高等數學的情境探究式教學設計

王靜　王笑祎

摘? 要：學生的學習動機大部分源自于運用所學知識解決問題的快感和成就，針對高等數學學習中學生“不知所出，不知所用”，缺乏興趣和動力等困境，提出情境探究式教學設計。該文闡述情境探究式教學理念、目標和設計原則，探討基本教學活動的展開策略，包括兩個情境（產生數學問題的情境和產生概念或方法的情境）+兩個數學化過程（學習活動/畫龍）+評價支持+教師抽象（點睛）+應用拓展，以全面提升數學核心素養，為終身學習奠基。

關鍵詞：情境；探究活動；核心素養；高等數學；教學設計

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）18-0128-04

Abstract： Most of the students' learning motivation comes from the pleasure and achievement of using the knowledge they have learned to solve problems. Aiming at the dilemma of "not knowing what to do， not knowing what to use"， lack of interest and motivation and so on， puts forward the situational inquiry teaching design. This paper expounds the concept of situational inquiry teaching， objectives and design principles， and discusses the development strategy of basic teaching activities. It includes two situations （the situation of generating mathematical problems and the situation of generating concepts or methods） + two mathematicization processes （learning activities/drawing dragons） + evaluation support + teacher abstraction （the key point） + application expansion， in order to comprehensively improve the core quality of mathematics， laying the foundation for lifelong learning.

Keywords： context; inquiry activities; core literacy; Advanced mathematics; teaching design

學生學習高等數學的困難在于數學知識與其生活相距較遠，學生對學習的概念和定理“不知所出，不知所用”，缺乏興趣和動力，一旦遇到困難時很容易放棄，難以為后續的課程學習奠定知識基礎，更與數學核心素養的培養目標相差甚遠。學生普遍反映“學了知識不會用”“遇到新問題沒思路”，其原因就在于很多時候，教師隱去了太多的為什么，為什么這么說？為什么這樣做？怎么會想到這么做？等等。我們的教學無論是內容、方式、評價，還是學習習慣，都側重于知識的傳授和掌握，而輕思維經驗的積累。要破解這一難題，需要從兩個方面著手：一是創設問題情境激發興趣，讓學生知道知識是怎么來的，學會如何應用；二是引導探究精準支持，精準支持讓學生建立信心，創設研究情境讓學生學會“做數學”，提高數學素養為終身發展奠定基礎。

數學思維發展的“觸發器”是問題，所以要破解這一難題，我們認為：最根本的轉變就在于以問題為中心，通過創設問題情境，經歷發現、構想、歸納和抉擇的探究過程，獲得創造性解決問題的鮮活體驗，發展高級認知和思維。本研究主要針對情境探究式教學模式，從教學理念與目標、教學原則及教學結構和活動程序三個方面，來具體闡述如何設計情境探究式課堂的一些思考和經驗，以期對同仁有所啟發，使其受益。

一? 教學理念與目標

著名數學教育家弗賴登塔爾強調：學習數學的唯一正確的方法是實行“再創造”，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來；探究性學習正是“再創造”學習方式的最佳途徑。數學源于現實，也必須寓于現實、用于現實。數學學習應當從與學生生活體驗密切相關的問題開始，發現數學問題，產生數學概念和解決實際問題的數學方法。建構主義認為，數學學習不是一個被動的接受過程，而是一個以已有的知識和經驗為基礎的主動建構的過程。

情境探究式是將數學教學置于實際或臨近實際的情境（問題情境、探究情境、應用情境）中，引導學生借助于情境中的各種信息去發現問題、形成問題，并重組知識和經驗產生解決問題的方法，再進一步一般化（數學化）為新的概念或方法，是教師指導下學生主動參與的可定義、可自主、可交互的研討探究過程。藉此讓學生在有意義的問題解決情境中創造知識和應用知識，在探究活動的基礎上構建起對數學知識的理解和有關的方法、技能，學會數學學習或將學科解題技巧應用到實際生活的問題中。

這種教學的用意在于因材施教深挖學生潛質，改變知識傳輸路徑，凸顯學生學習的自主性。讓學生經歷數學的“再創造”與“再發現”，并將學到的知識加以綜合應用于實踐的過程，增強研究和運用數學的興趣與體驗；減少學生的困惑，提高學習效率，減輕學生的負擔；體會數學的思想與方法，提高其嚴謹的邏輯推理能力、熟練的運算能力，以及精準的數量思維、基本建模能力、創新應用意識等數學素養要求，同時持續培養其自主學習能力。

二? 教學原則

教學活動需要著重思考具體教學情境與具體數學核心素養培養之間的相關性，因為數學核心素養是學生在具有情境的數學活動中切實感悟、綜合理解、反復強化逐漸形成的，主要來源是數學活動經驗的積累。課堂活動設計遵循的原則如下。

（一）? 主動參與原則

探究性學習重在學習的過程、思維方法的學習、思維水平的提高。學生只有親歷數學事實的過程，才能提出自己的見解，對所學知識有所選擇、判斷、解釋及運用，從而有所發現和創新。

（二）? 難度適中原則

提出的問題要接近學生的最近發展水平和能力，抓住知識中最關鍵、最本質的東西，選擇最適合學生的起點，用最直接和最親近的方式激發學生的學習，這樣才能夠引起學生思考、探索，使學生都能積極參與到研究中。

（三）? 合作交流原則

探究性學習的組織形式是獨立學習與合作學習相結合。學習是社會建構的過程，基于情境的探索式學習需要小組的協作，學生通過與他人的協作向自己的思想、信念、感覺和現有的知識質疑，可以在參照他人的過程中來完善自己，從而促進自身的認知發展，所以教學組織以小組合作為基本形式，而智慧教室為小組合作學習提供了便利和保障。

（四）? 實踐運用原則

盡可能設計一些不同層次的活動讓學生全體參與，讓每個學生都能開展探究，學會在做中學。

三? 教學結構及活動程序

在情境探究式教學的小組合作學習中，創設一種恰當的、內容豐富的情境，建立一套利于學生自主學習和相互協作主動建構知識結構的組織程序是至關重要的。所以教學設計主要依據教學目標和學情分析，圍繞兩個情境，即產生數學問題的情境和產生概念（或方法）的情境；兩個數學化（學生學習活動），即學生形成數學問題（數學關系），也就是問題中關系的數學化和問題解決方法的抽象（新解析關系）數學化展開。基本的教學活動包括兩個情境+兩個數學化過程（學習活動/畫龍）+評價支持+教師抽象（點睛）+應用拓展。

基本流程為：教師創建接近學生生活環境的數學問題情境，引導學生發現問題，形成數學問題（數學關系），即問題關系的數學化，并引起認識沖突，以趣激奇，激發學生解決問題的興趣。而后在教師創設的問題探究情境（環境和氛圍，資源和結構）下，以疑激思，激發學生的探究欲望，師生作為學習共同體，重構已有數學知識，提出解決的方法，進行探究/驗證/論證，產生新的概念/對象，把解決的經驗總結提升形成明確的表述（經驗顯化），并進一步一般化抽象化（數學化）（學生畫龍），形成數學概念/定理/方法（教師點睛）。然后將數學方法反饋、應用于現實世界，創設新情境，提出新問題，如圖1所示。最后教師設計問題進行測評以了解學生水平并針對不同層次學生給出個性化建議和指導。

不難看出，整個探究活動是一個循環的過程，也是一個由簡單到復雜和由低級到高級的不斷探索、應用、提高的過程。同時，也可以看出教師創設“好情境”、學生提出“好問題”是后面各階段成功開展的前提，關系到后面各階段的實施狀況。

（一）? 學習目標設置和學習者分析

要明確學生應學習哪些知識點，這些知識點要學習到何種層次。還要知道“學生已經知道了什么”，明確學生在知識和技能方面的起點，特別是思維和相關基本方法的掌握情況。同時要明確所面對的學習者群體的認知風格和個體差異的分布情況，為教學方案的設計提供指導。目標要易測量和評價，易決策設計。學習目標的描述可以是自然言語方式，也可以是稍顯形式化的表征方式，如圖2所示。橫軸是知識類型，分為6類；縱軸是操作類型，“理解”“記憶”位于同一層次，屬于低階目標，對應于學習的意義建構階段；“運用”位于高階目標，對應于學習的能力生成階段。

（二）? 創設學習情境

情境能使學習者有機會生成問題、提出各種假設，并在解決結構不良的、真實的問題的過程中獲取豐富的資源。同時，該情境還能提供其他豐富的例證或類似問題以使學習者產生概括化與遷移。數學情境是指數學概念、規律容易產生的現實背景和一種能促使學生主動的及自由的想象、思考、探索、解決或發現規律的環境、資源或者氛圍，是廣義的、宏觀的大情境。有氛圍，學生才有動力；有資源，才能去操作、去使用，才知道怎么去做。它呈現的方式可以是多媒體、虛擬環境、文字表述等。

在一個完整的教學過程中，教師需要先后創設以下三種學習情境。

1）問題情境。在學習中，學習新手首先看到一種問題情境，他們要先運用原有的知識去嘗試理解情境中的現象和活動。問題情境相對較復雜，需要學生形成和解決一組相互聯系的子問題，使學習者從多個側面來審視情境中的每個問題。

創設問題情境的常用方法有：復習引導法、矛盾揭示法、激趣引疑法、以“誤”引“悟”法和比較辨析法等。

創設問題情境的策略有：通過生產生活實際創設、通過相關學科的交叉點創設、通過幽默詼諧的悖論或故事創設、通過古典數學文化創設和通過數學實驗創設等。

2）探究情境。教師引導學生將教學內容轉化為學生認識的矛盾和內在的需要后，要依據學習目標和教學內容的核心觀念，挖掘內在邏輯，營造一系列由表及里、由易到難、由近到遠和逐漸深入的動態問題或活動內容，目的是搭建認知腳手架實現認知平臺的跳躍或跨越，驅動學生深入理解核心觀念背后所蘊含的知識與思想方法，達到對核心觀念的理解與運用，進而提升數學關鍵能力。

創設探究情境的常用方法有：觀察法、數形轉換方法、歸納法、類比方法和分析法等。

創設探究情境的策略有：巧設懸念和疑點、觀察、模仿、實驗、猜想和反思等。

3）應用情境。對于知識和工具都只有使用它們，才能真正了解它們，數學理論應用化可培養數學運算、直觀想象、數據分析、邏輯推理及分析和解決問題等素養。所以要創設應用情境，強化概念知識與事實知識在問題解決和任務完成過程中的運用。

創設應用情境的常用方法有：從實際生活中創設、從相關學科中創設、從古典數學文化中創設、從類比猜想中創設和從操作實驗中創設等。

創設應用情境的策略有：開放性思維訓練設計（比如一題多解、一題多變、多題一解，或條件不是很完備而需要探尋和補充的問題）、解題后的反思、類比遷移到類似情形和擴展應用范圍等。

（三）? 探究性活動

一次課由多個探究任務構成，按照課前、課中、課后分別設計。任務可以區分為意義建構和能力生成。意義建構共6種，能力生成可以分為4種（這4種能力主要依賴特定的事實和范例，而教材上提供的這方面知識常常不夠用，需要教學設計者自己去尋找和創造），如圖3所示。學習活動的任務必須與學習目標建立聯系，根據學習目標應盡量設計多類型的任務組合，因為告知學生學習目標，多半不會引發普遍的學習動機，而能抓住注意力和當下學習動機的是活動任務。

情境探究式教學中學生的自主學習活動是主體，探究由學生個體和小組協作探究組成，學生通過自主探索，以及與他人的協作向自己的思想、信念、感覺和現有的知識質疑，可以在參照他人的過程中來完善自己，從而促進他們的認知得到發展，所以教學組織以自主探究和小組探究為課堂學習活動的基本形式。自主探究和小組探究的主要方式如圖4所示。

教師基于少教多學原則，多考慮哪些可以不教，放手讓學生小組和個人自學；哪些非教不可，考慮如何進行引導和指導等，按照這樣的角度去設計學生活動。

具體設計時，我們找到了小組合作學習的一個有效抓手——教學活動任務單（圖5），成功把教學關注點由“如何教好”轉向“如何讓學生學好”，讓教師考慮“如何為學生好學而教”，從而實現“將課堂和學習還給學生”。通過設計課前和課堂活動單，高效地指導學生開展小組合作學習。

課前活動單設置自學目標，過程主要由若干個活動組成，每一個活動都明確地指導學生學什么，怎么學，需達到什么結果或完成什么可測性任務。這使得學生的自學比一般性的預習更具有可操作性，從而在實踐中不斷提高自學能力。在學生先學的同時，教師要清楚地了解學生的學習情況，并預設學生可能出現或提出的問題，做出導學目標、方法的選擇。

課堂活動單要體現學生循序漸進的學習過程、有效學習的方式、教師對重難點的處理和與課前活動的銜接等，讓學生在一步步的活動中達成學習目標。活動之后，教師還可以設計檢查反饋，比如客觀性試題或開放性問題，讓學生能及時檢查學習效果，體會學習的成功。

四? 結束語

學生的學習動機大部分源自于運用所學知識解決問題的快感和成就，情境創設+探究引導為學生經歷數學知識的形成與建構過程提供了載體。教學設計將具體教學情境與具體數學核心素養培養緊密相關，以培養興趣為前提，誘發主動性；以指導觀察為基礎，強化感受性；以發展思維為重點，著眼創造性；以陶冶情感為動因，滲透教育性；以訓練表達為手段，貫穿實踐性。在反復的數學理解、數學應用、數學思維和數學發現（創造）等自主生成活動中，生成數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等數學核心素養。

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基金項目：陜西省高等教育教學改革重點項目“基于智能教學環境的學習支持性評價研究”（21BZ091）

第一作者簡介：王靜（1981-），女，漢族，甘肅武威人，碩士，教授。研究方向為大學數學教育。