習過程 回顧從解題方法到思維框架構建的全過程．將平面向量的知識屬性作為問題解決方法的思考起點，強化同一類數學對象不同視角下理解的整體觀念．優化原有認知結構，形成“先作圖分析，再從平面幾何、抽象向量、坐標向量等三個思考方向探究問題解決方法”的一般策略．深層次把握不同問題底層思維邏輯的一致性．

設計學習評價 如表4所示．評價設計以題目1、題目2鞏固基本技能；題目3提高要求，重在鞏固思維框架；題目4拓展至動態問題的研究．檢測學生遷移應用思維框架的能力．此外，題目與任務的平面幾何、坐標向量的思考視角配合了特殊與一般的思想方法，雖然圖形特殊化的四個題目的數學情境的復雜程度不斷加深，但都可以應用思維框架探尋解法.

案例3的教學緊扣平面向量的知識屬性．把握數學對象的本質聯系，將不同問題的思考方法整合起來．形成研究平面向量問題的思維框架．這一學習過程．通過挖掘數學對象的知識屬性，學生能有效跳出就題論題、就方法論方法的淺層學習；突出知識、題目之間的聯系性、融通性，能養成學生數學思考的良好習慣．促進深度學習發生.

結語

數學深度解題教學的目標是學生能夠在解題學習過程中．自覺思考“目標問題”與“原始問題”之間的關系．自主挖掘“目標問題”所蘊含的數學研究方法．主動構建“目標問題”知識屬性的思維框架，不斷完善、優化自身認知結構．利用數學思維思考問題．最終由“學會”走向“會學”，上述所討論的數學深度解題教學操作步驟下的三種教學策略分別體現了三個不同學習階段的深度學習；在新授課階段．以“問題遞變”為主線組織教學．引導學生廣泛聯系與縱深思考．促進“深度”學習；在章末階段．以“研究方法”為主線組織教學．引導學生深入理解數學知識，融合零散的知識，促進“廣度”學習；在復習階段，以“知識屬性”為主線組織教學，培養學生發散思維．形成思維框架．促進“貫通度”學習．總之．數學教師需要通過數學解題教學以深刻的思想啟迪學生．更好地促進深度學習的發生.