關于線性代數課程中理論和方法具象化的探究

袁健 王菊香

摘要：線性代數是理工科本科專業必修的一門數學基礎課，該課程概念多、思維抽象以及數學方法難度高，傳統的教學模式很難讓學生有所收獲。作者根據在本課程教學過程中的體會和思考，探索將抽象的數學方法具體化和形象化，將抽象的數學理論生動化和直觀化，以適應大學生的思維方式，開闊學生的數學視野，引導學生進行創新，激發學生探索的熱情，提高教學質量和效果。

關鍵詞：線性代數；教學實踐；數學素養

隨著計算機和移動通信等技術的蓬勃發展，許多工程技術問題的解決都離不開線性代數的理論和方法，因而線性代數課程對于理工科專業本科生具有的重要的作用和地位，是理工科本科專業必修的一門數學基礎課。通過線性代數課程的學習，使學生具備線性代數的相關基本理論及基本方法，并能用它們解決一些實際問題，培養學生的空間直觀和想象能力以及抽象思維和邏輯推理能力，為學生學習后續專業課、擴大實踐能力打下牢固的數學基礎。

線性代數的概念和方法具有邏輯性強、抽象程度高、應用具有廣泛性等突出特點。該課程中的概念多，往往前一個概念是為了后一個概念做鋪墊，邏輯性連貫強；大部分概念都有著具體的應用背景，從實際問題抽象出來的；抽象的概念的好處就在于它體現的是一般性規律，從而具有廣闊的應用范圍。邏輯性強、抽象程度高、應用廣泛性是線性代數課程突出的優點，也決定了本課程是一門較為難學的課，剛接觸本課程的大學生，感受到基本概念難以掌握，基本方法難以理解，例題和習題難做。作者承擔多年本校理工科專業的線性代數課程教學，在教學實踐中對課程內容不斷體會和思考，嘗試讓抽象的數學方法趣味化、具體化和形象化，力圖讓抽象的概念和理論生動直觀，努力讓講授過程適應大學生的思維方式，讓學生學有所獲，開闊學生的數學視野，激發學生探索的熱情，提高學生的數學素養。本文主要內容安排如下：先回憶了求逆矩陣的初等變換法，并將此方法形象的命名為“汽車記錄儀法”，讓數學方法形象化和趣味化；然后介紹了用“汽車記錄儀法”化二次型為標準形、化矩陣為相抵標準形；利用相抵標準形創新性的給出求解線性方程組的一個新算法，引導學生進行創新；還介紹了特征值和特征向量在宏觀經濟學中的一個應用，培養學生實際問題的建模能力和探索問題的熱情。

1 用汽車記錄儀比喻初等變換中的重要方法，將數學方法具象化和趣味化

1.1 汽車記錄儀法

用生活中形象的事物，來比擬線性代數中抽象的數學概念和方法，讓學生感覺到趣味性，逐漸產生對數學的興趣，從而樂于主動去探索和鉆研數學，這對學生深刻理解和掌握數學知識很有益。當可逆時，用（其中為的伴隨）求逆的計算量很大，通常是利用初等變換法：。

剛接觸矩陣的學生們會覺得這種方法難以把握。由于原矩陣怎么變，單位矩陣會跟隨著作相同變換，相當于把對進行的所有變換都被記錄下來，因此在原矩陣的旁邊添加單位矩陣其功能就仿佛是汽車行程記錄儀，我們形象的把這種方法稱為汽車記錄儀法。汽車記錄儀法操作簡單，是一個非常有用的數學方法，可用于以下二次型化標準形之中。

1.2 汽車記錄儀法在二次型化標準形中的應用

二次型的主要問題是：求非退化線性變換，將二次型化為標準形：。線性代數教材中主要介紹用正交變換法以及多項式的配方法將二次型化為標準形，但這兩種方法通常計算量都較大。我們在教學中介紹用矩陣的成對初等行列變換法將二次型化為標準形，并且這種方法的計算是最為簡單的。這不僅向學生展示了矩陣初等變換應用的廣泛性，還拓展了學生的數學視野，激發學生創新和探索的興趣。

注意到是可逆矩陣，可設，其中（）都為初等矩陣。于是，即對作次成對初等行列變換可化為。利用汽車記錄儀法，求矩陣的方法如下：

即當變為對角矩陣時，的位置就變成了。

例1： 將二次型化為標準形。

解： 的矩陣為。對作成對初等行列變換：

所以線性變換可將二次型化為如下標準形：。

2 用相抵標準形給出求解線性方程組的新算法，激發學生的創新性思維

2.1 汽車記錄儀法化矩陣為相抵標準形

汽車記錄儀法還可用于矩陣化相抵標準形。矩陣如能經過一系列初等變換化為矩陣，則稱與相抵。矩陣的秩為當且僅當能經過一系列初等變換化為。把稱為的相抵標準形（也稱等價標準形）。但只這個結論、寫出相抵標準形的結果是不夠的，數學非常關注過程，即如何從原矩陣變換成相抵標準形的，這也是培養學生思維的嚴謹性和全面性的基本要求。因此，相抵標準形的基本問題是：對于矩陣，如何找到可逆陣和（不唯一），使得。欲求和，可以利用汽車記錄儀法：對矩陣的前行作初等行變換，前列作初等列變換，當變為相抵標準形時，和的位置分別就是和。由于右下角的零分塊未參與變換，所以可不必寫出。

例2： 將矩陣化為相抵標準形。

解：

所以，，矩陣可化為如下相抵標準形：

2.2 用相抵標準形求解齊次線性方程組

為了讓學生深刻理解并體會到相抵標準形的重要意義，我們介紹了矩陣的相抵標準形在解線性方程組中的應用，并創造性的給出解線性方程組的一個新的算法。這有助于拓展了學生的視野，引導學生去探索問題，激發學生創造性思維。設矩陣的秩，且的相抵標準形為，其中和可逆。下面利用相抵標準形分析的解空間的結構。將矩陣按列分塊寫成：。因為可逆，所以線性無關。由于，所以（其中）以及（其中，表示第個分量為1、其余分量全為0的維列向量）。因為是可逆矩陣，從而（其中），于是（其中）是的個線性無關的解。由于構成的一個基，所以任一解可設為。由于，所以，從而

于是，所以，即方程組的任一解都可用（其中）線性表示。因此（其中）是的基礎解系。以上證明了如下有用的結論：

命題1： 設齊次線性方程組的系數矩陣的相抵標準形為，其中是階可逆陣，是階可逆陣。則的后列就是該方程組的一個基礎解系。

由該命題可給出求解齊次線性方程組的一個新算法：

（1）利用初等行變換將系數矩陣化為行階梯矩陣或行最簡矩陣；

（2）根據秩來判斷是否有非零解；

（3）如果有非零解，求出相抵標準形中的矩陣；

（4）利用的后列寫出方程組的通解。

例3： 解下列齊次線性方程組：。

解 ： 由例2可知系數矩陣的秩為2，并且。所以解空間維數為2，并且通解為，其中為任意數。

3 特征值和特征向量在宏觀經濟學中的應用，體現數學理論應用的廣泛性

學生在學習矩陣的特征值和特征向量等抽象概念時往往感到很枯燥，而在傳統教學中通常介紹這些內容在矩陣的相似對角化求矩陣方冪的應用或者求斐波拉契數列通項公式的應用，很少介紹它們的實際應用背景，導致學生對這些概念的理解不夠深刻。我們在教學中通過引入實際背景，介紹特征值和特征向量在實際問題中的應用，有助于學生對特征值和特征向量等概念的深刻認識和理解，擴大學生對實際問題進行數學建模的能力，激發學生積極探索問題的興趣。

我們介紹了矩陣特征值和特征向量在研究一種經濟現象中的巧妙應用。在社會經濟活動中，不同產業之間存在不同程度的相互依存關系。比如鐵路運輸建設需要鋼鐵、電器材料等其他產業的投入；相應的，這些其他產業也需要鐵路運輸產業來運輸它們的原材料和產品。這種供需關系形成了一個復雜的經濟網絡，在數學上可以利用矩陣的方法來研究這種復雜的經濟現象。設現有個產業，并且每生產1個單位的要直接消耗掉個單位的，其中，。將矩陣稱為消耗系數矩陣。消耗系數矩陣是我們研究和掌握經濟活動的重要工具之一，矩陣計算以及特征值、特征向量等數學理論在這里就派上了用場。

例4： 設有三個產業，其消耗系數矩陣為。設初始投入的數量為，其中。試分析對初始投入的數量滿足什么要求，才能使一年后這三個產業按照相同百分比增長（即同步增長），所增長的百分比能達到多少。

解： 令，設一年后三個產業的生產數量分別為，令?？梢院喕癁槌跏纪度朐谝荒旰笄『孟耐?，由于生產個單位的，直接消耗個單位的，所以初始投入的數量應滿足：

即有，由此可得。因為要求一年后三個產業以相同百分比增長，所以，其中為一個正常數。于是，從而。因此，是的一個特征向量，是的一個正特征值，增長的百分比為。

下面代入相應數值，由，可得的特征值為（負值舍去）。對于特征值，解齊次線性方程組，可利用相抵標準形求出其一個基礎解系：。因此，初始投入數量應當按照2：1：2的比例，就能使一年后這三個產業按照相同百分比增長，并且增長百分比等于，約為。

結語

本文是作者在線性代數課程一線教學過程中對一些概念和理論的教學體會和思考。通過將抽象的數學方法具體化和形象化、將抽象的概念和理論生動化和直觀化，以此來適應大學生的思維方式，提高教學效果和質量，讓學生學有所獲，開闊學生的數學視野，引導學生創新性意識，激發學生創新的熱情，提升學生利用數學知識解決實際問題的能力。

參考文獻：

[1] 孟道驥. 高等代數與解析幾何（第三版，上冊、下冊）[M]. 北京：科學出版社，2004.

[2] 丘維聲. 高等代數（第二版，上冊、下冊）[M]. 北京：清華大學出版社，2010.

[3] 唐爍，朱士信. 線性代數[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[4] 張奠宙，唐瑞芬，劉鴻坤. 數學教育學[M]. 南昌：江西教育出版社，2003.

[5] 同濟大學數學系. 線性代數（第六版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

基金項目：安徽建筑大學教學研究質量工程項目（2023jy45，HYB20230132，2021xskc01），高等學校大學數學教學研究與發展中心教改項目（CMC20210414），安徽省高校科學研究重點項目（2023AH050178）作者簡介：袁健（1988- ），男，漢族，安徽肥西人，博士，講師，研究方向：代數編碼。