指向核心素養提升的高中數學探究活動教學實踐與思考

鄭鋒

［摘 要］隨著數學課程改革的不斷深入，作為運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，數學探究活動成為落實數學學科核心素養的關鍵載體，其內涵和特征構成開展數學探究活動的價值追求。通過呈現人教A版（2019版）高中數學教材“探究與發現：探究函數[y=x+1/x]的圖象與性質”這一課例的教學過程，闡述開展數學探究活動的實踐路徑，為推動高中數學育人方式改革提供有益的參考。

［關鍵詞］數學探究活動；核心素養；數學建模活動；問題解決；創新人才

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）11-0001-04

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《高中數學課標》）把高中數學必修課程分為預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動五個主題。數學建模活動與數學探究活動作為主題內容進入高中數學課程，不僅是數學課程改革發展的趨勢，更體現了國家和社會發展對人才培養的要求。在我國實施科教興國、人才強國、創新驅動發展三大戰略的時代背景下，新時代創新人才不僅需要掌握多學科的綜合知識和技能，更需要具備較強的實踐應用能力、團隊協作能力、創新能力和問題解決能力。

數學建模活動和數學探究活動都是以問題為核心，數學探究強調解決數學學科的具體問題，而數學建模則強調應用數學知識解決現實生活中的實際問題，符合數學學科發展的趨勢和未來人才培養的需求。數學建模活動和數學探究活動重視引導學生運用數學知識解決問題，旨在培養學生的數學應用能力、創新思維、合作精神和核心素養。然而，在傳統應試教育的影響下，當前一些學校和教師忽視數學建模活動和數學探究活動的育人價值，甚至不了解其內涵、特征和實施方式。本文選取數學探究活動為研究對象，通過闡述數學探究活動的內涵、特征和實踐路徑，為開展高中數學探究活動、推動高中數學育人方式改革提供有益的參考。

一、數學探究活動的內涵與特征

《高中數學課標》明確指出，數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動。同時，也給出了數學探究活動的內涵，即數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程。具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論［1］。作為一類綜合實踐活動，數學探究活動具有主體性、實踐性、導向性和合作性等特征。這些內涵和特征共同構成了開展數學探究活動的價值追求。

一是主體性特征。數學探究活動以學生為主體，強調學生的主動參與和自主探究。在探究活動中，學生不再是知識的被動接受者，而是知識的主動探索者。他們會圍繞某個具體的數學問題，通過自主探究、合作交流、實踐探索等方式，開展深入的學習和研究，并最終解決問題。這一過程要求學生發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，并通過自主探索、合作研究來論證數學結論。教師作為學生學習的引導者和支持者，需適時提供必要的指導和幫助，鼓勵學生大膽嘗試、勇于創新。

二是實踐性特征。在探究過程中，學生需要結合實際情況，運用所學的數學知識提出解決問題的方案。這就要求學生具備獨立思考、創新求解的能力，能夠在動手操作和實踐應用中發現問題、提出問題、分析問題和解決問題。教師應鼓勵學生嘗試新的思路和方法，探尋解決問題的策略，從而體驗到成功的喜悅，培養創新思維和探索精神。

三是導向性特征。問題是數學探究活動的起點和核心，學生需要圍繞某個有意義、有挑戰性的數學問題展開探究活動。問題的選擇應當具有針對性和啟發性，可以來源于實際生活、科學研究或數學學科內部。以問題為導向的數學探究活動能夠激發學生的學習興趣和探究欲望。通過探究數學問題，學生能夠深入理解數學的本質和牢固掌握數學規律，培養問題意識和問題解決能力，提升數學學科核心素養。

四是合作性特征。數學探究活動可以采用合作探究的不同形式，如課題研究、數學建模、數學實驗等。在探究過程中，學生需要進行分工合作，共同完成探究任務。通過合作與交流，學生學會與他人溝通、協調，培養團隊合作精神。通過團隊研究成果展示，學生還能從他人的思路和方法中獲得啟發，進一步拓寬自己的視野。

二、高中數學探究活動實踐

數學探究活動既是《高中數學課標》中數學學科核心素養的重要體現，也是落實數學學科核心素養的關鍵載體［2］。不同高中數學教材關于數學探究活動的課題設置、課時安排、編排順序及其分布等方面存在差異，各具特色。其中人教A版（2019版）高中數學教材必修第二冊和選擇性必修第三冊分別設置了“用向量法研究三角形的性質”和“楊輝三角的性質與應用”兩個數學探究活動，并在冪函數、對數函數等一些小節后面設置了12個“探究與發現”欄目，以遞進式問題串的形式引導學生開展數學探究活動［3］。下面以人教A版（2019版）高中數學教材必修第一冊第三章“函數的概念與性質”中的“探究與發現：探究函數[y=x+1/x] 的圖象與性質”這一課時為例，闡述開展數學探究活動的實踐路徑。

（一）內容分析

作為數學探究活動的入門基礎課，“探究與發現：探究函數[y=x+1/x]的圖象與性質”一課既契合函數主題，又有助于學生初步體驗數學探究的全過程。在本節課之前，學生已經學習了函數的概念、表示法、基本性質和冪函數等基礎知識，掌握了函數與方程、數形結合、分類討論、轉化與化歸等數學思想方法，這為探究[y=x+1/x]這個由冪函數[y=x]和[y=1/x]的“函數和”組成的典型函數模型提供了基礎。但學生尚不具備運用數學知識自主探究并解決問題的能力。高一學生具有強烈的好奇心、表現欲與求知欲，這為數學探究活動的開展提供了保障。本節課確立“四基→四能→三會→六素養”的進階式教學目標，面向不同層次的學生，幫助和引導學生在探究活動中培養創新思維和數學表達能力，掌握科學探究的方法，體會自主探索和合作研究的樂趣，提升數學學科核心素養。

（二）實踐路徑

本節課以“情境引入（觀察現象、發現問題）—提出問題—擬定計劃—執行計劃—得出結果—交流展示—模型推廣—探究總結”為主線開展教學，引導學生通過觀察自然界和現實生活中的現象，建立現實世界與數學世界的聯系，經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，并通過展示和交流探究成果，發現新問題、提出新問題，從而促進學生進入數學探究活動的良性循環狀態。

1.情境引入，激發興趣

2023年的高考藍皮書《中國高考報告》指出，無情境不教學，無情境不命題［4］。合理問題情境的創設，有利于啟發學生的創新思維，激發學生的學習興趣和探索欲望。

問題情境：為了開發和利用太陽能進行光伏發電，國家電力集團計劃在西部平坦的戈壁上建造一個占地面積達[1 km2]的長方形太陽能發電站，為了縮減成本，要怎樣設計才能使長方形圍墻的長與寬之和最短？

問題評析：通過問題情境引入太陽能進行光伏發電的實際問題，引導學生將現實生活中的實際問題轉化為“求函數[y=x+1/x]的最小值”的數學問題（如圖1）。通過構建數學模型解決問題，讓學生體會到數學來源于生活，又應用于生活，培養學生的數學應用意識，提升學生的數學抽象和數學建模素養［5］。

2.提出問題，猜測結論

問題是推動課堂教學實施的有效載體，層層遞進的問題鏈由表及里、由淺入深，有助于吸引學生主動思考問題之間的內在聯系和基本邏輯，理解數學本質，提升學生的問題解決能力。本節課通過設置遞進式問題鏈，引導學生從求函數[y=x+1/x]（[x>0]）的最小值，到求函數[y=x+1/x]（[x≥2]）的最小值，再到探究函數[y=x+1/x]的圖象與性質，并深層次思考函數[y=x]和[y=1x]的圖象變化趨勢對函數[y=x+1x]圖象的影響。在此基礎上，合理猜測相關問題的結論，為探究得到準確的問題結論提供方向。遞進式問題鏈由5個問題組成，具體如下：

問題1：當[x]為何值，函數[y=x+1/x]（[x>0]）有最小值？最小值為多少？

問題2：當[x]為何值，函數[y=x+1/x]（[x≥2]）有最小值？最小值為多少？

問題3：你認為可以從哪些方面研究函數[y=x+1x]？

問題4：你認為可以按照怎樣的路徑研究函數[y=x+1x]？

問題5：函數[y=x+1/x]的圖象有什么變化趨勢？函數[y=x]和[y=1/x]的圖象變化趨勢對函數[y=x+1/x]的圖象有哪些影響？

3.擬定計劃，明確目標

探究計劃是實施數學探究活動的前期規劃方案，也是學生組建探究小組開展自主探索、合作研究活動的起點。教師引導學生從遞進式問題鏈出發，鼓勵學生拓寬思路，選擇不同的研究路徑，對探究任務進行合理分工，擬定小組探究計劃，明確團隊的研究目標。本節課學生可以選擇第一種研究路徑“定義域→圖象→奇偶性→單調性、值域、最值”，先畫出函數圖象，再根據圖象得出函數的性質；還可以選擇第二種研究路徑“定義域→奇偶性→圖象→單調性、值域、最值”，先關注函數的奇偶性，并根據定義域和奇偶性畫出函數的圖象，再求得函數的值域。不同的研究路徑使學生體會到圖象與性質之間存在緊密的“數形結合”思想，有助于提升學生的直觀想象和邏輯推理素養。以下按照第二種研究路徑開展探究，可分為五個流程，分別是：（1）求出函數[y=x+1/x]的定義域；（2）猜想函數[y=x+1/x]的奇偶性，并證明；（3）用描點法畫出函數[y=x+1/x]的圖象；（4）借助圖象得出函數的單調性，并證明；（5）求出函數[y=x+1/x]的值域。

4.執行計劃，探索研究

根據上述擬定的探究計劃，以探究小組為單位，各小組成員按照分工自主完成探究任務。探究活動開展過程中既要有自主探索的任務分工，又要有交流協作的合作研究。本節課中，教師可為每個探究小組準備一張大海報紙，學生將探究函數[y=x+1/x]的圖象與性質的流程，以及作圖、運算、推理的結果呈現在大海報上，作為小組探究的成果。

5.得出結果，演繹論證

教師為學生營造自主探索、合作研究的氛圍，給學生提供充足的探究時間，了解各探究小組的探究進度和探究結果，鼓勵學生合理分工，提高探究效率，并通過演繹推理的方法論證探究結果的準確性。在此基礎上，及時記錄各探究小組中具有代表性的探究結果，為后續選擇合適的交流展示團隊做準備。

6.交流展示，取長補短

學生經歷了小組合作、分工完成探究函數[y=x+1/x]的圖象與性質的過程，并以海報形式呈現探究成果。教師讓探究成果具有代表性的小組上臺展示探究成果，在引導學生用規范的數學語言表達探究成果的同時，引導其他探究小組欣賞他人成果的優勢，發現他人成果的不足，取長補短，互相促進，培養學生敢于質疑、勇于創新的探究精神。

7.模型推廣，拓寬視野

在數學世界里，發現、探索和收獲是相互關聯的過程。發現、探索和收獲不僅是解決問題和獲取新知識的途徑，也是提升邏輯推理能力和創造性思維能力的方法。而對于問題的再發現、再探索和再收獲則是數學能永無止境、生生不息地發展的關鍵所在。在學生完成函數[y=x+1/x]的圖象與性質的探究任務之后，教師引導學生把探究目光轉向相關聯的函數模型[y=x-1/x]，[y=ax+b/x]（[a>0]，[b>0]）和[y=ax+b/x]（[a≠0]，[b≠0]），將探究活動引向深入，拓寬學生的探究視野，激發學生的科研潛質。

8.探究總結，思維進階

數學探究活動不僅要讓學生體驗數學探究的全過程，還要引導學生理解數學探究活動的本質在于通過觀察自然界的萬事萬物，去發現和提出相關的數學問題，在擬定探究計劃和執行探究計劃中合理猜測、分析問題，在交流展示探究結果中解決問題，并通過不斷發現和提出新問題，形成推動數學探究進入迭代創新、持續深入的良性循環（如圖2），有效促進學生的思維從低階走向高階，提升學生的數學核心學科素養。

三、思考與啟示

數學探究活動面向全體學生，鼓勵學生積極參與、良性互動，讓不同層次的學生在數學學習上得到相應的收獲和發展。展望未來數學教育改革和發展的方向，通過變革教學方式、開展實踐活動、促進教師學習，去激發學生的數學學習興趣，提升學生運用數學知識解決問題的能力，培養出適應時代發展的數學創新人才，這是大勢所趨。

（一）變革教學方式，提升核心素養

在項目式教學、翻轉課堂、探究式教學、跨學科教學、信息化教學等教學方式不斷推動傳統教學模式和育人方式改革的當下，數學課堂教學應重視以觀察、調查、實驗等方式幫助學生獲取知識，鼓勵學生主動提出問題、探究規律，引導學生從“解數學題”轉向“用數學解決問題”，培養學生的科學精神和實證意識，提升學生的數學學科核心素養。例如把生活購物方面的數學計算、家庭預算規劃等引入課堂，促進學生理解數學在生活中的實際應用，感悟數學的應用價值，提高數學應用能力。

（二）開展實踐活動，優化教學資源

數學是一門抽象的自然科學，不同層次的學生對數學的理解能力存在差異。開展數學建模、數學探究、數學實驗等多元數學學科實踐活動，不僅能豐富和優化數學教育教學資源，還有助于學生在動手操作、動口表達、動腦思考過程中將數學知識具象化，體驗應用數學的樂趣，激發學生的創造力和想象力，培養學生的實踐能力和表達能力。例如，舉辦應用數學知識創新設計比賽，組織學生設計數學游戲、制作數學教具等，并適時引入社會資源，幫助學生把創新思維“物化”為小發明、小創造，使學生獲得學習和創新的成就感。

（三）促進教師學習，培養創新英才

教師是創新人才培養的核心資源，教師的專業技能直接影響人才的培養質量。在人工智能時代，科技發展日新月異，教師應緊跟時代發展步伐，重視終身學習，提升數學專業能力和跨學科教學技能，逐步具備開展數學拔尖創新人才早期培養的核心競爭力。例如，將“STEAM項目策劃與組織”“教師數學建模競賽”等內容和活動融入數學教師培訓體系，豐富教師的理論知識和專業技能，培養教師的終身學習意識，推動教師多元發展［6］。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 呂世虎，彭燕偉.2020版高中數學課標中課程結構的變化和特點［J］.數學教育學報，2022，31（4）：1-6.

［3］? 顧向忠.關于“數學建模與數學探究”的高中數學教材比較研究：以蘇教版、人教A版和人教B版為例［J］.中學數學教學參考，2022（34）：13-16.

［4］? 中國高考報告學術委員會.中國高考報告（2023）［M］.北京：新華出版社，2023.

［5］? 蒲錦泉.高中數學探究活動實施的若干思考［J］.福建中學數學，2022（10）：3-6.

［6］? 蘇圣奎，陳清華.基于創新人才培養的中學數學建模課程體系構建［J］.人民教育，2021（7）：55-58.

（責任編輯 黃春香）