融入理性思維，構(gòu)建關(guān)系模型

裘陸勤 徐雪剛

［摘? 要］ 為了融入理性思維，構(gòu)建關(guān)系模型，研究者以“單價、數(shù)量和總價”一課教學為例，探索讓學生在初步探究中認識單價含義，在深入探究中建立并理解數(shù)量關(guān)系，在知識應用中發(fā)展理性思維。

［關(guān)鍵詞］ 理性思維；關(guān)系模型；數(shù)量關(guān)系

【教學內(nèi)容】

“單價、數(shù)量和總價”。

【教學過程】

一、初步探究，認識單價含義

1. 初步感知什么是單價

師：小紅家樓下有一個小超市，生意火爆，她連續(xù)6天調(diào)查了這家超市牛奶的銷售情況（如表1）。你們能提出哪些數(shù)學問題并列式解答嗎？

生1：每盒牛奶多少錢？算式是20÷4=5（元）。

生2：8盒牛奶要多少元？算式是5×8=40（元）。

生3：50元能買幾盒牛奶？算式是50÷5=10（盒）。

生4：星期六賣出牛奶多少元？算式是1×5=5（元）。

師：在購物中，我們把賣出商品的盒數(shù)、件數(shù)、個數(shù)叫作“數(shù)量”，一共收入的錢叫作“總價”。每1盒牛奶的價格叫作“單價”，寫作5元/盒，讀作“5元每盒”或“每盒5元”，表示牛奶的單價是每盒5元。

師：剛才有的同學算出星期六賣出牛奶的總價是5元，正好是1盒牛奶的價格。所以當我們只買1件商品時，所付出的錢就是這款商品的單價，也是所購買商品的總價。（出示商品的單價：巧克力10元/塊、荔枝8.99元/500g、按摩椅12元/13分鐘、薯片25元/罐、獼猴桃5元/個、礦泉水3元/瓶、棒棒糖1元/根、面包5元/個、電的價格是0.64元/度）同學們，你們知道這些單價表示什么意思嗎？

生5：巧克力每塊10元，荔枝每500g要8.99元，按摩椅每13分鐘要12元……

設計意圖：數(shù)學是對現(xiàn)實世界的思考、描述、表征、解釋、理解和應用，其目的是發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中數(shù)和形的規(guī)律，推動社會的進步和人類的發(fā)展。學生對于購物中的單價、數(shù)量和總價并不陌生，教師要引導學生從實際生活中提煉單價的含義，進而建構(gòu)單價、數(shù)量和總價之間的數(shù)量關(guān)系。學生在理解單價含義的過程中要經(jīng)歷三個階段：（1）知道單價是每件商品的價格；（2）能正確讀和寫出單價，并解釋商品單價表示的含義；（3）能初步理解單價和總價在不同情境中的相對性。

2. 感悟單價和總價的相對性

師：國慶節(jié)到了，這家超市搞促銷活動，把12盒牛奶打包成1提，這提牛奶要多少元？

生6：每提牛奶是5×12=60（元）。

師：這里的“60元”是單價還是總價？

生7：“60元”表示單價，因為現(xiàn)在牛奶是按“1提”來賣的。

生8：“60元”表示總價，因為60元是12盒牛奶的總價。

師：由此可見，一個錢數(shù)究竟表示單價還是總價，是由什么來決定？

生9：主要看購物中以多少個商品為1份。

師：當我們把若干個商品看作“1份”來銷售時，這些商品的總價構(gòu)成了新的單價。（動畫演示：“60元/提”變?yōu)椤?0元/提”）你們知道為什么每提牛奶計算出來是60元，現(xiàn)在只標價“50元/提”了？

生10：因為整提賣，這樣賺錢更快，可以優(yōu)惠顧客。

師：說得真好！在實際生活中，很多商品批發(fā)和零售的單價不一樣。

設計意圖：為了進一步幫助學生理解單價和總價在不同情境中的相對性，教師組織學生辨析“60元”究竟是單價還是總價，讓他們發(fā)現(xiàn)單價和總價的判斷標準主要看購物中以多少個商品為1份。同時，教師組織學生計算以12盒牛奶為1提的價格，并出示現(xiàn)實生活中超市提供的價格，讓他們在比較中感悟商品批發(fā)和零售的不同定價方式，從而幫助學生在頭腦中形成豐富且具象的單價。

二、開展探究，理解數(shù)量關(guān)系

1. 縱向解決問題，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系

師：買單價是50元/提的牛奶5提，需要多少錢？

生1：50×5=250（元），買5提牛奶需要250元。

師：你是怎么想的？為什么用乘法計算？

生1：每提牛奶50元，買了5提，每提牛奶的價格乘以買的提數(shù)等于一共用了多少錢。

師：剛才我們解決了5提牛奶總價的問題，在實際生活中用50×5還能解決哪些問題呢？請你編寫一道50×5的算式應用題。

學生的反饋：（1）每本書的價格是50元，買5本書要多少錢？（2）每小時行駛50千米，5小時一共行駛多少千米？（3）每分鐘生產(chǎn)50個零件，5分鐘一共生產(chǎn)了多少個零件？（4）每個教室有50個同學，5個教室一共有多少同學？（5）工程隊每天修路50千米，5天修路多少千米？……

師：同學們，看來用50×5這個算式可以解決很多問題。如果我們把這些數(shù)學問題分類，你們會按照什么標準分？

生2：我們可以根據(jù)在生活中的用途來分，比如買東西要多少錢是購物問題，行駛多少千米是行駛問題，生產(chǎn)多少個零件是生產(chǎn)問題，工程隊修路多少千米是工程問題，5個教室有多少同學是一般的乘法問題……

師：在數(shù)學上，我們可以分為購物問題、路程問題和工作問題等模型，這些問題都可以轉(zhuǎn)化為以前學過的乘法問題，你們還記得它們的數(shù)量關(guān)系嗎？

生3：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。

師：是的，在購物問題中，每份數(shù)相當于單價，份數(shù)相當于數(shù)量，總數(shù)相當于總價，所以數(shù)量關(guān)系是單價×數(shù)量=總價。在路程問題中，每份數(shù)相當于速度，份數(shù)相當于時間，總數(shù)相當于路程……在購物問題中，已知單價和數(shù)量，求總價是用“單價×數(shù)量=總價”；已知總價和單價，怎么求數(shù)量？已知總價和數(shù)量，怎么求單價？

生4：總價÷單價=數(shù)量，總價÷數(shù)量=單價。

設計意圖：一個完整的數(shù)學建模過程包括發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、驗證結(jié)果、改進模型、解決實際問題。在本節(jié)課中，模型意識的具體表現(xiàn)是學生知道在解決一類問題時往往可以找到一個典型的模型，解決同類問題時可以轉(zhuǎn)化為這個模型，即第一步是結(jié)合具體情境感知用乘法算式求總價；第二步是尋找同一個乘法算式可以表示不同的數(shù)學問題；第三步是在分類中建立數(shù)量關(guān)系模型，并提煉出最基本的數(shù)量關(guān)系。當學生經(jīng)歷了購物問題的建模全過程后，他們就能主動地將建立模型的方法運用到路程問題和工程問題中，實現(xiàn)學習方法的正遷移。

2. 橫向解決問題，靈活運用關(guān)系

師：小紅到超市買一些牛奶，帶去的錢正好可以買單價5元/盒的牛奶40盒，小紅想買50元/提的牛奶，可以買多少提？

生5：根據(jù)單價×數(shù)量=總價，算出總價是40×5=200（元）；我本來想算200÷50，發(fā)現(xiàn)這個算式?jīng)]有學過，就根據(jù)單價×數(shù)量=總價，算50×（? ）=200，得到數(shù)量是4提。

生6：根據(jù)單價×數(shù)量=總價，算出總價是40×5=200（元）；發(fā)現(xiàn)200÷50沒有學過，根據(jù)總價÷數(shù)量=單價，算200÷（? ）=50，得到數(shù)量是4提。

生7：先根據(jù)單價×數(shù)量=總價，算出總價是40×5=200（元）；再根據(jù)總價÷單價=數(shù)量，算出數(shù)量是200÷50=4（提）。

生8：這里的“5元/盒”和“50元/提”都是單價，“40盒”和“幾提”都是數(shù)量，根據(jù)單價×數(shù)量=總價，50÷5=10表示單價擴大了10倍，要保持乘法算式的積不變，所以數(shù)量就要縮小10倍，40÷10=4（提）。

設計意圖：學生在上一環(huán)節(jié)中構(gòu)建了數(shù)學模型，并且學會運用模型解決一步計算的購物問題。為了促使學生能靈活運用模型解決兩步計算的購物問題，串聯(lián)起不同數(shù)量關(guān)系之間的變式，教師鼓勵學生用多種方法解決同一個數(shù)學問題，培養(yǎng)他們數(shù)學思維的靈活性和發(fā)散性。

三、知識應用，發(fā)展理性思維

師：超市在進貨時，批發(fā)商都是以4提為1箱銷售，如果你是批發(fā)商老板，會定價多少元？

生1：我會定價300元。

生2：300元太高了，超市老板給的每提單價是50元/提，4提就是200元，所以我會定價200元。

生3：我會定價190元，因為超市老板賣出4提的總價是200元，如果批發(fā)商老板的定價是200元，那么超市老板就沒有錢賺了，所以批發(fā)商老板的定價要比200元少。

生4：我會定價180元，這樣超市老板每箱牛奶可以賺20元。

生5：我會定價170元，這樣超市老板每箱牛奶可以賺30元。

師：批發(fā)商確定牛奶的單價是180元/箱，如果你是超市老板，一次性會進貨多少箱，要付多少錢？

教師將學生的回答整理成一張表格（如表2）。

師：同學們，請你觀察這張表格中的信息，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生6：牛奶的單價不變，箱數(shù)越多，總價越大；箱數(shù)越少，總價越小。

生7：雖然數(shù)量和總價在變化，同一種商品的單價始終不變。

師：有的人想進貨2箱，有的人想進貨100箱，你們剛才在確定一次性進貨數(shù)量的時候考慮了哪些因素？

生8：我們要考慮牛奶的生產(chǎn)日期、超市平時銷售牛奶的情況、牛奶的保質(zhì)期、平時牛奶的進貨價格是否經(jīng)常波動、進貨的運輸成本……

師：是的，超市老板在進貨時要考慮很多因素，如果是小超市老板，可以一次性進貨10箱；如果是大超市老板，可以一次性進貨100箱甚至更多，我們需要根據(jù)實際情況進行變通。

設計意圖：“單價、數(shù)量和總價”這個數(shù)學模型主要應用在購物情境中，教師讓學生假設成批發(fā)商老板，合理地確定每箱牛奶的定價；讓學生假設成超市老板，不僅學會從多角度思考一次性進貨多少箱比較合理，還發(fā)現(xiàn)了單價、數(shù)量和總價中的函數(shù)關(guān)系。

四、全課小結(jié)，深化理性思維

師：同學們，通過這節(jié)課的學習，你們有什么收獲？你們對購物問題有哪些新的認識？